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专题三:空间角(理).doc

上传人:gnk289057 文档编号:7072670 上传时间:2019-05-05 格式:DOC 页数:8 大小:752KB
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资源描述

1、专题三:空间角1向量法求空间角(教师版)一方法提炼角这一几何量在本质上是对线线、线面、面面位置关系的定量分析,其中转化的思想非常重要,三种空间角都可以化为平面角来计算,因此,可进下转化为空间向量的夹角求解。二空间角公式:线线角:异面直线所成的角 利用它们所在的向量,转化为向量的夹角 问题,但 0, , (0, ,所以 cos=|cos|= 。2线面角;在求平面的斜线与平面所成的角时,一般有两种思考的途径,如图,一种是按定义得 POH= , ,另一种是利用法向量知识,平面 的法向opH量为 ,先求 与 的夹角,注意 与 所成角 与 , 的关系,于是nnopn就有 sin=|cos , |op|n

2、op二面角;(1)二面角的取值范围:0, (2)二面角的向量求法:若 AB,CD 分别是二面角 -L- 的两个面内与棱 L 垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 AB 与 CD 的夹角若 , 分别是二面角 -L- 的两个面 , 的法向量,则向量1n2与 的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小1n21 (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,侧面 PAD 是正三角形,且垂直于底面 ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,BAD=60,M 为 PC 上一点,且 PA/平面 BDM,(1)求证:M 为 PC 的中点;(2)求证:面 ADM面 PBC。解:(1)证明:连接

3、 AC,AC 与 BD 交于 G,则面 PAC面 BDM=MG,由 PA/平面 BDM,可得 PA/MG 底面 ABCD 为菱形, G 为 AC 的中点,专题三:空间角2MG 为PAC 的中位线。因此 M 为 PC 的中点。 (2)取 AD 中点 O,连结 PO,BO。PAD 是正三角形,POAD ,又因为平面 PAD平面 ABCD,所以,PO平面 ABCD, 底面 ABCD 是菱形且BAD=60,ABD 是正三角形,AD OB。OA,OB,OP 两两垂直,建立空间直角坐标系 ,OABP(1,0)(,30),(1,)(0,3)ABDPDP则 ()()(,)222MCAB0,3,00BDDPMC

4、 ,DMBPCDM平面 PBC,又 DM 平面 ADM,ADM面 PBC 2 (本题满分 12 分)如图,在三棱柱 中,侧面 , 均为正方形,1ABC1AB1C,点 是棱 的中点.=90BACD()求证: 平面 ;11()求二面角 的余弦值.()证明:因为侧面 , 均为正方形, 1AB1CA BCC11 B1A1D专题三:空间角3所以 ,11,ACAB所以 平面 ,三棱柱 是直三棱柱. 1C因为 平面 ,所以 , 1D1D又因为 , 为 中点,1所以 . 11ABC因为 ,所以 平面 . 11()解: 因为侧面 , 均为正方形, A1,90BAC所以 两两互相垂直,如图所示建立直1,角坐标系

5、.xyz设 ,则.11(0,1)(,)(0,)(,)2BAD, 2DC设平面 的法向量为 ,则有1=()x,yzn, , ,10Anxyz取 ,得 . x(,1)又因为 平面 ,所以平面 的3cosABnAB1CA1CA法向量为 ,11 分因为二面角 是钝角,,0 D所以,二面角 的余弦值为 . 1DC33 (本小题满分 12 分)已知等腰直角三角形 ,其中 =90, 点 、 分别RBC2BCRAD是 、 的中点,现将 沿着边 折起到 位置, 使 ,连结RBADPAP、 PC()求证: ;P()求二面角 的余弦值B1ABCC11A1DxyzOCADBR专题三:空间角4解:()点 分别是 、 的

6、中点,DA、 RBC . BC21/且 .09P 又 ,AAB BCD面 ,P, 平面 . A 平面 ,B . C()建立如图所示的空间直角坐标系 xyzA则 (1,0,0) , (2,1,0) ,D(0,0,1). =(1,1,0) ,P=(1,0,1), 设平面 的法向量为 ,则C),(zyxn10 分令 ,得 ,0nDxPz11,zy .显然, 是平面 的一个法向量 =( ) )1,(ACDPA,0 cos= n31 二面角 的余弦值是 . PCDA4、 (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 中,底面 是正方形, 底SABCDABSA面 , , 点 是 的中点, ,且交 于点 .BSM

7、NSCN(I) 求证: 平面 ;/(II) 求二面角 的余弦值大小; DAC(III)求证:平面 平面 .SzyxR ADBCPSNMD CBA专题三:空间角5证明()证明:连结 交 于 ,连结 . BDACEM是正方形, 是 的中点. 是 的中点, 是 的中位ABCSDMEDSB线. . 又 平面 , 平面 , /MESBAC 平面 .(II)如图,以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 ,Oxyz由 故设 ,则 SB1DS. 1(0,)(,10)(,)(,0)(,)(,0)2CM底面 , 是平面 的法向量,AABCS(,)设平面 的法向量为 , CM()xyzn, 1(1,0)2A则 即

8、令 ,则 . ,.n0.xyz,.yxz1(,1)n ,二面角 的余弦值为 13cos,|ASnDACM3(III) , , ,02M,C102S又 且 .ACSANA. 又 平面 平面 平面 .平 面 S,SCAMN5. (本小题满分 12 分)三棱锥 BP中, 90, 2ABCPB,(1) 求证:面 C面 A(2) 求二面角 的余弦值SNMD CBzxyA专题三:空间角6(1) 证明:取 BC 中点 O,连接 AO,PO,由已知BAC 为直角三角形,所以可得 OA=OB=OC,又知 PA=PB=PC,则POAPOBPOCPOA=POB=POC=90,POOB,PO OA,OBOA=O所以

9、PO面 BCD,P面 ABC,面 PBC面 ABC(2) 解:过 O 作 OD 与 BC 垂直,交 AC 于 D 点,如图建立坐标系 Oxyz则 )0,13(A, ),(B, )0,1(C, )3,(P,)3,(),2(PB设面 PAB 的法向量为 n1=(x,y,z),由 n1BA =0,n 1 =0,可知 n1=(1,- 3,1)同理可求得面 PAC 的法向量为 n1=(3, ,1)cos(n1, n2)= 21= 656 (本小题满分 12 分)如 图 , 四 棱 锥 PABCD的 底 面 为 正 方 形 , 侧 棱 PA底面 BCD,且A, ,EFH分别是线段 ,的中点()求证: 平面

10、 ()求二面角 的大小解:() F为 PD的中点,且 AD, PAF,A底面 BC, 底面 BC, 2 分四边形 为正方形, 又 , 平面 第 5 题图第 5 题答案图专题三:空间角7PD平面 A, BPDBF, 平面 AHF 6 分()建立如图所示的空间直角坐标系 xyz,(0,)(2,0)(,)(0,2)AC, )(P,1E, F, 1H8 分设平面 的法向量为 n (,)xyz, (0,), 0E,则 ,nFyHxz取 ).1,(n又平面 AEF的法向量为 ),01(m 02cos, ,|2m,45,n所以,二面角 EFA的大小为 45 12 分7.(本小题满分 12 分)如图,在底面为直角梯形的四棱锥 PABCD 中, 平面,90ADBC P32,3,6.PBC(1)求证: 平面 PAC;(2)求二面角 的大小.DA解:(1)如图,建立坐标系,则 ,(0,)(23,0)(,60)(,2)(0,3)ABCP, PBD,,.D ,AC又 , . 面(2)设平面 的法向量为 ,(0,1)m设平面 的法向量为 ,Bxyzn则 0,Pn23,)B专题三:空间角8解得,230xyz32yxz令 ,则 x(,3)n1cos,|2mn二面角 的大小为 . PBDA60

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