1、初三圆的复习习题【经典例题精讲】例 1 如图 23-2，已知 AB为O 直径，C 为 上一点，CDAB 于 D，OCD 的平分线 CP交O 于 P，试判断 P点位置是否随 C点位置改变而改变？分析：要确定 P点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察 P点位置的变化，然后从中观察规律解：连结 OP，P点为 中点小结：此题运用垂径定理进行推断例 2 下列命题正确的是( )A相等的圆周角对的弧相等B等弧所对的弦相等C三点确定一个圆D平分弦的直径垂直于弦解：A在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以 A不正确B等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此 B正确C三个点只有不
2、在同一直线上才能确定一个圆D平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦故选 B例 3 四边形 ABCD内接于O，ABC123，求D分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等解：设Ax，B2x，C3x，则DACB2xx2x3x2x360，x45D90小结：此题可变形为：四边形 ABCD外切于O，周长为 20，且ABBCCD123，求 AD的长例 4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30的三角板和一个刻度尺，用如图 23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径若测得 PA5cm，则铁环的半径是_cm分析：测量铁环半径的方法很多，本
3、题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过 P点作直线 OPPA，再用三角板画一个顶点为 A、一边为 AP、大小为 60的角，这个角的另一边与 OP的交点即为圆心 O，再用三角函数知识求解解：小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型例 5 已知 相交于 A、B 两点， 的半径是 10， 的半径是17，公共弦 AB16，求两圆的圆心距解：分两种情况讨论：(1)若 位于 AB的两侧(如图 23-8)，设 与 AB交于 C，连结 ，则 垂直平分 AB， 又AB16AC8在 中， 在 中， 故 (2)若 位于 AB的同侧(如图 23-9)，设
4、 的延长线与 AB交于 C，连结 垂直平分 AB， 又AB16，AC8在 中， 在 中， 故 注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题三、相关定理：1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）说明：几何语言： 若弦 AB、CD 交于点 P，则 PAPB=PCPD（相交弦定理）例 1 已知 P为O 内一点， ，O 半径为 ，过 P任作一弦 AB，设 ， ，则 关于 的函数关系式为 。解：由相交弦定理得 ，即 ，其中2.切割
5、线定理推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 说明：几何语言：若 AB是直径，CD 垂直 AB于点 P，则 PC2=PAPB例 2 已知 PT切O 于 T，PBA 为割线，交 OC于 D，CT 为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求 PB长。解：设 TD= ，BP= ，由相交弦定理得：即 ， （舍）由切割线定理， 由勾股定理， 四、辅助线总结1.圆中常见的辅助线1）作半径，利用同圆或等圆的半径相等2）作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明3）作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行
6、计算4）作弦构造同弧或等弧所对的圆周角5)作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角6)遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角7)遇到切线，作过切点的半径，构造直角8)欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径9)遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点10)遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点11)遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线12)遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线13)求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，
7、将公切线平移成直角三角形的一条直角边2、圆中较特殊的辅助线1)过圆外一点或圆上一点作圆的切线2)将割线、相交弦补充完整3)作辅助圆【中考热点】近年来，在中考中圆的应用方面考查较多，与一元二次方程、函数、三角函数、实际问题、作图等是中考中的热点，也是难点例 1 (2003北京市)如图 23-10，AB 是O 的直径，弦CDAB，垂足为 E，如果 AB10，CD8，那么 AE的长为( )A2 B3C4 D5分析：连结 OC，由 AB是O 的直径，弦 CDAB 知CDDE设 AEx，则在 RtCEO 中， ，即，则 ， (舍去)答案：A例 2 (2003北京市)如图 23-11，CA 为O 的切线，
8、切点为 A，点 B在O 上，如果CAB55，那么AOB 等于( )A35 B90C110 D120分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道AOB2BAC255110答案：C例 3 (2003北京市)如果圆柱的底面半径为 4cm，母线长为 5cm，那么侧面积等于( )A B C D分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长；另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即 答案：B例 4 (河南省 A卷)如图 23-12，在半径为 4的O 中，AB、CD 是两条直径，M 为 OB的中点，延长 CM交O 于E，且 EMMC，连结 OE
9、、DE， (1)求 EM的长(2)求 sinEOB 的值简析：(1)由 DC是O 的直径，知 DEEC，于是设 EMx，则 AMMBx(7 x)，即 所以 而 EMMC，即 EM4(2)过 E作 EFOM，垂足为 F，则 OF1(OEEM4)，即 ，则 例 5 (2003山西省)如图 23-13，AB 是O 的直径，PB 切O 于点 B，PA 交O 于点 C，PF 分别交 AB、BC 于 E、D，交O 于 F、G，且 BE、BD 恰好是关于x的方程 (其中 m为实数)的两根(1)求证：BEBD；(2)若 ，求A 的度数简析：(1)由 BE、BD 是关于 x的方程的两根，得，则m2所以，原方程为
10、 得 故 BEBD(2)由相交弦定理，得 ，即 而 PB切O 于点B，AB 为O 的直径，得ABPACB90又易证BPDAPE，所以PBDPAE，PDCPEB，则 ， ，所以 ，所以在 RtACB 中， ，故A60历届中考题目1(2002青海省)O 的半径为 10cm，弦 ABCD，AB12cm，CD16cm，则AB和 CD的距离为( )A2cm B14cmC2cm 或 14cm D10cm 或 20cm2(2001吉林省)如图 23-14，O 的直径为 10，弦AB8，P 是弦 AB上一个动点，那么 OP的长的取值范围是_3(2000北京西城区)如图 23-15，AB 为O 的直径，弦CDA
11、B，垂足为 E，那么下列结论不正确的是( )ACEDE BCBACBAD DACAD4(2000北京市丰台区)在直径为 52cm的圆柱形油桶内装入一些油后，截面如图 23-16所示，如果油的最大深度为 16cm，那么油面宽度为_cm5(2000荆门市)如图 23-17，点 A是半圆上一个三等分点，B 点是 的中点，P为直径 AMN上一动点，O 的半径为 1，则 APBP 的最小值为( )A1 BC D6(2001陕西省)给出下列命题任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形任意三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆任意一个圆一定
12、有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形其中正确的说法有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个7(2001泉州市)圆内接四边形 ABCD中，AC13，则C_8(2002曲靖市)下列判断：(1)分式方程 无解；(2)直径是弦；(3)任意一个三角形都有一个外接圆且只有一个外接圆；(4)圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角；(5)长度相等的弧所对的圆心角相等其中正确的个数有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个9(2001盐城市)如图 23-19，在ABC 中，C90，AC3，BC4，若以 C为圆心，R 为半径的圆与斜边 AB只有一个公共点，则 R的取值范围是_10(2002金华市)如
13、图 23-20，C 是O 的直径 AB延长线上一点，过 C作O的切线 CD，D 为切点，连结 AD、OD、BD请根据图中所给出的已知条件(不再标注或使用其他字母，不再添加任何辅助线)，写出两个你认为正确的结论_11(2001连云港市)两圆半径长分别是R、r(Rr)，圆心距为 d，若关于 x的一元二次 方程有相等的实数根，则两圆的位置关系为( )A一定内切 B一 定外切C相交 D内切或外切12(2002黄冈市)如图 23-21，在 RtABC 中，C90，A60， ，将ABC绕点 B旋转到ABC的位置，且使点A、B、C三点在同一条直线上，则 A点经过的最短路线的长度是_cm13(2002河南省)
14、如图 23-22，O、B、C、D、E 相互外离，它们的半径都是 1，顺次连结 5个圆心得到五边形 ABCDE，则图中五个扇形(阴影部分)的面积之和为( )A1 B1.5C2 D2.514(2003新疆)若两圆的公切线有且只有一条，那么这两个圆的位置关系是_15(2003辽宁)如图 23-23，施工工地的水平地面上，有三根外径都是 1米的水泥管，两两相切地堆放地一起，则其最高点到地面的距离是_16一个扇形的弧长为 20cm，面积为 ，则该扇形的圆心角为_17(2003河北)已知圆锥的底面直径为 4，母线长为6，则它的侧面积为_参考答案【历届中考题目】1C 23OP5 3D 448cm 5C6B 7135 8C 93R4 或10(略) 11D 12 13B 14内切15 16150 1712
