教学章节：数学归纳法.doc

1、第 1 页 共 48 页高中数学教案选教学章节：数学归纳法 .2教学章节：数学归纳法应用 .4教学章节：充要条件 .6教学章节：椭圆的定义 .11教学章节：椭圆及其标准方程 .14教学章节：椭圆及其标准方程 .17教学章节：椭圆的简单几何性质 .20教学章节：椭圆的几何性质 .23教学章节：椭圆及其标准方程 .27教学章节：椭圆及其标准方程 .30高中数学教案选第 2 页 共 48 页教学章节：数学归纳法教学目标：理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明简单的恒等式。 初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质

2、。培养学生对于数学内在美的感悟能力。教学重点：使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)。教学难点：如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。教学过程：一、 引入：问题 1：这个盒子里有十个乒乓球，如何证明里面的球全为橙色？问题 2：请大家回忆，课本是如何得出等差数列的通项公式的？二、 归纳法：教师引导学生明了以上两个问题的异同点。由此，得出归纳法的概念：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。同时指明了完全归纳法与不完全归纳法的区别。投影通过数学家费马运用不完全归纳得出错误结论的事例来说明不完全归纳法的缺

3、憾之处 仅根据一系列有限的特殊事例得出一般结论是要冒很大风险的，因为有可能产生不正确的结论。提问如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 引导学生得出：只有经过严格的证明，不完全归纳得出的结论才是正确的。三、 数学归纳法：提问若盒子里的乒乓球有无数个，如何证明它们全是橙色球呢？在学生讨论未果的基础上，教师给出方法供学生参考：证明第一次拿出的乒乓球是橙色的；构造一个命题并证明，此命题的题设是：“若某一次拿出的球是橙色的”，结论是：“下次拿出的球也是橙色的” 。以上两步都被证明，则盒子中的乒乓球全是橙色的。 （该命题并不是孤立地研究“某一次” 、 “下一次”取的是橙球，而且由“某次取出的是橙球”来得到“

4、下一次取出的也是橙球”的逻辑必然性，即一种递推关系）教师引导学生讨论：以上两个步骤如果都得到证明，是否能说明全部的乒乓球都是橙色的？由此，得出数学归纳法的基本概念：它是自然数相关问题的一种证明方法。提问在现实生活中有没有相似的“递推”思想的实例呢？ 提问这种思考方法能不能用来证明第二个问题呢？投影给出问题 2 的数学归纳法的证明，将每一步骤标号，引导学生对比上一问题与此问题类似之处，进而得出数学归纳法的证题思路和步骤。教师再通过投影明确数学归纳法的“奠基步骤”和“递推步骤”这“两个步骤”以及“一个结论” 。四、 例题讲解：例 1、数列a n，其通项公式为 an=2n-1，请猜测该数列的前 n

5、项和公式 Sn，并用数学归纳法证明该结论。教师板演学生的解题步骤。师生共同归结：1、 数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题。2、两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立；3、在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换。第 3 点可结合学生完成情况来阐明。五、 反馈练习：用数学归纳法证明：高中数学教案选第 3 页 共 48 页A 组：1、1+2+3+n=n(n+1)/2 (nN)； 2、首项为 a1，公比为 q 的等比数列的通项公式为：a n=a1qn-1 (nN)B 组：1、1+2+2 2+2n-1=2n-1 (nN)；2、S=1/(13)+1/(35)

6、+1/(57)+1/(2n-1)(2n+1) (nN)六、 知识小结：投影：七、 作业：P121 1、预习课本 P115-117完全归纳法 不完全归纳法数学归纳法穷举法 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉高中数学教案选第 4 页 共 48 页教学章节：数学归纳法应用教学目标：使学生能掌握用“归纳法”去猜想有关命题的条件、结论。教学重点：如何用“归纳法”去推导、猜想。教学难点：。教学过程：(一)创设问题情境问题：“管中窥豹，略见一斑”的含义是什么？（比喻可以从观察到事物的一部分情况推测到事物的全体情况）例：看一下广交会上的出口商品，就可以了解到我国目前的经济发展情况。问题：用了解同学

7、们的作业情况，可以用什么方法？（二） 师生共同探索上述推理所采用的方法实际上就是归纳法，它是由一系列有限的特殊事例去推导出一般的结论。归纳法可以帮助我们从特殊事例中去发现一般规律。例、 已知数列： 计算得：,.)1(,.4312,1nS 1= ,，由此可猜测 n=_,3,2S例：观察下列式子： 0）.则： ，又设 M 与 F1,F2 距离之和等于 2a（常数）)0,(,21ca，21)(ycxPF又高中数学教案选第 15 页 共 48 页，化简，得：aycxycx2)()(22，由定义2aa c0c令 代入，得：22b，两边同除 得：ayxb2ba，此即为椭圆的标准方程。12a它所表示的椭圆的

8、焦点在 x 轴上，焦点是 ，中心在坐标原点的椭圆方程。)0,(,21cF其中 22bc注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程，说明：（1） 其中：2a 为椭圆上任意点到焦点的距离之和这个定值。焦距 2c，而由 （2） 如果椭圆的焦点在 y 轴上（选取方式不同，调换 x,y 轴）焦点则变成：只要将此方程中的 x,y 调换，即可得： ，此也是椭圆的标准方程。12bxay三：巩固练习：1：判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出 a,b,c 的值。 2yx 14 2yx 变形为： 3694132yx总结：注意到 a2b2，则可以根据分母的大小，判断其焦点在哪个坐标轴上。2：求三量：四：例题讲解：

9、1：平面内两定点的距离是 8，写出到这两定点的距离之和是 10 的点的轨迹方程。问：这个轨迹是什么？- 椭圆如何确定？- 定式定量。高中数学教案选第 16 页 共 48 页2：已知 B,C 两定点， ，三角形 ABC 的周长为 16，求 A 的轨迹方程。12BC4：若 表示椭圆，则 k 的取值范围是？622kyx五：总结六：作业七：课后分析高中数学教案选第 17 页 共 48 页教学章节：椭圆及其标准方程教学目标：1 使学生掌握椭圆的定义和椭圆的标准方程；2 能根据定义推导出椭圆的标准方程；3 能应用椭圆的定义和标准方程解决简单的应用问题；4 培养学生形数结合的重要数学思想方法。教学重点：。教

10、学难点：。教学过程：（一） 、复习提问：1、 求曲线方程的步骤有哪些？2、 圆的一般方程是什么？主要特点是什么？（二） 、引言：我们已经学习过两种曲线，这节课我们再学习一种常见的曲线椭圆。（动画展示太阳系行星运动轨迹）通过播放动画提出如下问题：太阳系行星运动轨道是什么曲线？使椭圆的形象更加鲜明。（三） 、新课：1、 椭圆的定义：（动画展示） 投 影：（课件演示椭圆生成过程）通过动点轨迹的形成过程，给出轨迹的直观形象，以便于抽象概括。 小黑板：（实物演示椭圆生成过程）让学生观察分析，同时回答下列问题：所作的轨迹上的动点，满足什么条件？试用语言概括。并且讨论为什么要规定“常数大于|F 1F2|”，

11、分析常数等于|F 1F2|和常数小于|F 1F2|时的点的轨迹是什么？（字幕展示椭圆的定义以及焦点、焦距的概念。 ）2、 根据椭圆的定义推导椭圆的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出椭圆的标准方程。过程如下： 建系设点；列式；变换；化简；证明。 （板书过程）3、 椭圆的标准方程的特点：（字幕投影） 椭圆标准方程中总有 ab0， 椭圆焦点总在长轴上， 对于 a、b、c 有关系式 c2a 2b 2 成立。、剖析例题：在掌握了椭圆的定义及其标准方程基础上，字幕展示例题。例：平面内两个定点距离是，写出到这两个定点的距离的和是的点的轨迹的方程。此题中距离和的

12、值可以改动，当其等于 8 或小于 8 时其点的轨迹分别是线段和无轨迹，可进一步加深学生对椭圆定义的理解。例：三角形 ABC 中，AB 固定， |AB|=10，且 sinA+sinB=2sinC，求点 C 的轨迹方程。在屏幕上用动画显示解题过程，板书解题步骤。通过例 1 与例 2，巩固对“椭圆的定义和椭圆的标准方程”的掌握，会应用椭圆的定义求椭圆的标准方程。（四） 、课堂练习：为了更好地完成教学目的，巩固本节的重点，掌握椭圆的定义和椭圆的标准方程，通过投影仪展示出精选的练习题。1、 写出满足两个焦点的坐标是（-2，0）和（2，0） ，并且经过点 P（5/2 ，3/2）的椭圆标准方程。2、已知AB

13、C 的一边 BC 固定，长为 6，周长为 16，求顶点 A 的轨迹方程。让学生板演，然后在屏幕上显示解题过程，对学生进行规范解题训练。高中数学教案选第 18 页 共 48 页（五） 、课堂小结：（字幕显示）总结本节课学习的主要内容，使学生明确学习目的。四、主帧设计：五、流程图：xOF1 F2y M开 始教 师 引 课椭 圆 定 义投影 实物图形椭 圆 标 准 方 程 推 导投影 椭圆形成过程高中数学教案选第 19 页 共 48 页教师总结投影 例题1投影 例题2教师总结学生练习小 节结 束高中数学教案选第 20 页 共 48 页教学章节：椭圆的简单几何性质教学目标：知识目标：1：熟练掌握椭圆的

14、范围，对称性，顶点等简单几何性质。2：掌握标准方程中 a,b,c 的几何意义3：椭圆的第二定义。 能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；教学重点：椭圆的简单几何性质与第二定义。教学难点：椭圆的第二定义。教学过程：一：复习引入1：概念：椭圆，焦点，焦距。2：标准方程：3：请学生在黑板上作出椭圆的草图，注意标出所有可以确定的量值及点的坐标。教师同在黑板作出椭圆的草图，注意作出矩形框以界定椭圆的范围。评议学生的作业。根据草图说

15、明，注意标准方程中 a,b 是如何定义的。二：新课讲授：以椭圆标准方程 为例进行说明。12byax1：范围：观察椭圆的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：椭圆在四条直线 围成的矩形内侧。xy,注意：从椭圆的方程如何验证？从标准方程 可知 ，由此椭圆上点的坐标都适合不等式12ba02byax 12ax即 ， 即椭圆在四条直线 围成的矩形内侧。2x,2：对称性：椭圆 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆 的12bya 12byax对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。3：顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。在椭圆 的方程里，对称轴是 x,y 轴，所以令

16、得 ，因此椭圆和 x 轴有两个交点12byax 0yax，他们是椭圆 的顶点。)0,(,(2A12byax高中数学教案选第 21 页 共 48 页令 ，得 ，因此椭圆和 y 轴有两个交点 ，他们是椭圆 的四个顶点。0xby ),0(,(2bB12byax注意：椭圆的顶点有四个顶点，它们分别是长轴和短轴的四个端点。长轴：线段 叫做椭圆的长轴，它的长等于 2a，a 叫做椭圆的长半轴长。21A短轴：线段 叫做椭圆的短轴，它的长等于 2b，b 叫做椭圆的短半轴长。B4：离心率：1） 概念：椭圆焦距与长轴长之比。2） 定义式： ace3） 范围： 104） 考察椭圆形状与 e 的关系：，椭圆变圆，直至成

17、为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在 时的特例。,ce 0e椭圆变扁，直至成为极限位置线段 ，此时也可认为圆为椭圆在 时的特例。 1a21F1说明：1） 其中定点-焦点，定直线-准线。对于 来说，相对于左焦点 对应着左准线12byax )0,(1ccaxl21:相对于右焦点 对应着右准线),(2Fl22:对于 来说，相对于上焦点 对应着上准线12byax ),0(1ccayl21:相对于下焦点 对应着下准线),(2Fl22:2） 位置关系： cax23） 焦点到准线的距离 b2其上任意点 到准线的距离：（分情况讨论）),(yxP四：练习：已知椭圆 上一点到其右焦点距离为 8，求其到左准线的距离

18、。1925五：总结六：作业高中数学教案选第 22 页 共 48 页七：课后分析高中数学教案选第 23 页 共 48 页教学章节：椭圆的几何性质教学目标：掌握椭圆的焦半径公式，焦点弦公式，通径，直线和椭圆的位置关系等椭圆的相关内容。教学重点：习题课。教学难点：习题课。教学过程：一：椭圆的第二定义：应用：1：椭圆 ，其上一点 P(3,y)到两焦点的距离分别是 6.5 和 3.5，求椭圆方程。)0( 12bayax2：椭圆 上有一点 P，它到左准线的距离为 2.5，求 P 点到椭圆右焦点的距离。 953：椭圆 上一点 P 到两焦点的距离之比为 1：3，求此点到左右准线的距离。 （若求此点的坐标又如何

19、 13602yx求解？）4：求经过 M(1，2)以 y 轴为准线，离心率为 0.5 的椭圆的坐定点的轨迹方程。设椭圆左顶点 P(x,y)，由 P 到左焦点距离于 P 到 y 轴距离之比为 0.5，则有二：椭圆的焦半径及其应用：1：定义：椭圆上任意一点 M 与椭圆焦点 的连线段，叫做椭圆的焦半径。21F2：焦半径公式的推导：设椭圆 及椭圆上任意一点 M （注意和其在椭圆的左半个还是右半个无关） ，)0( 12bayax ),(0yx则 ，20021)(cF2002)(cxF，24xMa21又 210aFc002exacM即有焦点在 x 轴上的椭圆的焦半径公式：021eF同理有焦点在 y 轴上的椭

20、圆的焦半径公式：高中数学教案选第 24 页 共 48 页021eyaMF（ 其中 分别是椭圆的下上焦点）1注意：焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关。可以记为：左加右减，上减下加焦半径公式的推导还有其他方法，其中最为简单的就是利用椭圆的第二定义：由第二定义：， edMF1ecaxF201又200201exacexMF同理： 0202c3：焦半径公式的应用：1）：椭圆 ，其上一点 P(3,y)到两焦点的距离分别是 6.5 和 3.5，求椭圆方程。)( 12bayax2）P 为椭圆 上的点，且 P 与 的连线互相垂直，求 P. 952yx21F3）椭圆 上不同三点 与焦

21、点 F(4,0)的距离成等差数列，求证 12 ),()59,4,(21yxCByxA821x4）设 P 是以 0 为中心的椭圆上任意一点， 为右焦点，2F求证：一线段 位直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切。F2三：直线与椭圆：1：位置关系：相交（两个公共点）相离（无公共点）相切（一个公共点）高中数学教案选第 25 页 共 48 页若直线 ，二次曲线bkxyl: 0:2FEyDxCyAx将 代入 ，消去 y，得到:2C关于 x 的二次方程 （*）02cxa若 ，相交0，相切，相离在圆的几何性质的学习中，判断直线和圆的位置关系可以除了上述的代数法，还可以直接通过圆的几何性质也既是几何法进行判断，但

22、在椭圆中，由于对椭圆的纯几何性质没有进行过细致的学习，则一般情况下，无法直接使用几何方法，而判断直线和椭圆的位置关系常常只能用代数法进行。当然，具体问题具体分析。如下面这个例子：直线 与焦点在 x 轴的椭圆 总有公共点，则 a 的取值范围？bkxyl: 172ay2：相交弦长：弦长公式： ，其中 a 和 分别是 （*）中二次项系数和判别式，k 为直线21kad02cbx的斜率。bkxyl:当代入消元消掉的是 y 时，得到 ，此时弦长公式相应的变为：02cby21kad3：焦点弦：定义：过焦点的直线割椭圆所成的相交弦。焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到：设两交点 ),(),21yxBA当椭圆

23、焦点在 x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：过左焦点： )(21xea过右焦点： AB当椭圆焦点在 y 轴上时，过左焦点： )(221yea过右焦点： 4：通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦。直接应用焦点弦公式，得到：高中数学教案选第 26 页 共 48 页abd2高中数学教案选第 27 页 共 48 页教学章节：定义法求轨迹方程教学目标：知识目标 通过本课的学习，增强运用圆锥曲线的定义解决问题的意识，综合运用平面几何的知识，进行几何等量关系的转换，理解“定义法”求轨迹方程的意义及解决问题的基本思路。能力目标 用运动的观点理解曲线。培养学生观察、类比、推理的分析能力和抽象、概括的思

24、维能力；培养学生数学的转化思想、数形结合思想，使学生养成仔细审视、全方位考虑问题的良好习惯。掌握从特殊 一般 特殊的认知规律。情感目标 创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习热情，强化学生的参与意识。教学重点：“定义法”求曲线轨迹方程。灵活运用题设条件，确定动点所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义确定曲线的类型。教学难点：理解轨迹的完备性与纯粹性，并能准确地运用。 （完备性是指符合条件的点都要在轨迹上，不能遗漏；纯粹性是指轨迹上的所有点都符合条件，没有“假冒” 。 ）教学过程：问题：1、请你分别说出四种圆锥曲线的定义圆的定义椭圆的第一定义双曲线的第一定义圆锥曲线的统一定义2、思考并回答：

25、（1）已知 且 ，则点 P 的轨迹是 圆 )3,(A7|（2）已知 ABC 的一边 BC 的长为 6，周长为 16，则顶点 A 的轨迹是什么？（椭圆，除去与 BC 边共线的两个顶点。）（3）若 4|)0,5(,1MBABA且则点 M 的轨迹是 双曲线右支 （4）过点（2，3）且与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹是什么？（抛物线）小结引出课题：灵活、准确地运用定义，为解决圆锥曲线的一些问题带来很大的方便。本课，我们重点讨论利用定义法求曲线的轨迹方程的问题。定义法求轨迹方程的含义：先由题设条件，根据圆锥曲线的定义能确定曲线的形状后，直接写出曲线的方程。例 1：已知圆 C： 及圆内一点 P（3，0） ，

26、求过点 P 且与已知圆内切的圆的圆心 M 的轨迹方程。09162xy1、分析：（1）圆 C 的半径与圆心坐标可定。（2）两圆内切可得：外圆半径内圆半径连心距。（3）动点 M 满足的等量关系：| MC | + | MP | = 10| PC |（4）由定义可确定动点 M 的轨迹为以 P、C 为焦点的椭圆。2、演示动画，使抽象问题具体化。3、学生口述解题过程。4、板演解题过程。例 2：已知动圆与圆和圆 C2：49)5(:21yxC高中数学教案选第 28 页 共 48 页都外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。1)5(2yx1、分析：（1）从已知条件可以确定圆 C1、C 2 的圆心与半径。（2）两圆外切

27、可得：两圆半径和圆心距（3）动圆半径 r,依题意有 r1 + r = | P C1 | , r2 + r = | P C2 |两式相减得：| PC 1 | - | PC2 | = r1 r2 | C1 C2| （4）由双曲线定义得：点 P 的轨迹是 C1 、C 2 以为焦点的双曲线的右支。（5）再根据题设条件求出参数 a、b 即可。2、动画验证，并观察动点的运动。3、学生完成解题过程的书写表达。并巡视，纠正。4、板演规范的书写表达。引伸：1、若动圆 P 与圆 C2 内切，与圆 C1 外切，则动圆圆心 P 的轨迹是什么？（双曲线右支）2、若动圆 P 与圆 C1 内切，与圆 C2 外切，则动圆圆心

28、 P 的轨迹是什么？（双曲线左支）3、若把圆 C1 的半径改为 1，那么动圆 P 的轨迹又是什么？（两定圆连心线的垂直平分线）4、 上述的结论是否具有一般性？也就是：与两个外离的定圆都外切或与其中一个内切，另一个外切的圆的圆心的轨迹都是双曲线的一支？（当两个定圆不相等时，结论是肯定的，当两定圆相等时，轨迹为两定圆连心线的中垂线。 ）利用“定义法”求轨迹方程的关键：找出动点满足的等量关系。步骤：（1）依条件列出等量关系式；（2）由等式的几何意义，结合圆锥曲线的定义确定轨迹的形状；（3）写出方程。A 组题1、动点 P 到直线 的距离与它到点（2，1）的距离之比为 ，则点 P 的轨迹是什么？（椭圆）

29、6x 52、若动圆与圆 相外切，且与直线 相切，则动圆圆心轨迹方程是 （ ）)(:2yC1x xy823、 ABC 中，已知、|AB|、| BC |成等差数列，求点 C 的轨迹方程。|)0,(,ABA且B 组题1、请你编写 12 道用“定义法”求轨迹方程问题的题目。2、 ABC 中，A 为动点，B 、 C 为定点， ，且满足条件 )0,2(,(aB，求动点 A 的轨迹方程。Csin21isin3、动圆与 内切，且与圆 C2：64:1yx外切，求动圆032y圆心的轨迹方程。高中数学教案选第 29 页 共 48 页（ ）1625)3(2yx4、一动圆过点 F（3，0）且与已知圆相切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。4)(2yx高中数学教案选第 30 页 共 48 页MF1 F2 教学章节：椭圆及其标准方程教学目标：理。教学重点：。教学难点：。教学过程：二 椭圆32 椭圆及其标准方程教学目的：使学生牢固掌握椭圆的有关概念及其运用教学重点和难点：使学生牢固掌握椭圆的有关概念及其运用教学过程：一引入新课：椭圆是一种常见的曲线，如天体中一些行星和 卫星的运行 轨道。取一条一定 长的细绳，把它的两端固定在画图板上的 F1和 F2两点，当绳长大于 F 和 F 的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图版上慢慢移 动，就可以画出一个 椭圆。 1 椭圆的定义 1：平面内与两个定点的距离和等