1、, 一元微积分学,大 学 数 学（1）,第五讲 无穷小量与无穷大量 极限的运算,授课教师：王利平,主 要 内 容,一.无穷小量及其运算性质,二. 无穷大量,三. 极限的运算法则,一、无穷小量及其运算性质,简言之, 在某极限过程中, 以 0 为极限的量称该极限过程中的一个无穷小量.,1.无穷小量的定义,定义,2. 函数的极限与无穷小量的关系,反之亦然.,由以上的分析, 你可得出什么结论 ?,定理,同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是一个无穷小量.,同一个极限过程中的有限个无穷小量之积仍为无穷小量.,3.无穷小量的运算法则,常数与无穷小量之积仍为无穷小量.,在某极限过程中, 以极限不 为零的函
2、数除无穷小量所得到商 仍为一个无穷小量.,在某一极限过程中, 无穷小量 与有界量之积仍是一个无穷小量.,证,证,证,证明,解,二. 无穷大量,定义,1.无穷大量的定义,无穷大量是否一定是无界量 ?,在某极限过程中,无界量是否一定是无穷大量 ?,当 x 时,函数 sinx、cosx, 是否为无穷大量 ？,因为sinx、cosx 是有界函数, 所以在任何极限过程中它们都不是无穷大量.,在某一极限过程中,定理,2. 无穷大量与无穷小量的关系,无穷大量一定是同一 极限过程中的无界量.,反之不真,3.无穷大量的运算性质,在某极限过程中, 两个无穷大量之积 仍是一个无穷大量.,在某极限过程中, 无穷大量与
3、 有界量之和仍为无穷大量.,不是无穷大量,是无穷大量,两个无穷大量的和是否仍为无穷大量?,考察,有界量与无穷大量的乘积,是否一定为无穷大量？,不着急, 看个例题:,结论:,在某个极限过程中,极限运算法则的理论依据,依据无穷小量的运算法则,三. 极限运算法则,由此你能不能写出极限四则运算公式？,1. 极限运算法则,设在某极限过程中, 函数 f (x)、g(x) 的极限 lim f (x)、lim g(x) 存在, 则,2.复合函数的极限,有什么问题没有？,定理,解,求,解,因式分解,解,初等展开,解,有理化,解,第二问怎么做？,令,则,当 x 0 时, y 0, 故,变量代换,证明,原式,由,即得所证.,证,解,这是两个无穷大量相减的问题. 我们首先进行,通分运算, 设法去掉不定因素, 然后运用四则运算,法则求其极限.,( 通分 ),解,有理化,解,利用无穷小量与无穷大量的关系,涉及到两个无穷大量的差,解,所以,由复合函数求极限法则,解,这是求幂指函数极限常用的方法:,解, 由函数的极限与其左、右极限的关系, 得,b = 2 ,解,
