1、第二章： 定量资料的统计描述,引 子：,统计学,例2-2 抽样调查某地120名1835岁健康男性居民血清铁含量（mol/L），数据如下：,目的：提取该组男性居民血清铁的分布信息。,问题1. 该组男性血清铁是怎样分布的？,问题2. 血清铁主要集中在哪个范围？,问题4. 变异情况？最高？最低？,问题3. 该组男性血清铁的平均水平？,离散趋势,统计描述：,从数据资料中获取信息最基本的方法,把握资料基本的特征为统计分析打下基础,包 括,第一节频率分布表与频率分布图,频数( frequency )：指在一个抽样资料中，某变量值出现的次数。,（一）离散型定量变量的频率分布：,例2-1 1998年某山区96
2、名孕妇产前检查次数资料：,频率分布表（frequency distribution table）： 将当变量值的个数较多时，对各变量出现的频率列表即为频率分布表，简称频率表。频率是表示频数出现机率的指标，可用百分数或小数表示，频率的和为100%或1。 .,频数表作用：简化数据，方便阅读；显示数据的分布类型和分布特征。,频率直条图（frequency distribution figure） ：根据频数分布表，以变量值为横坐标，频数为纵坐标，绘制的直方图。,图2-1 某地96名妇女产前检查次数频率分布,例2-2 抽样调查某地120名1835岁健康男性居民血清铁含量（mol/L），数据如下：,步骤
3、：, 求全距(Range,简记R ):是一组资料中最大值（Xmax）与最小值（Xmin）之差，亦称极差。,R = Xmax - Xmin =29.64 7.42 =22.22（ mol/L ）,2. 定组距：将全距分为若干段，称为组段。每个组段有其上限和下限，上限和下限之差 为组距，用小写i 表示。,原则:（1）“组段”数一般为10个左右，； （2）一般用等距分组； （3） “组距”一般为R/10取整。,本例题： 组距（i）=全距/ 预分组段= 22.22 /10=2.222,3.写组段：即确定各组段的上、下限。,原则:（1）第一组段要包括Xmin，最末组段包括 Xmax ；（2）每组段均用下
4、限值加 “ ”表示，最终组段同时注明上下限。,注：各组段连续但不能重叠，每一组段均为半开半闭区间。0,4. 列表划记：用划记的方法整理原始资料，清点各组段内的数据频数。,表2-2 120名正常成年男子血清铁含量（ mol/L ）频数,另：用计算各组段的频率、累计频数和累计频率。,频率直方图（frequency distribution figure） ：,图2-2 120例健康成年男子血清铁含量（mol/L )的频率分布图,7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29,频率密度图 :以变量值为横坐标，以频率与组距的比值为纵坐标作出的直方图。,1. 由于该直方图的纵轴表示在
5、每个组段内单位长度所占有的频率，相当于频率密度，因此将此图称为频率密度图。,面积=频率 由于频率总和为100%或1，故该曲线下横轴面积为100%或1 。 .,（三）频率分布表/图的用途：,1.揭示资料的分布类型,频数 分布,偏峰 分布,正偏,负偏,集中部位在中部，两端渐少，左右两侧的基本对称，为对称（正态）分布。,对称 分布,集中部位偏于较小值一侧(左侧)，较大值方向渐减少，为正偏峰分布。,集中部位偏于较大值一侧(右侧)，较小值方向渐减少，为负偏峰分布。,2.描述资料的分布特征,离散趋势 （tendency of dispersion),集中趋势与离散趋势结合能全面反映频数的分布特征,集中趋势
6、 （central tendency),7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29,4. 样本含量足够大时，以频率作为概率的估计值。,3.便于发现某些特大或特小的可疑值。,5.作为陈述资料的形式。,图3.1 某市101名8岁男童身高(cm)的频数分布,身高(cm),频数,第二节描述集中趋势的统计指标,算术均数 几何均数 中位数,集中趋势:用于描述一组计量资料的集中位置，说明这种变量值大小的平均水平，常用平均数（average）表示。,注意:1.同质的事物或现象才能求平均数,平均数,.应根据资料分布状态选用适当的均数。,（一） 算术平均数（arithmetic mean）
7、, 简称：均数（mean） 使用条件：数据分布比较均匀呈正态分布或近似正态分布。 样本均数用符号：X 表示 总体均数用符号：表示 计算方法有两种：直接法（小样本）和加权法（大样本）,举例： 某地10名18岁健康男大学生身高为（cm）： 168.7, 178.4, 170.0, 170.4, 172.1, 167.6, 172.4, 170.7, 177.3, 169.7求平均身高?,答：,（1）直接法：,方法：将观察值X1、X2、X3、Xn直接相加，再除以观察值的个数n。,公式：,适用范围：小样本资料，n30,例2-2 抽样调查某地120名1835岁健康男性居民血清铁含量（mol/L），求平均
8、数：,（2）频率表法（加权法）：,计算各组段的组中值xi、fxi和fx,答：,（mol/L）,频率表法：,方法：计算各组段的组中值 xi、f xi，后除以总频数f。,公式：,适用范围：样本含量较大的数据集。,算术平均数的适用范围：它适用描述一组性质相同的、单峰、且对称分布的（特别是正态分布的），且观察值之间差异不大的定量资料，此时均数最能反映分布的集中趋势，位于分布的中心。,练习:求120例正常人血浆125I-T3树脂摄取比值的均数,答:,（一）编制频数分布表：,全距（ R）= Xmax - Xmin =1.24 0.78 =0.46,1.求全距（R）：,组距（i）=全距/ 预分组段= 0.4
9、6 /100.05,3.定组段：,3.划表列记：,（二）用加权法计算均值：,均值：,举例：设有5份血清样品，滴度分别为： 1:1, 1:10, 1:100, 1:1000, 1:10000 求其平均滴度。,几何均数,（二） 几何均数（geometric mean, G）, 概念：对一组观察值，先进行对数变换，按算术均数计算方法求其对数值的均数，该均数的反对数值即几何均数（G）。 使用条件：用于原始数据分布呈偏态分布，等比资料（倍数变化）或对数正态分布资料的平均数的计算。 表示符号：G 计算方法：直接法和加权法,（1）直接法：,方法：将n个观察值（X1，X2，X3，Xn）直接相乘再开n次方。,公
10、式：,适用范围：小样本资料,用对数形式表示为：,举例：设有5份血清样品，滴度分别为： 1:1, 1:10, 1:100, 1:1000, 1:10000 求其平均滴度。,答：,G,或 Glg-1(lg1+lg10+lg100+lg1000+lg10000)/5)lg-1(0+1+2+3+4)/5) lg-12=100,即：平均滴度为1：100；较好地代表了观察值的平均水平。,（2）频率表法：,公式：,适用范围：大样本含量的分组资料或频数表资料。,Glg-1 (f lgX/f ),答：,即52例慢性肝炎患者的HBsAg滴度的几何均数为1:119.75。,例2-6 52例慢性肝炎患者的HBsAg滴
11、度数据如下表示，试计算滴度的平均数。,计算几何均数（G ）注意事项： （1）观察值不能为0； （2）观察值不能同时有正有负； （3）同一组资料求得的几何均数小于算术均数。,练习题：,1.有8份血清的抗体效价分别为： 1:5, 1:10, 1:20, 1:40, 1:80, 1:160, 1:320, 1:640 求平均抗体效价。,2.有50人的血清抗体效价，分别为： 5人1:10, 9人1:20, 20人1:40, 10人1:80, 6人1:160 求平均抗体效价。,解答：,1.有8份血清的抗体效价分别为： 1:5, 1:10, 1:20, 1:40, 1:80, 1:160, 1:320,
12、1:640 求平均抗体效价。,答：,将各抗体效价的倒数代入公式：,所以血清的抗体平均为1:56.57,解答：,2.有50人的血清抗体效价，分别为： 5人1:10, 9人1:20, 20人1:40, 10人1:80, 6人1:160 求平均抗体效价。,答：,将各抗体效价的倒数代入公式：,所以该50人的血清抗体效价为1:41.70,“中位数”的概念,P50 = M,0 50 100,小,大,P0 P50 P100,中位数,（三）中位数（Median，M）, 概念：将原始观察值从小到大排序后，位次居中的那个数叫中位数，用M表示。 使用条件：适用于任何分布的定量资料，特别是偏态分布、末端分布有特大特小
13、值或无法确定、甚至分布不清的资料。 表示符号：M 计算方法：直接法和加权法,（1）直接法：由原始数据计算中位数,举例：有7个人的血压（收缩压mmHg）测定值为： 120，123，125，127，128，130，132求中位数 ？,练习：,1.某病患者9名，发病潜伏期分别为顺序 2、3、3、3、4、5、6、9、16d，求中位数。,2.某病患者8名，发病潜伏期从小到大排分别为 5、6、8、9、11、11、13、16d， 求平均潜伏期。,答案：,（2）用频数表法计算中位数,百分位数（Percentile，Px）：一个数值，它将原始观察值分成两部分，理论上有x%的值小于Px，另有1- x%的观察值大于
14、Px，故它是一个位置指标。,P50=M,百分位数（Px ）计算公式：,例2-8：50例链球菌咽峡炎患者的潜伏期（小时）如下表示，试计算潜伏期的中位数、P5、P95。,答：,即：该组潜伏期资料的中位数是54.55小时。,3. 同样方法，可求P5、P95 ：,练习：求238名正常人发汞值的中位数和百分位数P25、P75,答案：,中位数的特点及应用:,特点：中位数是一位置指标，它对信息资 料的利用率较低，故准确度不算术均数、几何均数。 .,例2-1 1998年某山区96名孕妇产前检查次数资料：,（四）众数（Mode）, 概念：总体众数指在总体中出现机会最高的数值。 样本众数指在样本中出现次数最多的数
15、值。,偏峰分布,正态分布,问：算术均数、中位数及众数在以下分布中的 大小关系？,第三节描述离散趋势的统计指标,举 例：,有三组数据,A组：26，28，30，32，34 B组：24，27，30，33，36 C组：26，29，30，31，34,集中,说明集中趋势是数据分布的一个重要特征，但单有集中趋势指标还不能很好地描述数据的分布规律。而且还要看数据的变异程度 。,观察值的离散趋势,离散程度大说明均数代表性差 离散程度小说明均数代表性好,离散趋势:用于描述一组数值变量观察值之间参差不齐的程度，即变异程度。,包括,极差（Range, R） 四分位数间距（Quartile, Q） 方差（Varianc
16、e， ） 标准差（Standard deviation，S2） 变异系数（Coefficient of variation,CV）,（一） 极差（Range, 简称R）,计算：R=最大值最小值= Xmax - Xmin 意义：反映观察值的全范围。 条件：对各种分布类型资料都适用。 优点：计算简单，方便使用。 缺点：只利用最大值和最小值的信息，不能反 映其它观察值的变异情况。 建议：与其他离散指标共同使用。,2.样本例数越多，抽到极大值和极小值的可能性越大，故样本例数悬殊时不易比较极差。,极差的缺点：,1.R只考虑最大值和最小值之差，不能反映组内其它观察值的变异度。,3.即使样本例数不变，极差的
17、抽样误差亦较大，即不够稳定。,四分位数间距（ Quartile range, 用Q表示）,小,大,1 25 50 75 100,P1 P25 P50 P75 P100,QL,QU,下四分位数 上四分位数,QU QL= 四分位数间距,（二） 四分位数间距（uartile, 简称）,计算：=-=P75-P25 意义：中间一半观察值的极差。 条件：对各种分布类型的资料都适用，但常用于偏峰分布资料。 优点：类似值但比其稳定。 缺点：仍未考虑资料中每个观察值的变异度。 建议：与其他离散指标共同使用。,例2-8：50例链球菌咽峡炎患者的潜伏期（小时）如下表示，试计算潜伏期的四分位数间距。,四分位数间距Q
18、= QU QL =P75-P25,2. 求P25、P75 ：,1. 求P25、P75 ：,Q =P75 -P25 =73.20-40.91=32.29（小时）,（三） 方差（ Variance, 简称 ）,公式及来源：,极差和四分位间距未考虑全部观察值的变异度,应考虑总体中每个变量值x与总体均数之差；x-称为离均差。,为解决这个问题，给每项离均差平方后再相加，称离均差平方和， 即(x-)2，可表示为SS或Lxx。,但每个变量值与均数相减所得差值有正有负， 有 ，这样就不能反映变异的大小。,甲：26 28 30 32 34,证明：,(x-)2的大小，除与变异度有关外，还与观察值的个数（N）有关。
19、为在N不等时进行比较， (x-)2还要除以N，所得值在就称为方差，又称均方差（mean square deviation）, 用Var（X）用2表示：,总体方差：,以样本均数 代表，用样本例数n代表总体例数N，所得方差称样本方差，用S2表示。,（n-1）称为自由度（ degree of freedom ），用希腊字母nju:表示，表示随机变量能够自由取值的个数。,方差:分总体方差 ，样本方差S2,计算：意义：克服了值和Q值的不足，考虑了每个变量值的离散情况并消除了的影响。 优点：全面地考虑每个变量值的离散情况 缺点：其单位是原度量单位的平方。,总体方差,样本方差,（四）标准差（Standard
20、 deviation，SD或S）,方差的单位是原度量单位的平方，不便使用。,将方差公式展开，并开方，即得到另一个重要的离散趋势的指标，即标准差，简写为S。,公式来源：,总体标准差：,样本标准差：,标准差的计算:,利用(a-b)2展开原理, 直接法: 频数表法:,举例 分别求A、B、C三组数据的标准差：A组：26，28，30，32，34 B组：24，27，30，33，36C组：26，29，30，31，34,（1）直接法：用于小样本资料,（2）频数表法：用于大样本资料或频数表资料,例2-2 求120名1835岁健康男性居民血清铁含量的标准差：,答：,（五 ）变异系数：简称CV,概念：是同一组资料的
21、标准差与均数之比，又叫变异度或离散系数。 计算：实际含义：标准差相对于同组均数的百分比。 优点：CV 消除了度量衡单位，用于比较1.单位不同的多组资料的变异度。2.均数相差悬殊的多组资料的变异度。,身高,体重,说明其体重的变异度大于身高的，即身高比体重稳定。,例2-15：某1985年通过十省调查得知，农村刚满周岁的女童体重均数为8.42 kg，标准差为0.98kg；身高的均数为72.4cm，标准差3.0cm；试问其体重、身高的哪个指标更稳定些？,例2：试分析下组资料变异程度的变化趋势,附表 某地不同年龄儿童身高(cm)的变异度,第四节描述分布形态的统计指标,频数 分布,偏峰 分布,正偏,负偏,
22、集中部位在中部，两端渐少，左右两侧的基本对称，为对称（正态）分布。,对称 分布,集中部位偏于较小值一侧(左侧)，较大值方向渐减少，为正偏峰分布。,集中部位偏于较大值一侧(右侧)，较小值方向渐减少，为负偏峰分布。,（一）偏度系数（coefficient of skewness, SKEW）,（二）峰度系数（coefficient of kurtosis, SURT）,意义：,小 结,为描述定量变量的分布规律，可将观察值编制频数表，绘制频数分布图，要描述资料的分布特征（集中趋势及离散趋势）和分布类型。,集中趋势描述的主要指标是平均数。,常用平均数及其适用资料,3.描述频数分布离散程度的指标有： 极
23、差与四分位数间距，后者较稳定，但均不能综合反映个观察值的变异程度，适用于各种分布类型的资料，但更常用于描述偏峰分布资料。 方差和标准差最常用，对正态分布尤重要。 变异系数，可用于多组资料间单位不同或均数相差较大时，变异度的比较。,注意: 变异指标的大小这与平均指标值的大小无关。,4. 平均指标和变异指标相结合，能对各种分布的资料作很好的描述。,5. 常用描述资料分布形态的统计指标包括偏度系数与峰度系数。,符号小结,总体均数,样本均数,总体标准差,S,样本标准差,= n-1,自由度,Px,第X位百分位数,M,中位数,f,频数,n,样本含量,R,全距,i,组距,G,几何均数,CV,变异系数,QU
24、-QL,四分位数间距,【学习要求】,了解频数分布表的编制方法及应用。,掌握定量变量资料的集中趋势、 离趋势常用描述指标，及各自的适用范围。,掌握正态分布资料、及偏峰分布资料的分布特征、分布类型的描述方法。,案例讨论,1. 某市1974年测定的238人的发汞值（ mol/Kg ）检测结果如下表示，试进行统计描述。,2. 为描述其集中和离散趋势，某研究者采用均数标准差，即7.14 3.32 mol/Kg，是否合理?为什么?,案例讨论,连续型定量变量,分布形态,整理频率分布表或分布图,选择描述分布特征的指标,直方图,正偏峰分布,中位数（四分位数间距）,考察原始数据,数据变换,对数正态分布,选择题 1
25、用频率计算平均数时，各组的组中值应为 。A. 本组段变量值的平均数；B.本组段变量值的中位数；C. 本组段的上限值； D.（本组段上限值+下限值）/2 2血清学滴度资料最常计算 以表示其平均水平。A. 算术均数； B. 中位数；C. 几何均数； D. 全距。,3. 在正态分布条件下表示变量值变异情况的指标最常用的是 。 A.标准差 B.百分位数 C.变异系数 D.全距 4. 变异系数越大说明 。 A.标准差越大 B 以均数为准变异程度大 C.平均数越小 D 标准差、平均数都大,5. 已知某疾病患者10人的潜伏期（天）分别为：6，13，5，9，12，10，8，11，8，20，其潜伏期的平均水平约
26、为 。A. 9天 B. 9.5天 C. 10天 D. 10.2天 E. 11天 6. 均数和标准差的关系是 。A.均数越大，标准差越小B. 均数越大，标准差越大C. 标准差越大，均数对各变量值的代表性越好D. 标准差越小，均数对各变量值的代表性越好E. 均数和标准差都可以描述资料的离散趋势,简答题1.描述数值变量集中趋势和离散趋势的指标各有哪些？各自的应用是什么？2.测定某地健康妇女255人的两种血象指标结果为：红细胞数（1012/L）的均数为4.178，标准差为0.291；血红蛋白（g/L)的均数为117.6，标准差为10.2。能否说血红蛋白的变异比红细胞数的变异大？应如何比较？,3. 调查某地107名正常人尿铅含量（mg/L） 如下：若描述该资料的集中趋势和离散趋势，宜用何指标？,THANK YOU!,
