1、1伯乐马 2012 年文科数学考前信息题1. 函数 的定义域是（ ）()2fxxA B C D ,2,0U2,0U【答案】D .【解析】由 ，且 ，得 .选 D20xx,2若 （ i是虚数单位） ，则 z的共轭复数 z=（ ）(1)ziA B C D 1i1i【答案】A. 【解析】因为 ，所以 z的共轭复数 z= ，选 A. 21iizi3.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据 如下表：根据上表可得回归方程 中的 为 7，据此模型，若广告费用为 10 元，则预报销售额是（ ）ybxaA4 2.0 元 B 57.0 元 C66.5 元 D73.5 元 来源: 学科网 Z【答案】D【解析
2、】 , 为 7,代入回归方程 ，得 .1840.5,35xyb3574.a35所以 ，于是当 时， 选择 D.73y1x710y4. 函数 的大致图像为（ ）)(sinex【答案】D. 【解析】函数不是偶函数，显然 A、C 错； 时， ，B 错，故选择 D.1xsin1ye5. 用若干个棱长为 1 的正方体搭成一个几何体，其主视图、侧视图均如图所示，对这个几何体，它的体积的最小值是（ ）A5 B 6 C 7 D9 【答案】A. 【解析】 体积最小的几何体如下图所示：2所以，该几何体体积的最小值是 5，应当选择 A.6函数 的零点所在的区间为（ ）.3()2logfxx.A （1，3） B （
3、，1） C （ ， ） D （3，9）193【答案】B. 【解析】 由 ， ， ,故函3()2logfxx321()log0f()20f数的零点在区间（ ，1） ，选 B37一只小麻雀子一个棱长为 20 米的正方体内自由飞翔，若麻雀在飞行过程中始终保持与正方体 6个面的距离均大于 5 米，称其为“自由飞翔” ，则麻雀“自由飞翔”的概率为 （ ）A. B. C. D. 8161272764【答案】A 【解析】根据几何概型知识，概率为体积之比，即 ,选 A30128P8. 已知 A、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形 ABC 的重心，动点 P 满足= ( + +2 ),则点 P 一定为三
4、角形 ABC 的（ ）P312CA.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心 D.AB 边的中点【答案】B【解析】取 AB 边的中点 M，则 ，由 = ( + +2 )可得OBA2P312OAB1C，所以 ，即点 P 为三角形中 AB 边上的中线的一个三等分点，且点 P 不OCP23CP2过重心，故选 B.9过双曲线 上任意一点 P，引与实轴平行的直线，交两直线 于12byax0,ab byxaM、N 两点，则 的值是（ ）PNur3A. B. C. D. 2abab22a2a【答案】D 【解析】设 ，则 于是),(yxp(,)(,)MyNy00aaPNxbbur ()
5、axyb，2 221()xyy所以 . 2PMPaurru10. 已知函数 )(xfy， R，有下列 4 个命题：若 21(f，则 )(xf的图象关于直线 1x对称；函数 )x与 )(f的图象关于直线 2对称；若 (f为偶函数，且 )(xf，则 )(f的图象关于直线 2x对称.其中正确命题的个数为 （ ）A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个【答案】C【解析】若 )2()(xfxf，所以图像的对称轴为 121xx，则 )(xf的图象关于直线 1x对称,所以,该命题是正确的； )2(f与 )(f的图象关于直线 2)(对称，该命题是正确的；若 x为偶函数，且 )2(xff，则 f的
6、图象关于直线 2x对称，是错误的，不能证明.11. 两个圆 与21:()4,()CayaR22:10,()CybbR恰有三条公切线，则 的最大值是_.b【答案】 9【解析】因为 和 ，所以两圆的圆心坐标21:()4,()xaya22:()1,()xyb是 ， ，半径分别为 2,1，依题意知两圆外切，得 ，所以 .,0a,b a29ab于是， 29.12已知 的三边长为 ，内切圆半径为 （用 ） ，则ABCcba,r的 面 积表 示 ABCSABCABCS4开始1,0nS6?否2nS1是 输出 S结束；类比这一结论有：若三棱锥 的内切球半径为 ，则三棱锥体积 )(21cbar BCDARBCDA
7、V【答案】 .(3ABCDACBRSS【解析】连接内切球球心与各点，将三棱锥分割成四个小棱锥，它们的高都等于 R，底面分别为三棱锥的各个面，它们的体积和等于原三棱锥的体积. 13某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 S的值为_.【答案】126【解析】n=1，S=2 ；n=2，S=6；n=3，S=14；n=4，S=30；n=5，S=62；n=6，S=126；n=7 跳出14.设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为_.xy， 236yx 2zxy14 【答案】3. 【解析】设变量 、 满足约束条件 xy2,36yx在坐标系中画出可行域ABC，A(2 ，0)，B(1，1)，C(3，3)，
8、则目标函数 的最小值为 32zxy15.（本小题满分 12 分） 已知数列 na的前 项和为 nS，且 2数列 nb为等比数列，且 1b， 48 （）求数列 ， b的通项公式；（）若数列 nc满足 na，求数列 nc的前 项和 nT.【解析】 （） 数列 的前 项和为 S，且 2， 当 2时， 21()1nn5当 1n时， 1aS亦满足上式，故 2a， (*)N 3 分又 数列 nb为等比数列，设公比为 q， 1， 3418q， 2 2n (*)N6 分 （） nnbca123nTc()()(21)12n()10 分所以 12nT 12 分16.（本小题满分 12 分） 已知函数 )2sin(
9、cosi)( xxf（I）若 ，求 的最小正周期和单调递增区间；Rx)(f（II）设 ，求 的值域3,0【解析】 （I） .()sin2cos2in()4fxx周期 ；3 分T令 ，得224kxk88xk所以，单调递增区间为 . 7 分,Z（II）解法 1：当 ， ，由 的图象可知，3,0x12,42tx 12sin,42yt当 时， 有最大值 ；10 分2ty当 时， 有最小值 。1t 132sin26A BCPDOPDCBA所以，值域 . 12 分31,217.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，PABCDPABCD， 是等边三角形，已知 ，ABDC 2425（I）求
10、证： 平面 ；（II）求三棱锥 的体积AP【解析】 （I）在 中，由于 ， ， ，B 2D4B25A . 2 分22D 又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，PACPCDBACD 平面 . 4 分B（II）过 作 交 于 .O又平面 平面 ， 平面 6 分DBOA 是边长为 2 的等边三角形， .3P由（1）知， ，在 中，ARtD斜边 边上的高为 . 8 分B45Bh ，DC . 10 分1522AS . 14 分1333APCDAACDVSPO7O19图图 181716151413 图图图图图0.060.080.160.320.3818.（本小题满分 12 分）某班 名学生在一次百米测试
11、中，成绩全部介于 秒与 秒之间，将测试结果按如下方式分成五50 138组：第一组 13,4)，第二组 14,5)，第五组 7,，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。（）若成绩大于或等于 秒且小于 秒6认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于 的概率。1【解析】 （）由频率分布直方图知，成绩在 内的人数为： （人）14,6)52所以该班成绩良好的人数为 人. 2 分27（）由频率分布直方图知，成绩在 的人数为 人，设为 、 、 ； 3 分3,)0.3xyz成绩在 的人数为 人，设为 、 、 、 4 分17,8)50.
12、84ABCD若 时，有 种情况； 6 分34mn,xyz若 时，有 种情况； 8 分,),ABCD若 分别在 和 内时，17,8)A B C Dx xA xB xC xDy yA yB yC yDz zA zB zC zD共有 种情况. 10 分12所以基本事件总数为 种，事件“ ”所包含的基本事件个数有 种。21|1mn12 （ ） 。 12 分P|mn7419.（本小题满分 13 分）已知点 C（1，0） ，点 A、 B 是O： 上任意两个不同29xy的点，且满足 ，设 P 为弦 AB 的中点（I）求点 P 的轨迹 T 的方程；（II）试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点：它到直线 的1x
13、xyABCOP8距离恰好等于到点 C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由【解析】 （I）法一：连结 CP，由 ，知 ACBC0ABC|CP|AP| |BP| ，1|2由垂径定理知 2|OP即 -4 分22|9C设点 P（x，y） ，有 22()(19xyy化简，得到 -6 分24法二：设 A ，B ，P ，1(,)xy2(,)xy(,)x根据题意，知 ， ， 22991212,xy 221 124,4xxyy故 -4 分212 12()()()8()yxxxy又 ，有0ACB12,0yy ，12()0x故 21()yx代入式，得到 2482(1)x化简，得到 -7 分xy（
14、II）根据抛物线的定义，到直线 的距离等于到点 C（1，0）的距离的点都在抛物线x上，其中 ， ，故抛物线方程为 -8 分2yp122p24yx由方程组 得 ，解得 .-11 分4xy340x12,由于 ，故取 ，此时012故满足条件的点存在的，其坐标为 和 -13 分(,)(1,Z+xx+k.Com20.已知函数 在32()fxbcxd(0)b处取到极值 20xxyABCOP9（）求 的值；,cd（）试研究曲线 的所有切线与直线 垂直的条数；()yfx10xby（）若对任意 ，均存在 ，使得 ，试求 的取值范围 1,2(0,1tln()etfxb【解析】解法一：（） ， 2()3fxbxc根
15、据题意得 解得 2 分(0)2,f0,cd经检验 在 处取到极值 232()fxb()x . 4 分0,cd（） ,即 ， ， 6 分2()3fxbx230xb241b当 ，即 或 时，满足条件的切线有 2 条，00当 ，即 时，满足条件的切线有 1 条，当 ，即 时，满足条件的切线不存在 8 分3b（）根据题意可知 ， minin()()gtfx令 ，得 ，1()0egtt1te当 时， ；当 时， ，0()gt()0gt所以, 函数 的递减区间为 ，递增区间为 ，ln1tet1,e1(,)e故函数 在 处取得最小值 10 分()lgttte()g由（）得 ， ，32fxb2()30fxbx
16、解得 或 0当 且 ，即 时，函数 在 单调递增，所以213b32b32()fxb1,得 ；所以 且 . 12 分min()()fxf2b0当 即 时，函数 在 单调递减，在 单调递增，所213b32b32()fxb(1,)3b2(,)3b以 ，得 ，所以3min4()()17fxf3434当 即 时，函数 在 单调递减，所以 ，得23b2()fxb1,min()(2)104fxfb，故此时不满足题意94综上， 且 32b0b14 分10解法二：（） （）同解法一；（）根据题意可知 ， minin()()gtfx令 ，得 ，1()0etgt1te当 时， ；当 时， ，0t()gtt()0gt所以,函数 的递减区间为 ，递增区间为 ，()ln1tet1,e1(,)e故函数 在 处取得最小值 10 分lgttt()g在 恒成立，32()1fxb,2即 在 恒成立.2,设 ， ，21()x,x由 得 ，由 得 .3()03232()0x32x函数 在 单调递增，在 单调递减，()x31,2)3(,函数 ，33max( 且 14 分32b0b
