1、12009 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设 7 分和 0 分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分 56 分，每小题 7 分。 ）1已知复数 满足 ，则 m12092081m2设 ， ，则 的值域为 cosin3cos21)(xxf 4,6)(xf3设等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 中最大的是 anS0,1615S1521,aS4已知 O 是锐角ABC 的外心， ，若 ，且 ，则,ACBACyBxO50yxBACcos5已知正方体 的棱长为 1，O
2、为底面 ABCD 的中心，M ，N 分别是棱 A1D1 和1DACC1 的中点则四面体 的体积为 MN6设 ，且 ， ，则符合条件的 共6,5432,1CBA2,BCB4,3),(CB有 组 （注： 顺序不同视为不同组 ）7设 ，则 的最小值为 xxxy csecottancosin|y8设 p 是给定的正偶数，集合 的所有元素的和是 ,3,2|1NmAppp二、解答题（本题满分 64 分，第 9 题 14 分，第 10 题 15 分，第 11 题 15 分，第 12 题 20 分。 ）9设数列 满足 ， ，其中 )0(na21a )(22nmnmaa nm,（1）证明：对一切 ，有 ；N1n
3、（2）证明： 20921aa10求不定方程 的正整数解的组数215364321 xxx11已知抛物线 C： 与直线 l： 没有公共点，设点 P 为直线 l 上的动点，过 P 作2yky2抛物线 C 的两条切线，A，B 为切点(1)证明：直线 AB 恒过定点 Q；(2)若点 P 与（1）中的定点 Q 的连线交抛物线 C 于 M，N 两点，证明： QNMP12设 为正实数，且 证明：dcba, 4dcba222 )(答 案1、02、 3,43、 8Sa4、 15、 786、16007、 218、 p9、证明 （1）在已知关系式 中，令 ，可得 ；)(212nmnmaan0a令 ，可得0n42令 ，
4、可得2m)(21242 nn aa由得 ， ， ， ，)1(412ann 61)2(2nnan24代入，化简得 -7 分2n3（2）由 ，得 ，故数列 是首项为212nnaa 2)()(112nnaa1na，公差为 2 的等差数列，因此 01于是 nknkk naa1101 )1(0)2()(因为 ，所以)()(nn120)1209()312()(112092 aa-14 分10、解 令 ， ， ，则 xx321 y54zx6 1,3zy先考虑不定方程 满足 的正整数解1zy1,23， ， -5 分,3zyxyxz当 时，有 ，此方程满足 的正整数解为 1z6x, )4,(37),210(),
5、yx当 时，有 ，此方程满足 的正整数解为 21y23yx5所以不定方程 满足 的正整数解为253zx 1,z -10 分)5(),4,7(),0(),(zyx又方程 的正整数解的组数为 ，方程3321 xNx 21xC的正整数解的组数为 ，故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解的yx54 ),( 1y组数为 -15 分86930CC1241321269 11、证明 (1)设 ，则 1(,)Axy21x由 得 ，所以 2y1|x于是抛物线 C 在 A 点处的切线方程为 ，即 )(11xy1yx设 ，则有 )1,(0kxP00xk4设 ，同理有 2(,)Bxy2001yxk所以 AB 的方程为
6、 ，即 ，x 0)1(0yk所以直线 AB 恒过定点 -7 分),(kQ(2)PQ 的方程为 ，与抛物线方程 联立，消去 y，得021xy2xy0)2(4002 kxkx设 ， ，则),(3yxM),(4yxNkxxk0243043 )(,2要证 ，只需证明 ，即QNP4304302)(2343 kxxkx由知，式左边= 0002 4)()( kxkx)(2)4)(002 kx故式成立，从而结论成立 -15 分12、证明 因为 ，要证原不等式成立，等价于证明4dcba -5 分dcbacb 222 )(事实上， )(22 dcbadca)2()2()()(22 dacb -10 分22 11dacdca由柯西不等式知52222()()()() )abcdabcd-15 分2|)|(|又由 知| abdcb22)(4|)|(| badca 由，可知式成立，从而原不等式成立 -20 分
