1、第 4 章：矩阵的特征值及二次型学习要点：特征值、特征向量的概念及求法，相似矩阵的性质，实对称矩阵对角化的方法，二次型的定义、标准形及其矩阵表示，用配方法化二次型为标准形的方法，正定矩阵的概念及判定方法。本章重点：矩阵的特征值与特征向量向量的概念及求法，配方法化二次型为标准形的方法。复习要求：1.理解矩阵特征值、特征向量的概念；掌握特征值与特征向量的求法；设 为 阶方阵，若存在数 和非零 维向量 ，使得AnnxxA则称数 为 A 的特征值，称 为 相应于特征值 的特征向量。注意特征向量必为非零向量。例如，设 为 阶矩阵， 既是 又是 的特征值， 既是 又是 的特征向B,nBxAB量，则结论（
2、）成立(A) 是 的特征值 (B) 是 的特征值AA(C) 是 的特征向量 (D) 是 的特征值x答案：C又如 1,231xA因 3所以 2 为 的特征值， 为 相应于 2 的特征向量。x1A特征值的求法： 求特征方程 的根；0|I特征向量的求法： 求齐次线性方程组 的非零解，称为矩阵 的相应ox)(I A于特征值 的特征向量。几个有用的结论：（1）n 阶方阵 n 个特征值之和等于方阵对角线元素之和（称为迹） 。（2）n 阶方阵 n 个特征值之乘积等于方阵的行列式值。（3）若 为方阵 特征多项式的 重根，则 相应于 的特征向量线性无关的个数AkA不会超过 ，即有可能相等，有可能小于。k（4）任
3、一方阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的。由此结论知，方阵 所A有特征向量中线性无关的总数为对应于每个特征值的线性无关特征向量个数之和。2.了解矩阵相似的定义和相似矩阵的性质；设 都是 n 阶方阵，若有可逆方阵 ,使B A、PBA1则称 阵，或说 相似，记为 ，对 进行运算 称为对似的是 和AP1进行相似变换，其中可逆阵 称为相似变换矩阵。相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。3.掌握实对称矩阵对角化的方法。当 阶矩阵 有 个线性无关的特征向量时， 被它的特征值和特征向量唯一确定，nAnA即一定有 1P其中 是以特征向量为列向量的方阵， 是以特征值为对角线元素的对角阵。P4.理解
4、二次型的定义，二次型的矩阵表示；把变量 的二次齐次多项式nx,21 221212121 ),( nnn nn xaxaxxxf 称为 n 元二次型。利用矩阵的乘法，可把二次型确切地用矩阵表示为 AXfn),(21其中 ， 。nxX21 jiijnnaaA 且 15.了解二次型的标准形及其矩阵描述；只有平方项而没有交叉乘积项的二次型，即 ),(21nyf 2221nydyd称其为二次型的标准形。任何一个二次型都可化为标准形。即任何一个对称阵 A，总能找到可逆阵 C，使成为对角阵。AC6.掌握用配方法化二次型为标准形的方法；以三个变量的二次型为例，即 ),( 232313231211321 xax
5、axf 先将含 的各项配成一个含 的一次式的完全平方，再将含 的各项配成完全平方，1x1x作变量替换，可得标准形。例如用配方法将二次型 化为标准型，并求出32321321 657),( xxxf 所作的满秩变换解：32321321 657),( xxxf 22)(331xx令（*）3321,yyx即得23213217),(f由式（*）解出 ，即得x321yx或写成3213210yx7.了解正定矩阵的概念，掌握正定矩阵的判定。若二次型 对任意非零向量 ，恒有 ，AxT),(21nf Tnxx),(210Ax则称 为正定二次型，也称实对称矩阵 为正定矩阵。f正定矩阵的判别可利用下面的等价条件。设 为 阶实对称矩阵，则下列命题等价： An（1） 是正定矩阵；（2） 的正惯性指数为 n（3） 的 个特征值全大于零。
