1、1函数的单调性教学设计兰大附中 杨志杰一、设计理念：1、重视数学概念、公式的发生、发展过程，在概念的形成过程中培养学生发现问题、研究问题、解决问题的能力2、重视学生的学习过程，在教学中注重培养学生独立思考、相互交流、合作探究的能力3、重视诱思探究的教学理论在课堂教学中的渗透，在课堂教学中要体现“教师为主导、学生为主体” ，教师启发诱导，学生自主探究，激发学生的学习兴趣、培养学生良好的思维习惯和思维品质二、设计思路：1、以函数的单调性的概念为主线，贯穿于整个教学过程中对函数单调性概念的深入而准确的认识往往是学生认知过程的难点。因此在教学中突出对概念的分析一方面是为了分析函数单调性的定义，另一方面
2、让学生掌握如何学会、弄懂一个概念的方法，也为今后对其他数学概念的学习有所帮助。使用单调性的定义证明具体函数的单调性是教学中的又是一个难点。使用单调性的定义证明具体函数的单调性是对单调性定义的深层理解，给出“作差、变形、定号”的具体步骤是非常必要的，一方面是有利于学生理解函数单调性的概念；另一方面有利于学生掌握证明方法、形成证明思路。另外也为今后学习不等式证明中的作差法做一定的铺垫。2、加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象、由特殊到一般的数学思维能力的培养始终贯穿于函数单调性概念教学过程中函数单调性的研究方法很具有典型性，体现了对函数研究的一般方法。在函数单调性的教学中要引导学生逐步学会“直观
3、感受-定性描述-定量刻画- 具体应用”的探究方法，这样一方面为了便于对单调性概念有更好地理解，同时也为今后学习函数的其他概念和性质提供一定的参考方法。3、在单调性概念的教学与研究中要体现出单调性是函数的一个局部性质函数的单调性是研究“当自变量不断增大时，函数值随着增大还是减小” ，即函数图像的升降性，与函数奇偶性不同，函数的奇偶性是研究“当自变量的值互为相反数时，函数值是否也互为相反数” ，即函数图像的对称性。函数的单调性与函数的极值是函数的局部性质，与函数的奇偶性、最大（或小）值有着本质的区别，后者是函数的整体性质，在教学中要体现出函数的单调区间是函数定义域上的一个子集（区间） ，关注的是函
4、数在这个子集上的增减性。通过函数的图形以及一些具体的函数发现“有些函数在整个定义域中具有单调性，而有些函数在整个定义域中不具有单调性，可能在某个区间上具有单调性”4、函数的单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，同时广泛的应用于函数的其他性质和其他数学分支中函数的单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要的应用（内部） ；在解不等式、证明不等式、数列的性质以及其他内容的研究中也有重要的作用（外部） 。由此可见，不论在函数内部还是函数外部，函数的单调性有广泛的应用价值，因而在数学中具有核心地位三、学情分析：1、学生已有的知识储备情况兰州市数学集
5、体大备课活动经验交流系列材料之一2函数概念是中学数学的核心概念之一，函数的单调性的概念又是函数的核心概念之一。由于受到不同年龄阶段认知发展水平、生活经验、学习经验的影响，学生对他们的认识和领悟过程不是线性的，而是一个循序渐进、螺旋上升的过程，学生进入高一阶段在学习函数概念的基础之上来学习函数的单调性有三个基础。一是知识的，他们在初中已经学习了函数的感念，初步认识到函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念；在高中又进一步学习了函数的概念，认识到函数是两个数集之间的一种特殊的对应，学生还了解了函数的三种表示方法，此外，还学习了一次函数、二次函数、反比例函数等几个简单而具体的函数。二是经验的，他
6、们了解了函数在实际问题中的一些应用，掌握了简单函数的的图像特征及函数的一些简单的性质，同时，学生还有利用函数的性质进行两个数大小比较的经验。三是思维水平的，主要是形象思维，并逐步向简单的逻辑思维过度。2、预计的学生在本节课学习中的难度及对策对“从函数图像的升降性来直观描述函数的单调性的特征”学生并不感到困难。难度在于：把具体的、直观形象的函数单调性的特征用数学符号语言进行定量刻画，其中最难理解的是为什么要在区间上任取自变量的两个大小不同的数值。在教学中一方面要结合一些具体的函数的图象让学生了解到函数的单调性表现在图像上就是图象的升降性；然后老师引导学生提出“函数是增函数（或减函数）就是随着自变
7、量的值的增大，函数值也随之增大（或减小） ”定性描述；通过讨论、交流，就一般函数进行刻画，提出“增函数就是在某区间上，如果对于任意的 x1 f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是减函数如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上是单调函数，区间 D 叫做函数的单调区间，分为递增区间和递减区间引导学生依据前面的讨论说出增函数的定义，同时让学生模仿增函数的定义叙述出减函数的定义教师引导学生找出定义中的关键词：定义域内的某个区间-自变量的任意两个值-都有。通过以上对单调性的直观感受到定性描述到最终的定量刻画，循序渐进、层层深入，由特殊到一般，由直观到抽象，符
8、合学生的认知过程课堂练习加深理解练习 1、如图是定义在区间 5，5 上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？练习 2、下列说法是否正确，请画图或举例来说明理由（1）如果对于区间 上的任意 x，都),0(有 f(x)f(0),则函数 f(x)在区间 上是增),(函数（2）对于区间（a，b）的某三个值x1，x 2，x 3，当 x1x2x3时， f(x1)f(x2)f(x3),则函数 f(x)在（a，b）上是增函数引导学生通过对图像的观察以及对具体函数的探讨进一步加深单调性的理解练习 2（1）的设置体现在区间中任选一个值不能确定函数是否单调练习
9、2 （2）的设置体现了：即使在区间内取三个不同的值、甚至更多的值也不能确定函数是否单调由此可知：刻画函数的单调性不在于区间内所选取的自变量的值的多少，关键在于是否具有任意性，只要是任意的两个不同的值就可以了，以避免学生在以后的证明中“以特殊的两个不同5值代替任意的两个不同值”的错误的证明。例题讲解巩固知识例、物理学中的玻意耳定律 P= （k 为V正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积 V 减少时，压强 P 将增大。试用函数的单调性证明之。分析：按题意，只要证明函数 P= 在k区间（0，+）上是减函数即可引导学生归纳函数在某个区间上是单调函数的证明方法和步骤：设 任取 x1，x 2D，且
10、x1x2； 作差 f(x1) f(x2)；变形（通常是因式分解和配方） ；定号（即判断差 f(x1)f(x 2)的正负） ；下结论（即指出函数f(x)在给定的区间 D 上的单调性） 通过例题的讲解和方法步骤的归纳加深学生对函数单调性定义的理解和知识的应用课堂练习巩固提高练习 3、画出反比例函数 的图xf1)(像（1）指出这个函数的单调性（2）是否可以说“函数在整个定义域内是减函数？”教师引导学生理解函数 在区间xf1)(、 上都是0,减函数，在整个定义域上不是减函数，强调函数的单调区间不能写成的形式)0,(U),(通过具体问题，使学生认识到函数的单调性是函数在定义域的某个区间上的性质，是函数的
11、局部性质，在整个定义域内函数未必是单调函数6纳小结知识整合思考：1、函数的单调性的定义是怎样的？2、函数的单调性在图像上的表现是什么？3、函数的单调性在函数值上的变化规律是什么？4、函数的单调性是否为函数的整体性质？5、证明函数在某个区间上是增函数或是减函数的证明依据是什么？具体证明的步骤有哪些？现在对定义中的任意两个字能正确理解吗？6、判断某个函数在定义域的某个区间上是否为增函数或是减函数，你有哪些判定方法？教师引导学生对本节课的学习内容和探究方法做总结巩固本节课所学知识以及函数单调性的探究方法课后作业巩固提高 习题 1.3A 组 1、2、3、4，B 组 1说明：1、本设计是对函数单调性的整体设计，在教学中要根据学生的实际情况进行删选2、教材中关于单调性定义的表述“任意两个自变量的值”值得商榷，改为“自变量的任意两个数值”更为准确，因为高中阶段研究的函数都是一元函数，就不可能有两个自变量。
