1、考纲解读 1了解平面向量的基本定理及其意义 2掌握平面向量的坐标表示 3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 4理解用坐标表示的平面向量共线的条件,考向预测 1平面向量的坐标运算及用坐标表示平面向量共线的条件,是高考考查的重点,也是历年高考的热点 2以选择题、填空题的形式进行考查,以中低档题为主 3向量的坐标运算及共线条件,常与三角、解析几何等知识结合,在知识的交汇点处命题,以解答题形式出现,属中档题,知识梳理 1平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a1e12e2. 其
2、中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 ,不共线,基底,(2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量正交分解 (3)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使axiyj,把有序数对 叫做向量a的坐标,记作a ,其中 叫a在x轴上的坐标, 叫a在y轴上的坐标,互相垂直,(x,y),(x,y),x,y,(x,y),(x,y),2平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算 (2)向量坐标的求法(3)平面向量共线的坐标表示 设a(x1,y1),b(x2,
3、y2),其中b0,则a与b共线ab .,x1y2y1x20,终点,起点,(x2x1,y2y1),(x1x2,y1y2),(x1x2,y1y2),(x1,y1),x1y2x2y10,A2 B3 C4 D5 答案 B,2(教材改编题)下列各组向量中,可以作为基底的是 ( ) Ae1(0,0),e2(2,3) Be1(2,3),e2(5,7) Ce(1,2),e2(2,4)答案 B 解析 根据基底的定义知,非零且不共线的两个向量才能可以作为平面内的一组基底A中显然e1e2;C中e22e1,所以e1e2;D中e12e2,所以e1e2.,3(2011广东汕头模拟)若向量a(1,1),b(1,1),c(4
4、,2),则c( ) A3ab B3ab Ca3b Da3b 答案 B 解析 设cab,则(4,2)(,),,答案 D,答案 30,7已知向量a(1,2),b(x,1),ua2b,v2a2b,且uv,求x. 解析 u(1,2)2(x,1)(2x1,4), v2(1,2)(x,1)(2x,3) uv, 由向量平行的充要条件得 (2x1)34(2x)0,,点评 (1)本题利用了两次共线的条件,并且注意方程思想的利用; (2)解决类似问题应重视平面几何的知识; (3)用基底表示向量是用向量解决问题的基础,应根据条件灵活应用,并熟练掌握,分析 根据题意可设出点C、D的坐标,然后利用已知的两个关系式列方程
5、组,求出坐标,例3 平面内给定三个向量a(3,2),b(1,2),c(4,1) (1)若(akc)(2ba),求实数k; (2)设d(x,y),满足(dc)(ab),且|dc|1,求d. 分析 (1)由两向量平行的条件得出关于k的方程,从而求出实数k的值 (2)由两向量平行及|dc|1得出关于x,y的两个方程,解方程组即可得出x,y的值,从而求出d.,解析 (1)(akc)(2ba), 又akc(34k,2k),2ba(5,2),,点评 1.解决向量平行有关的问题,一般考虑运用向量平行的充要条件 2向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法,也为点共线、线平行问题的处理提供了容易
6、操作的方法 提醒:利用共线向量证明三点共线,有坐标时,只需使三点构成的两个向量的坐标对应成比例或利用共线向量定理,(2009广东理)若平面向量a,b满足|ab|1,ab平行于x轴,b(2,1),则a_. 答案 (3,1)或(1,1) 解析 考查平面向量的线性运算、共线、模及数量积的坐标表示等 设a(x,y),则ab(x2,y1), |ab|1,(x2)2(y1)21 又ab平行于x轴,ab与e1(1,0)或e2(1,0)共线,y10,y1. 代入中得x3或1,a(3,1)或(1,1).,(1)t为何值时,P在x轴上?在y轴上?P在第二象限? (2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相
7、应的t值;若不能,请说明理由 分析 利用向量相等,建立点P(x,y)与已知向量之间的关系,表示出P点的坐标,然后根据实际问题确定P点坐标的符号特征,从而解决问题,如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标,1平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的作用 平面向量基本定理是建立向量坐标的基础,它保证了以原点为始点的向量与坐标是一一对应的,在应用时,构成两个基底的向量是不共线向量 (2)用向量证明几何问题的一般思路 先选择一组基底,并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来证明,特别提醒:(1)零向量不能作为基底 (2)两个非零向量共线时不能作为平面的一组基底 2对向量a(x,y)的理解 (1)axe1ye2(e1,e2分别是x轴、y轴正方向上的单位向量); (2)若向量a的始点是原点,则(x,y)就是其终点的坐标,3平面向量共线的坐标表示 (1)需注意的几点,若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab(b0)的充要条件是ab,这与x1y2x2y10在本质上是没有差异的,只是形式上不同 (2)三点共线的判断方法 判断三点是否共线,先求每两点对应的向量,然后再按两向量共线进行判定,即已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),,请同学们认真完成课后强化作业,