1、2009 年 1 月 Journal on Communications January 2009第 30 卷第 1 期 通 信 学 报 Vol.30 No.1OFDM 的推广形式及其在频率色散信道的应用曹祁生，梁德群（大连海事大学 信息工程学院 信号与图像处理研究室，辽宁 大连 116026）摘 要：提出了一种 OFDM 的推广形式，将复码元的实部和虚部分别采用不同的脉冲成形进行调制。把这种调制形式称为 G-OFDM。讨论了 G-OFDM 的脉冲成形和星座图设计问题。数值仿真表明， G-OFDM 在频率色散信道的性能优于传统 OFDM，同时这一优势并未降低系统对抗 AWGN 及时间色散的性能
2、。关键词：OFDM；脉冲成形；频率色散；正交约束中图分类号：TN911 文献标识码：B 文章编号：1000-436X(2009)01-0095-07Generalized form of OFDM and its applications infrequency-dispersive channelCAO Qi-sheng, LIANG De-qun(Signal and Image Processing Institute, Department of Information Engineering, Dalian Maritime University, Dalian 116026,Chi
3、na)Abstract: A generalized form of OFDM was presented, termed G-OFDM. In such a system, the real and imaginary parts of complex symbols were modulated separately using different pulse shaping. The issue of pulse shaping design as well as constellations design for the G-OFDM was discussed. Numerical
4、simulations show that G-OFDM outperforms traditional OFDM in frequency-dispersive channel, and this advantage does not sacrifice its performance in AWGN immunity or time-dispersion robustness.Key words：OFDM; pulse shaping; frequency dispersion; orthogonality restriction1 引言正交频分复用(OFDM) 1是频谱利用率较高的一种数
5、据传输技术，近年来引起了人们广泛的注意，许多应用都采用其作为标准，并已成为下一代无线通信系统重要的可选方案之一。传统OFDM 的码元都采用矩形脉冲成形滤波器。该脉冲的时频局域化性能不佳，在移动通信中多普勒频移和频率同步误差会引起较大的载波间干扰（ICI, intercarrier interference ） ，即对频率色散敏感。那么是否可以采用局域化性能更好的脉冲成形来解决这个问题呢？文献2,3均指出，受到正交约束的限制，具有临 界 时 频 密 度 的 OFDM（ 即 子 载 波间 隔 是 码 元 间 隔 的 倒 数 ， 此 时 系 统 具 有 最 大 的 频谱 利 用 率 ） 所 使 用
6、的 脉 冲 成 形 滤 波 器 不 可 能 具 有好 的 局 域 化 性 能 。 在 本 文 中 ， 讨 论 的 均 是 具 有 临界 时 频 密 度 的 OFDM 系 统 。为了从调制方法上解决 OFDM 对频率色散敏感这一缺陷，学者们进行了多方面的探索。文献35研究了一类新的 OFDM 系统，每个子载波使用偏移 QAM 调制，称为 OFDM/OQAM，该系统能够采用局域化性能更好的脉冲成形；文献6,7介绍了部分响应 OFDM 系统，利用相关编码减小ICI；文献 8提出了在时频平面采用六边形网格进收稿日期：2006-06-28；修回日期：2008-09-15基金项目：国家自然科学基金资助项目
7、(60272017) Foundation Item: The National Natural Science Foundation of China (60272017)96 通 信 学 报 第 30 卷行调制的 OFDM，称为 LOFDM，而文献9 亦提出了与之类似的传输结构。但这些工作存在一个共同问题，即是以牺牲系统的其他性能作为代价来换取频率色散顽健性。其中，OFDM/OQAM 和LOFDM 无法采用保护间隔，因此在时间色散信道系统性能将会下降，而部分响应 OFDM 则是降低了系统抵抗 AWGN 的性能。本文作者曾探讨了放松调制系统中的正交约束以改善系统性能的问题 10,11。沿着这
8、一思路，针对传统 OFDM 系统的正交约束，本文介绍一种OFDM 推广形式的调制方案，以下简称 G-OFDM，即 Generalized OFDM。它对传统 OFDM的脉冲成形方法进行了扩展，减轻了正交约束对脉冲成形的限制，从而能够利用脉冲成形来对抗频率色散，同时又不会损失系统对抗 AWGN 及时间色散的性能。本文组织如下：第 2 节介绍了 G-OFDM 的模型，探讨其脉冲成形设计问题；第 3节分析了 G-OFDM 在 AWGN 信道和色散信道的性能；第 4 节给出了 G-OFDM 设计实例，并进行仿真；第 5 节是结束语。2 G-OFDM 系统的基带等效模型首先简单回顾连续时域中传统 OFD
9、M 的基带等效模型。一个 OFDM 码元周期内的发送信号可用式(1)表示(1)10()()expj2MkytwtktT其中， ， 是码元间隔， 是子信道数，0T等于 2 的整次幂， 是复码元， 是能量归一k()t化的矩形脉冲成形， 是子载波。为了expj2下文表达简便，将式（1）用无限维希尔伯特空间的矢量形式表示(2)yG其中， ， 011.Mxx01gL， 即 的矢量表示，1Mgk()epj2)wtktT（以下均同） 。,L下面介绍 G-OFDM 系统的工作方式。与传统OFDM 相同的是，G-OFDM 不同时刻的复码元对应的发送信号是严格分开的，这是为了确保能够插入保护间隔以对抗时间色散。而
10、与传统 OFDM不同的是，G-OFDM 复码元的实部和虚部是分开调制的，分别采用了各自的脉冲成形，即发送信号可用式（3）表示(3)riyGxj其中， 和 分别表示复数的实部和虚部，r()i和 分别代表复码元实部和虚部的调制， 和rGi rG的列矢量分别是 和i r()epj2)wtktT， 和 分别是实部和虚()expj2wtktTi(部各自的实脉冲成形。相应地，在接收端复码元实部和虚部也是分开解调的，如式(4)表示(4)riHjxGyy其中， 是解调的码元， 是接收到的信号。注意到，若令 ，则式（3）中 和ri()()wtt rG均等于式（1）中的 ，此时 G-OFDM 即等价iG于传统 O
11、FDM。由此可见，G-OFDM 是传统OFDM 的一种推广。根据式（3） 、式（4） ，为保证在接收端无串扰，G-OFDM 须满足如下正交约束(5)rrHiGI(6)ri0下面将证明，在 内，若 可以表tT2r()wt示为一个关于 奇对称的实函数 与常数2tf之和，而 又关于 与 呈偶对称1Ti()wtrt关系，则 和 满足式（5） 、式（6）的 G-rtOFDM 正交约束。用式子表示，即要求， ，以及2r()1tf()ftfTt。ir)Tt证明令式（5）中， ，Hr,()klG， （以下均同）,klHri()G01ML，则可知(7)2,r0()cos()dTklwtlktT(8),iltlt
12、显然，若 可以表示成关于 奇对称2r()2的函数 与常数 之和，则 与ft1Tr()wt第 1 期 曹祁生等：OFDM 的推广形式及其在频率色散信道的应用 97各次谐波正交，故式（7）中有cos(2)tT，其中 为 Kronecker delta 函数。而,kll,kl又关于 与 呈偶对称关系，则iwt2tr()wt是 与常数 之和，同理也有2()()f1T。因此式（5）得证。,kll再令式（6）中 ，则可知Hi,r()klhG(9),ri0()sn2dTklhwttT由于 关于 与 呈偶对称关系，i r()则 关于 偶对称，故 与r()ttri()wt各次谐波正交，故式（8）中有 。sin2
13、T,0klh因此式（6）得证。在图 1 中给出 3 个设计例子，并以的形状为脉冲成形命名。注意到，图()ft1（c）中 是矩形脉冲，此时 G-OFDM 即()ftT传统 OFDM。图 1 G-OFDM 脉冲成形 3 个设计例子(T =1)以上给出的是连续时间 G-OFDM 模型及其脉冲成形设计需要满足的正交条件。对 进行0tT点采样即可得到离散时间模型，采样点选择为M， （以下均同） ，(0.5)tmT0,1M则连续时间模型中的三角函数 被采样exp(j2)kt为 ，为简便起见，记为expj2.k。该采样方式引入了相位 ，这是(0.5)MW为了使连续时间三角函数采样后仍保持原有的中心对称性质，
14、即 的实部关于序列中心偶(0.5)mkMW对称，虚部关于序列中心奇对称。 和 采r()wtit样为序列 和 。在离散模型中，rwi和 的正交条件是： 可以表示成ri 2r一个关于中心奇对称的序列 与常数 之和，f1M即 ，而 是 的反转，2r1mfimr即 。后面关于 G-OFDM 的分irM析和仿真均基于离散时间模型。3 G-OFDM 的性能分析本节理论分析 G-OFDM 在 AWGN 信道和色散信道的性能。分析过程中利用了 G-OFDM 的脉冲成形如下性质(10)ir1wmM(11)2ri2下面首先来证明 G-OFDM 在 AWGN 信道中具有与传统 OFDM 相同的差错性能。证明在 AW
15、GN 信道中，式（4）中 ，其yn中 n 是复噪声矢量，与式（3）联立，不难得到解码的误差(12)riHjexGn假设采用 QAM 调制方式，考察 的误差，rkx即 的第 个分量 ，由式（12）并利用傅立叶rkrk变换的性质及式（10） ，有 rr (0.5)rmkkMmewnW*(0.5)ri1(12 mkMnW其中， 表示取复数的共轭，利用 的统计特*) 性： （ 是 AWGN 方差）以2,Emlnl2及 ，经过整理并利用式（11） ，得022rri()4kmew该结果与传统 OFDM 是一致的。同理， 也ike是如此。综上所述，G-OFDM 在 AWGN 信道中具有与传统 OFDM 相同
16、的差错性能。98 通 信 学 报 第 30 卷再分析 G-OFDM 在色散信道的性能。前面已经说明，G-OFDM 可以采用保护间隔对抗时间色散，因此在时间色散信道上具有与传统 OFDM 相同的差错性能，这里就不赘述了。下面主要分析频率色散对 G-OFDM 的影响。简便起见，定量分析该系统由于频率偏移失真而产生的 ICI。在无线通信中，由于存在多普勒频移和频率同步误差，接收信号的频率会出现偏移，相当于式（4）中分别以 和 代替 和 ，且 的 列矢量为rGiriGrthk， 的 列矢量(0.5)mkMwWth， 称为归一化频偏。相应地，i式（5） 、式（6）所示的正交约束中， 、 和分别变成 ，
17、HHr,()kl,kl，和 ，其中，ri()Gi,rhG(13)2,rcos()(0.5)klmwlmM(14),i .l k,risn2()(0.5)klmhl(15)频偏的存在破坏了正交约束，引入了码元误差， rrri()()exIxHiiir从上面的式子可以看出， 和 误差分别为rki(16)2r2ri,E()()kkllllexh(17)2i2ir,()()kkllkll由于是 QAM 调制，可知 riE()llxx以及 ，其中 是与 QAM 调制2,klriE()0klx2功率有关的数，不失一般性，令 ，代入式1（16） 、式（17） ，可得(18)r2r()()kxevk(19)i
18、iE其中， ，2r,()klllv2i,()klllv,xlh由式（18） 、式（19）可知， 、 和r()vki分别衡量了频偏造成的 和 的自串扰以()xvkxi及相互串扰的程度，而 就是ri()2x受到 ICI 的总量。下面将证明k1) 串扰与 无关，即对于任意 ，均有kk， ， 。rr()vii()v()xv2) 串扰总量，即 ，是与 G-OFDMri2x的脉冲成形设计无关的常数。证明1) 是 的 行矢量的模平方。由式r()vkIthk（13）易知 是 Toeplitz 阵，即 行矢量前th个分量就是 行矢量后 个分量，1t11M同时，由式（13）亦可知 行矢量最后一个分量tk是 行矢量
19、第一个分量差一个负号，即thk。因此 各行矢量的模必然相,1,0KkI等，即对任意 ，均有 ，同理 ，r()vi()vk。得证。()xv2) 由前面的证明，2r0,lll，i ,()lllv20,xlh则有 22ri 0,0,0,()x lllv h(20)利用式（11） ，有20,ri()cos2(0.5)mwmMcs(.M因此， 与脉冲成形设计无关，欲证0,明式（20）中 是常数仅需证明 ri2xv20,l是常数。利用傅立叶变换的性质，可将20,llh、 和 分别改写如下0,l第 1 期 曹祁生等：OFDM 的推广形式及其在频率色散信道的应用 99*(0.5)0,rr(1)2lml MmW
20、 (.),ii1ll*(0.5)0,j(12lmlxxMmh其中，2(0.5)rrmwW，.iiM(0.5)rix将改写的 、 和 代入 0,l,l0,lh2,ll，经整理并利用式（10）和式（11） ，得20,lh222,0,ri()lllmMw将上式连同 的值代入式（20）便有,0,(21)ri42cos2(.5)xmv可见 与脉冲成形无关，得证。rixv由以上证明可知，不同的脉冲成形设计不会改变 ICI 的总量，改变的只是其分布。前面在图 1给出了 3 种脉冲设计，下面试举一例来观察它们的 ICI 分布，经过数值计算，结果如表 1 所示，此时 ， 。对于采用矩形脉冲的 G-128M0.5
21、OFDM，因为 ，复码元实部和虚部受riwm到的串扰是相同的， 。而在另外 2 个 G-rvOFDM 方案中，因为 ，故实部和虚i部受到损害是不对称的，且 (之所以 ，rv=riv原因在于其原因在于半周期余弦和三角脉冲对应的 设计为随时间单调减小的，如图 1 所示。r()wt如果设计成随时间单调增加，则有 。相关证riv明省略) 。但这 3 者 确是相同的，并且ri2xv其大小与式（21）吻合。下一节将说明如何利用这种不对称以增强 OFDM 系统抗频率色散顽健性。此外，对传统 OFDM 亦可进行类似分析，结果在表 1 列出，由于采用矩形脉冲成形，传统 OFDM的实部和虚部受到的串扰也是相同的，
22、但具体的串扰值与采用矩形脉冲的 G-OFDM 并不同，原因在于 G-OFDM 的三角函数中引入了相位。表 1 G-OFDM 的 3 种设计脉冲及传统 OFDM 的串扰(M=128， )0.5G-OFDM 传统 OFDM脉冲成形 半周期升余弦 三角 矩形 矩形rv0.000 6 0.000 1 0.008 3 0.008 1i0.040 4 0.032 8 0.008 3 0.008 1x0.012 2 0.016 3 0.024 5 0.024 3rivx0.065 5 0.065 5 0.065 5 0.064 74 G-OFDM 在频率色散信道的星座图设计第 3 节已经说明，频偏存在条件下
23、 G-OFDM复码元的实部和虚部所受到的串扰是不对称的。下面从星座图的角度来看看这种不对称是如何表现。对表 1 中采用三角脉冲成形的 G-OFDM 和传统 OFDM 进行了仿真，子载波采用 4QAM，解调得到的码元 各分量在星座图上的分布分别如图x2（a）和图 2（ b）所示，其中“+”为星座图设计的信号点，也即准确解调的位置。从图 2 中可见，G-OFDM 所受串扰的分布在实轴方向上窄，在虚轴方向上长。而传统 OFDM 则在 2 个方向上是均匀的。显然，G-OFDM 星座图设计若能充分利用上述特点，可望提高系统抗频率色散性能。将通过下面 2 个仿真对此进行说明。100 通 信 学 报 第 3
24、0 卷图 2 解码的分布（ ， ） 128M0.5仿真 1对 G-OFDM 和传统 OFDM 在相同信道环境下进行仿真，其中，1) G-OFDM 和传统 OFDM 每个子载波均采用BPSK，子载波数均为 ；G-OFDM 采用三128角脉冲成形。2) 信道引入频偏 ；多径衰落信道的冲0.激响应为 0.8j0.1, 0.6+j0.7, 0.5, 0.3j0.3, 0.1+j0.2；发射信号与 AWGN 的功率比为 15dB。仿真中 2 个系统均随机产生了 1108bit。假设接收端对多径信道估计准确，解码后两系统在星座图上的分布如图 3（a）和图 3（b）所示，图中还给出了解码后的判决界限。显然，
25、G-OFDM解码后分离程度更高，跨过判别界限而发生判别错误的概率更低。经过统计，G-OFDM 的误码率为 8.9107，而传统 OFDM 为 3.2105。这一比较与图 3（a）和图 3（b）是吻合的。图 3 解码的分布( ， ，R SN=15dB)，128M0.(“+”为星座图信号点，虚线为判决界限 )仿真 2仿真 1 中 G-OFDM 和传统 OFDM 的星座图均是 2 个信号点。下面考察信号点个数为 4 的星座图。其中，1) G-OFDM 子载波采用 4ASK 调制，传统OFDM 则 4QAM 调制。两系统的子载波数均为。128M2) 信道引入频偏 ；多径信道与仿真 10.15中相同，发
26、射信号与加性高斯白噪声的功率比为20dB。仿真中 2 个系统均随机产生了 1108bit。假设接收端对多径信道估计准确，解码后两系统的分布分别如图 4（a）和图 4（b）所示，同样可看到前者发生错判的可能也更小。经过统计，G-OFDM 的误码率为 9.7105，而传统 OFDM 仅为3.6102。根据该结果可知，尽管 4ASK 抗AWGN 性能逊于 4QAM，但由于 G-OFDM 抗频偏能力要优于传统 OFDM，并且当频偏造成的损害是主要矛盾时，G-OFDM 仍可表现出更好的性能。图 4 解码的分布( ， ，R SN=20dB)，128M0.5(“+”为星座图信号点，虚线为判决界限 )第 1
27、期 曹祁生等：OFDM 的推广形式及其在频率色散信道的应用 1015 结束语第 4 节 的 仿 真 中 ， 所 设 计 的 G-OFDM 充 分 利用 了 的 特 点 ， 在 频 偏 存 在 条 件 下 表 现 出 更riv=佳 的 差 错 性 能 。 然 而 ， 在 上 述 仿 真 中 ， G-OFDM星 座 图 的 信 号 点 都 置 于 实 轴 上 ， 当 信 号 点 比 较 少时 这 么 做 是 可 以 的 。 但 是 当 信 号 点 比 较 多 时 ， 过低 的 抗 AWGN 性 能 将 会 抵 消 G-OFDM 原 有 的 抗频 率 色 散 优 势 。 为 了 解 决 这 个 问
28、题 ， 对 G-OFDM进 行 了 进 一 步 研 究 后 发 现 ， 频 偏 存 在 时 ， 解 码 在星 座 图 的 分 布 呈 椭 圆 形 ， 而 传 统 OFDM 则 是 圆 。可 通 过 2 方 面 提 高 G-OFDM 抗 频 率 色 散 能 力 。 其一 ， 基 于 平 面 填 充 理 论 ， 用 椭 圆 按 照 六 边 形 排 列去 填 充 平 面 比 用 圆 按 照 矩 形 排 列 具 有 更 高 的 效 率 ，相 应 地 抗 频 偏 能 力 也 就 更 强 ； 其 二 ， G-OFDM 解码 后 ， 星 座 图 上 椭 圆 所 占 的 面 积 与 脉 冲 成 形 有 关 ，
29、通 过 优 化 设 计 可 以 使 其 最 小 化 ， 并 且 该 最 小 值 低于 传 统 OFDM， 这 样 就 可 进 一 步 提 高 填 充 效 率 和抗 频 偏 能 力 。 注 意 到 ， 文 献 8和 文 献 9也 提 到 六边 形 排 列 以 提 高 系 统 性 能 ， 但 是 该 排 列 是 在 时 频平 面 进 行 的 ， 这 就 使 系 统 无 法 插 入 时 域 保 护 间 隔来 对 抗 时 间 色 散 。 而 本 文 的 排 列 是 在 子 载 波 调 制的 星 座 图 上 ， 也 即 在 频 率 平 面 进 行 的 ， 因 此 仍 然可 以 采 用 保 护 间 隔 ，
30、 也 就 不 会 降 低 抗 时 间 色 散 性能 。 这 方 面 的 工 作 将 在 其 他 文 章 介 绍 。参考文献：1 WEINSTEIN S B, EBERT P M. Data transmission by frequency-division multiplexing using the discrete fourier transformJ. IEEE Transactions on Communication, 1971,19:628-634.2 DAUBECHIES I. 小波十讲M 北京: 国防工业出版社, 2004. 105-114.DAUBECHIES I. Ten
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