1、中国数学教育网 http:/ 第 1 页 http:/ http:/共 3 页2001 年全国初中数学联赛一、选择题（每小题 7 分，共 42 分）1、a，b，c 为有理数，且等式 成立，则62532cba2a+999b+1001c 的值是（ ）（A） 1999（B）2000（C）2001（D）不能确定2、若 ，且有 5a2+2001a+9=0 及 ，则 的值是（ 1 05219bba）（A） （B） （C） （D）590103、已知在ABC 中，ACB=90 0，ABC=15 0，BC=1，则 AC 的长为（ ）（A） （B） （C） （D）232234、如图，在ABC 中，D 是边 AC
2、上的一点，下面四种情况中，ABDACB 不一定成立的情况是（ ）（A） （B）BAC ACD2（C ）ABD=ACB （D） B5、在实数范围内，一元二次方程 的根为 ；02cbxaacbx24在ABC 中，若 ，则ABC 是锐角三角形；在ABC 和22ABC中，a，b，c 分别为 ABC 的三边， 分别为 的三边，若1CBA 1,cba1CBA，则ABC 的面积 S 大于 的面积 。以上三个命题中，1,CS假命题的个数是（ ）（A）0（B）1（C）2（D）36、某商场对顾客实行优惠，规定：如一次购物不超过 200 元，则不予折扣；如一次购物超过 200 元但不超过 500 元的，按标价给予九
3、折优惠；如一次购物超过 500 元的，其中 500 元按第条给予优惠，超过 500 元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款 168 元和 423 元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（ ）（A）522.8 元（B）510.4 元（C）560.4 元（D ）472.8二、填空题（每小题 7 分，共 28 分）1、已知点 P 在直角坐标系中的坐标为（0，1 ） ，O 为坐标原点，中国数学教育网 http:/ 第 2 页 http:/ http:/共 3 页QPO =1500，且 P 到 Q 的距离为 2，则 Q 的坐标为 。2、已知半径分别为 1 和 2 的两个圆外切于点 P，则
4、点 P 到两圆外公切线的距离为 。3、已知 是正整数，并且 ，则 = yx, 120,23xyyx 2yx。4、一个正整数，若分别加上 100 和 168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为 。三、解答题（共 70 分）1、在直角坐标系中有三点 A（0，1） ，B（1，3） ，C（2，6） ；已知直线上横坐标为 0、1、2 的点分别为 D、E、F。试求 的值使得baxy ba,AD2+BE2+CF2 达到最大值。 （20 分）（1） 证明：若 取任意整数时，二次函数 总取整数值，那么x cxy2都是整数；cba,（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。 （25 分）3、如图，
5、D，E 是ABC 边 BC 上的两点，F 是 BC 延长线上的一点，DAE=CAF。 （1）判断ABD 的外接圆与AEC 的外接圆的位置关系，并证明你的结论；（2）若ABD 的外接圆的半径的 2 倍，BC =6，AB=4 ，求 BE 的长。解答题：1、如图，EFGH 是正方形 ABCD 的内接四边形，两条对角线 EG 和 FH 所夹的锐角为 ，且BEG 与CFH 都是锐角。已知 EG=k，FH= ，四边形 EFGH 的面l积为 S。 （1）求证：sin = ；klS2（2）试用 来表示正方形的面积。l,2、求所有的正整数 a，b，c，使得关于 x 的方程 ，022baxB 楃D AB CDE F GH O中国数学教育网 http:/ 第 3 页 http:/ http:/共 3 页， 0232cbx的所有的根都是正整数。2acx3、在锐角ABC 中，ADBC，D 为垂足，DEAC，E 为垂足，DFAB，F 为垂足。O 为 ABC 的外心。求证：（1）AEF ABC；（2）AOEF4、如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，直线 平行于 BD，且l与 AB、DC、BC、AD 及 AC 的延长线分别相交于点 M、N、R 、S 和 P。求证：PM PNPR PSlAB DM N POCRS
