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GCT线性代数与微积分辅导材料.doc

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1、北 京 安 通 学 校 咨询电话 01082674061(82674062)学校地址:北京大学资源西楼三层 2313 室 学校网址:www.antong.org 信息资料:第 1 页,共 66 页1GCT 线性代数辅导第一讲 行列式一. 行列式的定义 一阶行列式定义为 1a 二阶行列式定义为 212121a 在 阶行列式中,划去元素 所在的第 行第 列,剩余元素构成 阶行列式,称nijaij1n为元素 的余子式,记作 ijaijM 令 ,称 为 的代数余子式ijiijA)1(ijAij 阶行列式定义为n nnnn Aaaa 1121212112 二. 行列式的性质1.行列式中行列互换,其值不变

2、 32311a321a2.行列式中两行对换,其值变号32311a3211a3.行列式中如果某行元素有公因子,可以将公因子提到行列式外 32311akk32311a4.行列式中如果有一行每个元素都由两个数之和组成,行列式可以拆成两个行列式的和北 京 安 通 学 校 咨询电话 01082674061(82674062)学校地址:北京大学资源西楼三层 2313 室 学校网址:www.antong.org 信息资料:第 2 页,共 66 页233231 2211aabb 32311a321ab由以上四条性质,还能推出下面几条性质5.行列式中如果有两行元素对应相等,则行列式的值为6.行列式中如果有两行元

3、素对应成比例,则行列式的值为7.行列式中如果有一行元素全为,则行列式的值为8.行列式中某行元素的 倍加到另一行,其值不变k32311a13123122 kaka三. 阶行列式展开性质n nnnaaD 212112等于它的任意一行的各元素与其对应代数余子式的乘积的和,即inii AA21 n,21 按列展开定理njjj aaD21 , 阶行列式 的某一行的各元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积的和等于n零即021jnijiji AA ji 按列展开的性质21njijiji aa ji四.特殊行列式 ; nnaaa 2121121)(112 nnnn a 上(下)三角行列式和上面的对角行列式的结

4、果相同.五.计算行列式 消零降阶法. 消为特殊行列式(上(下)三角行列式或和对角行列式)北 京 安 通 学 校 咨询电话 01082674061(82674062)学校地址:北京大学资源西楼三层 2313 室 学校网址:www.antong.org 信息资料:第 3 页,共 66 页3典型习题1. =( ) 。 ( )3Dx12 133x2. 设 的代数余子式 ,则 =( ) (-2)6458a421Aa3 中 的系数是( ) (2)*xx10244 =( ) ( )433221xaD 4321x5设 ,则 =( ) (1)120zy14253zy6 ( ) ( )114xxD 4x7 ,则

5、( ) , (0)2130442321AA8 ,则 ( ) ( ) ( 或 )42baab21a0b北 京 安 通 学 校 咨询电话 01082674061(82674062)学校地址:北京大学资源西楼三层 2313 室 学校网址:www.antong.org 信息资料:第 4 页,共 66 页49 .设 则 (8M)* ,032311Ma 23221331aa10. 的根的个数是( ) (1)0534)(xxf11.解方程 ( )10)(xg 2,x12 . 设 是方程 的三个根, 则行列式 的值为( ) (0)*cba, 0423 0bac第二讲 矩 阵一.矩阵概念和运算1.矩阵的定义和相

6、等.2.加法,数乘,乘法, 转置,方阵的幂乘的定义及性质. 尤其是矩阵乘法不满足交换律和消去律.满足结合律,左(右) 乘分配律等. 若 是 阶方阵,则BAnBA 特殊方阵 3.逆矩阵 定义: I 可逆 0 公式: *1A 1A 可逆矩阵的运算性质4. 伴随矩阵 定义: Tij 基本关系式: IA*北 京 安 通 学 校 咨询电话 01082674061(82674062)学校地址:北京大学资源西楼三层 2313 室 学校网址:www.antong.org 信息资料:第 5 页,共 66 页5 与逆矩阵的关系: *1A 行列式: 1*nA 秩: 1)(,0,)(*nrr5矩阵方程 设 是 阶方阵

7、, 是 矩阵,若 可逆,则矩阵方程 有解,其解为AnBmABAXBX1 设 是 阶方阵, 是 矩阵,若 可逆,则矩阵方程 有解,其解为n二.初等变换 矩阵的初等行(列)变换:()交换两行(列) ;()用一个非零常数乘某一行(列) ;()某行(列)的 倍加到另一行(列)上 k (初等行变换)1AIIA三.矩阵的秩1.定义 在 矩阵 中,任取 行 列,位于这 行 列交叉处的 个元素按其原来的次nmkk2k序组成一个 阶行列式,称为矩阵 的一个 阶子式kA 若矩阵 中有一个 阶子式不为零,而所有 阶子式全为零,则称矩阵 的秩为 。Ar1rAr矩阵 的秩记作 )( 显然有 0rnmrn,i中有一个 阶

8、子式不为零;A)(中所有 阶子式全为零r1r对于 阶方阵 ,n0)(An对于 阶方阵 ,若 ,则称 是满秩方阵Ar北 京 安 通 学 校 咨询电话 01082674061(82674062)学校地址:北京大学资源西楼三层 2313 室 学校网址:www.antong.org 信息资料:第 6 页,共 66 页62. 重要定理对矩阵施行初等变换不改变矩阵的秩3. 矩阵的秩的求法 阶梯形矩阵满足以下条件的矩阵称为阶梯形:()所有零行都在矩阵的底部;()非零行的第一个元素称为主元,每个主元在前一行主元的右方; (初等变换) 阶梯形 ,则 中主元的个数AUAr)(4. 矩阵的秩有以下一些常用的性质:(

9、) .)(Tr)0(kk() )(Br() ,Arr(4)若 ,则 ,其中 为矩阵 的列数0snmn)(A(5)若 可逆,则 若 可逆,则 )(Br )(rB典型习题 都是 阶阵,则下列结论不正确的是( )BA,nA . B. BATC. D. (A) n BA2. ,且 ,求 , (-108, 32/3)3,MB3,2B*121*3 , 则 ( ) 201,01AP10AP1024 .设 则 中第 3 行第 2 列的元素是* ,31,321 BCBA. B. C. 1 D. (B)125. , 则102A,2XAI( ) ( 北 京 安 通 学 校 咨询电话 01082674061(8267

10、4062)学校地址:北京大学资源西楼三层 2313 室 学校网址:www.antong.org 信息资料:第 7 页,共 66 页7) 20136. 都是 阶阵, .则下列结论正确的是( )BA,n0,ABA. B. 或 C. D. (B)0A22(BA7.设 都是 阶阵,满足 .则IC, ICA. B. C. D. (A)BAIBIC设 .则下列结论不正确的是( ) ,2IA 可逆. B. . 不可逆. C. 可逆 D. 可逆 (B) IA3IA29. 设 ,则 ( )101* 1010 .设 ,则* 0,*4ArMr(A)1 或 2 (A)1 或 3 (A)2 或 3 (A)3 或 4 (

11、A)11 , 则 ( ) 。 (1)21,1T ,Ar12设 , ( )时 。 (-3)34tAt213设 则 ( ) 。 (1),963421,5420BBAr14 .设 则* ,120,130AA. B. C. D. (D)BTAB80AB15 . 设 ,三阶矩阵 ,且满足 ,则* 6032xA0北 京 安 通 学 校 咨询电话 01082674061(82674062)学校地址:北京大学资源西楼三层 2313 室 学校网址:www.antong.org 信息资料:第 8 页,共 66 页8A. B. 1)(,8Brx 2)(,8BrxC. D. (A)第三讲 向 量一. 向量组 线性相关

12、与线性无关1.向量组的线性组合与线性表示 设 是 维向量, 是数,则s,21 nsk,21称为向量 的一个线性组合skk s 若 ,称 可由 线性表出s21s,21线性相关与线性无关定义 设 是 维向量,若存在不全为零的数 ,使得s,21 n sk,21,则称 线性相关否则称线性无关0skk s,21定理 若 线性无关,而 线性相关, 则 可由s,21 s 线性表出,,且表示法惟一s判断 设 是 维向量, 线性相关 s,21 ns,21 sr,21存在某个向量可被其余 个向量线性表出s 个 维向量 线性相关nn,21 0,21n 个 维向量 必线性相关1 增加向量组向量的个数,不改变向量组的线

13、性相关性.减少向量组向量的个数,不改变向量组的线性无关性. 增加向量组向量的维数,不改变向量组的线性无关性.减少向量组向量的维数,不改变向量组的线性相关性. 含有零向量的向量组必线性相关. 含有两个相同向量的向量组必线性相关.二.向量组的秩和极大线性无关组北 京 安 通 学 校 咨询电话 01082674061(82674062)学校地址:北京大学资源西楼三层 2313 室 学校网址:www.antong.org 信息资料:第 9 页,共 66 页91.定义 设向量组 是向量组 的一个部分组满足rii,21 s,21) 线性无关;rii,21)向量组 的每一个向量都可以由向量组 线性表出,s,

14、 rii,21则称部分组 是向量组 的一个极大线性无关组且向量组的rii21 s,21极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩2.求法 任何矩阵都可以通过矩阵的行初等变换化作阶梯形 求极大线性无关组的步骤:将向量依次按列写成矩阵;对矩阵施行行初等变换,化作阶梯形;阶梯形中主元所在列标对应到原向量构成一个极大线性无关组;例如 (行初等变换)54321,A0021主元所在列是第列,第列,第列,因此 的一个极大线性无关54321,组是 且 3421,r54321,三向量组的秩与矩阵的秩 设 是 矩阵,将矩阵的每个行看作行向量,矩阵的 个行向量构成一个向量组,Anm m该向量组的秩称为矩阵的行

15、秩 将矩阵的每个列看作列向量,矩阵的 个列向量构成一个向量组,该向量组的秩称为n矩阵的列秩 矩阵的行秩矩阵的列秩矩阵的秩 (三秩相等)典型习题1下列向量组中线性相关性的向量组是( )A. .430,210,032 TTTB. .0,1 TbaC. TT32 T014北 京 安 通 学 校 咨询电话 01082674061(82674062)学校地址:北京大学资源西楼三层 2313 室 学校网址:www.antong.org 信息资料:第 10 页,共 66 页10D. , , , (D )T10T2T13T122设向量组 线性无关,下列向量组无关的是( )3A B.121, 1321,C D.

16、 323 132,(A)3 . 设向量组 线性无关,而向量组 线性相关,则 *, 3,2,kkA. 3 B. 2 C.-2 D.-3 (D)4 .设向量组 线性无关,则 是向量组 线性无关的*, 1k,kA. 充分必要条件 B. 充分条件,但非必要是条件C. 必要条件,但非充分是条件 D. 既非充分条件,也非必要是条件 (C)5. ( )时, 向量组 ,01,50,3132 tTTtt 321,线性无关.A B。 C. D. 且 (D)0tt2tt2t6 .设 ,则它们的一* TTTT )1,0(,)01,(,)1,(,)12,( 4321 个极大线性无关组是( )A. B. C. D. (D

17、)21,4321,321,421,7. , , . 则132221332175A. 向量组 线性无关 . B. 向量组 线性相关.1, ,C.仅当向量组 线性无关时 , 向量组 线性无关.32,321,D. 仅当 向量组 线性相关时, 向量组 线性相关. (B)18.设 A,B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵,则必有 A. A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关。 (A)B. A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关。北 京 安 通 学 校 咨询电话 01082674061(82674062)学校地址:北京大学资源西楼三层 2313 室 学校网址:www.antong.or

18、g 信息资料:第 11 页,共 66 页11C. A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关。D. A 的行向量组线向相关,B 的列向量组线性相关。9.设向量组 线性无关,向量组 线性相关。则,A. 必能被 线性表出 . B. 必不能被 线性表出.,C. 必能被 线性表出 . D. 必不能被 线性表出. (C) ,.设 是 单维位向量,若 ,则 ( )*10XnTXG2 GnI()11设向量组 线性无关,向量组 线性相关,设向量组321,4321,线性无关。则 ( )5321, (5rA.2 B.3 C.4 D.5 (C) 12. .设 , ,且 .则 ( ). 963tA2,3BrM0A

19、tA.2 B.4 C.-2 D.-4 (B)第四讲 线性方程组解的理论一 齐次线性方程组设 元齐次线性方程组n, 02122121nmmnxaxa 系数矩阵 mnmaaA 2121令 ,则线性方程组可写成TnxxX,21矩阵方程的形式:北 京 安 通 学 校 咨询电话 01082674061(82674062)学校地址:北京大学资源西楼三层 2313 室 学校网址:www.antong.org 信息资料:第 12 页,共 66 页12OAX若令 , ,Tnaa1,21,1Tnaa2212,,则齐次线性方程组又可以写成向量方程的形式:mnn, 021nxx 齐次线性方程组有非零解的判定条件 设

20、,齐次线性方程组 有非零解nmMA,0AXAr)(只有零解 .即系数矩阵 列满秩0Xnr)( 设 是 阶方阵,齐次线性方程组 有非零解 0只有零解 A0A 设 ,当 时,齐次线性方程组 必有非零解nmM,X 齐次线性方程组的解的性质若 , 是齐次线性方程组 的解,则和 仍是 的解12 0A)(210AX若 是齐次线性方程组 的解,则 的任意常数倍 仍是 的解Xk 齐次线性方程组 的解的结构 的一个基础解系 0AXt,21其要点为:(1) 都是 的解,(2)它们是线性无关的 , (3) 的任t,210A0AX何一个解都可以由它们线性表出因此基础解系往往不是惟一的 若 元齐次线性方程组 的系数矩阵

21、 的秩 ,则基础解系中含有nXrA)(个线性无关的解向量(这一点和上面的(3) 等价,即 ).r nt 若 是齐次线性方程组 的一个基础解系,t,21 0A则齐次线性方程组 的通解(一般解)是0其中 是任意常数 tkkX21 tk,214. 解齐次线性方程组 的基本方法X解 元齐次线性方程组 的基本步骤:nA(1) 对系数矩阵作矩阵的初等行变换,化作行阶梯形;(2) 假设有 个非零行,则基础解系中有 个解向量r rn北 京 安 通 学 校 咨询电话 01082674061(82674062)学校地址:北京大学资源西楼三层 2313 室 学校网址:www.antong.org 信息资料:第 13

22、 页,共 66 页13选非主元所在列的变量为自由未知量;(3) 将自由变量依次设为单位向量,求得所需的线性无关的解向量为一个基础解系二 非齐次线性方程组设非齐次线性方程组 mnmnbxaxa 21 22 121记系数矩阵为 ,常数项向量为 ,则非齐次线性方程组可写作nmMARbAX 方程组的增广矩阵 mnmnbaa 212112记作 bA 对应的齐次线性方程组 称为非齐次线性方程组 的导出组0XAX 非齐次线性方程组有解的判定 非齐次线性方程组 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩即 )()brA 若 元非齐次线性方程组 有解,即nbXrAr)(当 时,方程组 有惟一解;r时,方程

23、组 有无穷多解 当系数矩阵 时,非齐次线性方程组 有唯一解nMAbX0 非齐次线性方程组解的性质 设 是非齐次线性方程组 的两个解,则 是导出组 的一个21,bA21AX解 非齐次线性方程组 的任一解 与导出组 的解 的和 是非齐次线X0AX性方程组 的解bA 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组 的通解(一般解)是非齐次线性方程组的一个特解 + 导出组的基础解系的线性组合北 京 安 通 学 校 咨询电话 01082674061(82674062)学校地址:北京大学资源西楼三层 2313 室 学校网址:www.antong.org 信息资料:第 14 页,共 66 页14即 设非齐次线性方

24、程组 ,若 , 是 的一个特解,bAXr)(bAX是导出组的基础解系,则 的通解(一般解)是rn,21, 其中 是任意常数rnk1 rnk,1典型习题1 . 只有零解的充分必要条件是*0,AXMmnA A 的列向量组线性相关 B A 的列向量组线性无关C A 的行向量组线性相关 D A 的行向量组线性无关 ()2. 是 对应的齐次方程组.则,mnb若 只有零解,则 有唯一解.0XX若 有非零解 ,则 有无穷多解.若 有无穷多解,则 有非零解.A0A若 无解,则 只有零解. (C) b. 的行向量线性无关,则错误的是M,54 只有零解. 必有无穷多解.0XT 0XT 有惟一解. 总有无穷多解 b

25、A, bA,()4设 ,其每行之和都为零,且 .则 的通解是( ).nM1nr0( )1,(Tk5. 已知三阶矩阵 的秩 ,A,1)(rT253是方程组 的三个解向量,则常数T0310XkA. B. C. D. 3 (D)26. 已知三阶非零矩阵 的每一列都是方程组 的解,则B03231x. (),北 京 安 通 学 校 咨询电话 01082674061(82674062)学校地址:北京大学资源西楼三层 2313 室 学校网址:www.antong.org 信息资料:第 15 页,共 66 页15.设 , ,T011T212,2103T,则齐次线性方程组,4TT5 04321x的基础解系是(A

26、) (B) (C) (D) ()21,32,43,543,. 方程组 ,它的基础解系是( ).x( )TTTkk10010210. 设 , 是 的三个解向量,且34Ar321,bAX,则 的通解是( ).02T( )TTk101211. 设 为齐次方程组 的一个基础解系,则 TT10,201 AXAA. B. C. D. (A)4210102412.设 是齐次方程组 的一个基础解系,则 的另一个基础解系是321,0AXAXA.与 等秩的向量组 . B. 321,C. D. (C)32121,1,13. 可逆的充分必要条件是AA. 有解. B. 有非零解.bX0AXC. 时 D. (C)0nr1

27、4.设 且可逆,则方程组,321cbaA321cxcbbaa北 京 安 通 学 校 咨询电话 01082674061(82674062)学校地址:北京大学资源西楼三层 2313 室 学校网址:www.antong.org 信息资料:第 16 页,共 66 页16A.有唯一解 B.有无穷多解 C.无解 D.不能确定(C)第五讲 特征值与特征向量一 特征值和特征向量的定义,性质与计算定义 设 , , , 是 的特征值, 是 的属于特征值 的nMA0XXAAXA特征向量性质 6. 若 都是 的属于特征值 的特征向量, 则 也是 的属于特征值 的21, 21特征向量7. 若 是 的属于特征值 的特征向

28、量, 是非零常数,则 也是 的属于特征值XAkkXA的特征向量求法8. 的特征多项式: AIfA)( nnnnaa 21221121IfA)( .,21n9. 由 属于 的特征向量 (求基础解系)0)Xi i10. iiatr11. Aide12. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的二 相似矩阵概念定义 设 ,若存在可逆矩阵 ,满足 ,则称 相似于 .nMAPBA1 A记作 B2. 性质 相似矩阵有相同的秩,相同的迹,相同的行列式,相同的特征值3. 阶方阵的相似对角化的条件n 阶方阵 可对角化 是 有 个线性无关的特征向量AAn 阶方阵 可对角化 的每个特征值的重数等于它对应的线性无关的特征

29、向量的个数北 京 安 通 学 校 咨询电话 01082674061(82674062)学校地址:北京大学资源西楼三层 2313 室 学校网址:www.antong.org 信息资料:第 17 页,共 66 页17即若 (其中 )snnnAI )()()(21 ns21则 阶方阵 可对角化n).,.siAiri 方阵 有 个不同的特征值, 可对角化1. 方阵的相似对角化的步骤(1) 解 的特征多项式: AAIfA)( nnnnaa 21221121求出 的 个特征值 .(其中可能有相重的特征值)nn,21(2)解齐次方程组: ( ), 求出 的每个特征值对应的线性无0XAIii,A关的特征向量即

30、求 的基础解系.i(3)若 共有 个线性无关的特征向量 则令 ,有An,21nX nXP,21. 注意 与 的对应关系.nP211 ii典型习题1. 是 的特征向量,则 . (-3,0)T12351baAba,2 设 ,则对应于特征值 2 的一个特征向量是( )*2103A. B. C. D. (D)TT0T1T013. 设 阶矩阵 中任一行的 个元素之和都为 则 必有一个特征值为( ). ( ) nAn,aAa北 京 安 通 学 校 咨询电话 01082674061(82674062)学校地址:北京大学资源西楼三层 2313 室 学校网址:www.antong.org 信息资料:第 18 页

31、,共 66 页184设 阶矩阵 的特征值为 , 是 的属于特征值 的特征向量,则nAXA的特征值为( ) ,属于特征值的特征向量是( ).Ik22,( 不变)Xk;,1,225. 若 可逆,则 的特征值为( ) ,属于特征值的特征向量是( A*1,2,AI).( 不变)XA,21,6. 设 , 的特征值为 。则 ( ). (60)3MA3,21I7. 三阶矩阵 满足 ,则 =( ). (-1)0,0AIAI8 . 设 ,若 的特征值和 的特征值相等,则其中* 102,102yBx BA. B. C. D. (B),yx, 0,yx1,yx9. ,则 ( ) (1)421aA10. ,可对角化,

32、则 满足条件( ). ( )yxyx, 0yx11 .三阶矩阵 的特征值为 ,属于特征值的特征向量分别是*A1,0,132则 ( ),0,012 TTTAA. B. C. D. (D)101012. 三阶矩阵 的特征值为 ,它们对应的特征向量分别是A2,1,32令 ,,3211324P则 AP北 京 安 通 学 校 咨询电话 01082674061(82674062)学校地址:北京大学资源西楼三层 2313 室 学校网址:www.antong.org 信息资料:第 19 页,共 66 页19(A) (B) (C) (D) (A)1212212113 下列矩阵中与 相似的矩阵是* 2AA B.

33、C. D. (C)1021020120114. 则,2M(A) 与一对角阵相似 . (B) 不能与一对角阵相似AA(C)不能确定 能否与一对角阵相似 (D) (A)1015. 0 不为 的特征值是 可逆的A(A)充分条件 (B)必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 非充分非必要条件 (C)第四部分 一元函数微积分本部分内容包括:考试要求、内容综述、典型例题、真题一、函数考试要求理解函数的概念,掌握函数的表示方法;了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性;理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念;掌握基本初等函数的性质及其图形;会建立简单应用问题中的函 数关系北 京 安 通 学

34、校 咨询电话 01082674061(82674062)学校地址:北京大学资源西楼三层 2313 室 学校网址:www.antong.org 信息资料:第 20 页,共 66 页20内容综述1函数概念(1)函数的定义(2)函数的两要素(3)函数的图形(4)函数的表示法(5)分段函数: .0,1,)(,),()(021xxfxff(6)隐函数: ,yxsin2函数的性质(1)奇偶性(2)单调性(3)周期性(4)有界性3反函数与复合函数(1)反函数(2)复合函数: )(xgfy4初等函数(1)基本初等函数常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。(2)初等函数典型例题例 1 求下列

35、函数的定义域(1) xy)1(北 京 安 通 学 校 咨询电话 01082674061(82674062)学校地址:北京大学资源西楼三层 2313 室 学校网址:www.antong.org 信息资料:第 21 页,共 66 页21解:由 得函数的定义域为 。0)1(,x 01xD(2) 2lny解:由 得函数的定义域为 。1,02x )1,0(,(3) 2)3ln(1)3(xy解:由 得函数的定义域为 。1)3(,0)(,2xx ),4(),1例 2 已知函数 的定义域为 ,求函数 的定义域f1, )31()()xffxg解:由 得 的定义域为 。130,x)(xg32,例 3 研究下列函数

36、的奇偶性(1) ,)1ln()2xxf解:因为对任意的 , 都有定义,且,)1ln()2xf1ln()(2xxf 22l,所以 是奇函数。)l2)(f)1ln()2xxf(2) )(21)xexf解:因为 ,所以函数 是奇函数。)(21)( xfex)(xf北 京 安 通 学 校 咨询电话 01082674061(82674062)学校地址:北京大学资源西楼三层 2313 室 学校网址:www.antong.org 信息资料:第 22 页,共 66 页22(3) 偶函数)(21)xexf例 4 已知函数 的周期是 ,求函数 的周期f2)21()xfg解:欲找 ,使得 ,即 T)(xTg,故 ,

37、 。所以函数2121)( fxfxf T4的周期为 。)g4例 5 设 ,求 的表达式0,3)()(3xfxf )(xf解:根据 得 ,解方程组,1233ff 0,13)(213xffxfxf13)(2)1(,3得 ,令 得 ,所以 。xf2)(3t3)(ttf32)(xf例 6 已知 , 求 的表达式1)2f xf解:令 得 ,故 。tx12)(ttf 2)(xf例 7 已知 ,求 的表达式1)(xf )(1,)(xff解:根据 得 ,即)()(f )1(,)()( ffxf,0,1(1)( xxf从而 。)0,1(1)()( xxff北 京 安 通 学 校 咨询电话 01082674061

38、(82674062)学校地址:北京大学资源西楼三层 2313 室 学校网址:www.antong.org 信息资料:第 23 页,共 66 页23。)0,1()1()(1)( xxxfxf例 8 已知 求 .2,4)(,0)( xgf )(xfg解: .1,4,3)(2)(,24)( fxffxfg二、极限考试要求 数列的极限,函数的极限,极限的运算法则,极限存在的两个准则与两个重要极限,无穷小与无穷大内容综述1数列的极限(1)数列的概念(2)数列极限的概念 nqlim(3)判断极限存在的两个准则单调有界有极限定理:例如:已知 ,证明)1(21,0naan存在并求其值提示 证明数列 单调下降有

39、下界nalimn夹逼定理:例如: 求极限 提示 根据k12lim,利用夹逼定理( ) 。nknknk121212(4)数列极限的性质极限的唯一性;绝对收敛性;收敛数列的有界性;保序性(5)数列极限的四则运算2函数极限(1) 时的极限x北 京 安 通 学 校 咨询电话 01082674061(82674062)学校地址:北京大学资源西楼三层 2313 室 学校网址:www.antong.org 信息资料:第 24 页,共 66 页24且Axf)(limAxfx)(li Axfx)(lim(2) 时的极限0且Axf)(li Axfx)(li0 Axfx)(li0(3)夹逼定理(4)函数极限的性质(5)函数极限的四则运算、复合函数的极限3两个重要极限 exx)1(limsinl0 1li1)ln(i )(lii00e4无穷大量、无穷小量(1)无穷大量(2)无穷小量(3)几个关系(4)无穷小的比较与等价无穷小代换 cxgf)(lim0 21limcos1litanli 0202cos10 xxxex?silm3典型例题例 1 求下列极限的值北 京 安 通 学 校 咨询电话 01082674061(82674062)学校地址:北京大学资源西楼三层 2313 室 学校网址:www.antong.org 信息资料:www.kao100

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