1、典型例题例 1如图，已知：在 中， ， ，BD 平分 交ABC903AABCAC 于 D.求证：D 在 AB 的垂直平分线上 . 分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证 D 在 AB 的垂直平分线上，只需证明 即可. DAB证明： ， （已知） ，90C3 （ 的两个锐角互余）6Rt又BD 平分 （已知） . ABDA3021 （等角对等边）D 在 AB 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.例 2如图，已知：在 中， ， ，AB 的垂直平ABCA120BC分线交 AB 于 E，交 BC 于 F。求证： 。BFC2分析：由于 ， ，可得 ，又因为 EF 垂
2、10AACB30CB直平分 AB，连结 AF，可得 . 要证 ，只需证 ，即F2AF2证 就可以了. 90F证明：连结 AF，EF 垂直平分 AB（已知） （线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等）FBA （等边对等角） （已知） ， C （等边对等角）B又 （已知） ，120A （三角形内角和定理）3C BF 90A （直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半）C230 FB说明：线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得，初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理，容易舍近求远，由三角形全等来证题. 例 3如图，已知：AD 平分 ，EF 垂直平分 AD，交
3、 BC 延长线于BACF，连结 AF。求证： 。CAFB分析： 与 不在同一个三角形中，又 ， 所在的两个三角BCAF形不全等，所以欲证 ，不能利用等腰三角形或全等三角形的性质. 那么注意到 EF 垂直平分 AD，可得 ，因此 ，又因为FDAD， ，而 ，所以可证CADFCAB明 . B证明：EF 垂直平分 AD（已知） ， （线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等）. FDA （等边对等角） （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的BA和） ，CDFCA又 （角平分线定义） ， B说明：运用线段的垂直平分线的定理或逆定理，能使问题简化，如本例题中，EF 垂直平分 AD，可以直接
4、有结论 ，不必再去证明两个三角形全FDA等. 例 4如图，已知直线 和点 A，点 B，在直线 上求作一点 P，使 . l l BA分析：假设 P 点已经作出，则由 ，那么根据 “到线段两端点距离PBA相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知，点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 而点 P 又在直线 上，则点 P 应是 AB 的垂直平分线与垂线 的交点。l l作法：1连结 AB. 2作线段 AB 的垂直平分线，交直线 于点 P. l则 P 即为所求的点. 说明：在求作一个点时，要考虑该点具备什么样的特点，如它到一条线段的两个端点距离相等，它就在连结这两点的线段的垂直平分线上，如果它到一个角的两边的距离相等，它就在这个角的平分线上.
