1、Planck 和 Rayleigh-Jeans 黑体辐射公式的推导Made by 0310340 陶波0310351 郑启飞 0310337 盛海翔黑体是指在任何温度下,对于各种波长的电磁辐射的吸收系数恒等于 1 的物体黑体辐射的能量是由电磁场的本征振动引起的，为简化推导过程，在此将黑体简化为边长为 L 的正方形谐振腔。如图示:则腔内的电磁场满足亥姆霍兹方程：2 2u+k0 (k)（1）用分离变量法，令 u(x,yz)X(x)YyZ(z)则（1）式可分解为三个方程： 22222200xyzdXkYdZk其中 222xyzk得（1）式的驻波解为： 112233(,)(cossin)(cossin
2、)cosin)xxyyz zuxykdkkdkkd由在 x=0,x=L,y=0,y=L,z=0,z=L 上的边界条件 及0nE可得：0DE123cosinsiicsnsicosxxyzyxyzz xyzAkkkEkkk， ， xxkLyyLzznL,0,12xyzn（其中 , , 满足关系 ）A31230xyzkAkA则 （j 表示第 j 个本征态）的绝对值为：k2222()()j xyzjnnLL换成第 j 个本征态的频率得： 22()j jc当 时， 和 可视为连续变化，不必取分立值，jLjj即有：（2）22()cnL（2）式表明在整数 n 空间一组整数 即对应一个本,xyzn征模的频率。
3、因此，频率区间 内的本征模数，在数值上A等于整数 n 空间内数值半径由 范围内球壳体积的八分之一，即：（V 为腔的体2322314()44()LdNnBccAAA积）又因为每一个频率为 的单色平面波还存在着两个独立的相互垂直的偏振态，则频率间隔 内的本征模数为：A238()VdNdc设 表示温度为 T，频率为 （Reply：是指某一个,T 特定频率）的本征振动的平均能量， 为相应的能量(,)T密度，则振动频率在 到 之间的能量为：d238(,)(,)()(,)VVTdTNdc（3）238(,)(,)dc本征振动是简谐振动，由三维谐振子的能量本征值：（n=0，1，2）3()2nEh系统处于热平衡
4、状态时，处于各本征能量的谐振子分布遵从麦克斯韦-波尔兹曼分布律：即： exp()n nENkT所以： exp()(,)()nnnnEkT（4）若令 ，1kTexp()nnZE则（4）式可改写为：1(,)dZT由 3exp()exp()23()()2exp()1nnnZEnhhhh所以： （不是 kT）1(,)exp()1dZhTkT代入（3）式得： 323 388(,)(,)exp()1hTdTddcckT此即为 Planck 黑体辐射公式。若按经典理论，由热力学与统计物理的能量均分定理可知平均能量为： (,)TkT则: 2 23 388(,)(,)TddkTdcc此即为 Rayleigh-Jeans 黑体辐射公式。两公式的曲线与实验曲线的符合情况如图:
