矩阵理论试题答案最终版.pdf

1、1 、 在 3 维实系 数多 项式线性 空间 P 2 x上 定义 如下 变换 T ：P 2 x P 2 x 2 () () 2 () 2 ( ) (1 ) (1 ) ( ) Px Px Px dd Px T x x x Px dx dx =+ + 并取 B=x 2 ,x,1 为 P 2 x 的 一组 基。 (1) 试 证明 T 是 一个 线性变换 ； (2) 试 说明 T B= T x2 ,T x ,T 1 的线 性相 关性； (3) 求 出线 性变换 T 关于基 B 的矩 阵表 示； (4) 求 出线 性变换 T 的特征值 与特 征向量 。 解： (1) 要证明 T 是线性变换， p(x),

2、q(x) P 2 (x) ， 2 2 ( () () ) 2 ( () () ) ( () () ) (1 ) (1 ) ( ( ) ( ) px qx d px qx d px qx T x x x px qx dx dx + + =+ + + = 2 2 2 () () (1 ) (1 ) ( ) d px d px x x x px dx dx + + 2 2 2 () () (1 ) (1 ) ( ) dqx d qx x x x qx dx dx + + = () () Tp x Tq x + p(x) P 2 (x) ， 2 ( ( ) ( ( ) 2 ( ( ) 2 (1 ) (

3、1 ) ( ( ) kp x kp x kp x dd T x x x kp x dx dx =+ + = () px kT 所以 T 是线性变换 (2) 2 2 22 (1 ) * 2 (1 ) * 2 3 2 x T xx x xx x =+ + = + 2 (1 ) * 0 (1 ) *1 1 x T xx x x =+ + = 2 1 (1 ) * 0 (1 ) * 0 1 1 T xx x =+ + = 对于任意 2 1231 2 3 , , , (3 2) *1 *( 1) 0 kkkk x k k + + = 得 2 1 123 32 0 kx k k k += ，则 1 123

4、 30 20 k kkk = += 有无穷解， 所以说 T B= T x2 ,T x ,T 1 是线性相关的。 (3) TB=BA, 22 2 30 0 ( , ,1) (3 2,1, 1) ( , ,1) 0 0 0 21 1 T xx x xx = + = (4) 线性 变换 T 在基 B 下 对应的 矩 阵为 A= 30 0 00 0 21 1 ,于是 det( ) EA = 30 0 det 0 0 ( 1)( 3) 21 1 =+ + 所以 T 的特征值为 0 ，-1 ，3 ， 对应的特征向量为 (0,1,1) ,(0,0,1) ,(2,0,1) TTT2 、 设e 1 =(1 0

5、0) T ,e 2 = 1 3 (-2 2 1) T ,e 3 = 1 3 (1 1 1) T 为 R 3 的 一组 基。 (1) 将 上述 基标准 正交 化； (2) 求 一个 镜面反 射矩 阵，H ：R 3 R 3 , 它使 He 2 为 平面 2x 1 +x 2 + 2x 3 1 = 0 的 单 位法 向量； (3) 写 出构 造镜面 反射 矩阵 H 的 matlab 函数 。 解：(1) 正交化得： 11 21 22 1 11 31 32 33 1 2 11 2 2 1 0, 0 0 (, ) 1 2, (,) 3 1 0 (, ) (, ) 3 1 ( , ) ( , ) 15 2

6、e e e ee e = = = = = = 单位化得： 00 1 21 1 0,2 ,3 55 0 12 55 rr r = = = (2)平面 2x 1 +x 2 + 2x 3 1 = 0 的单位法向量为 y 2 = 1 (2,1, 2) 3 T ， 则镜面的法向量 u 为 u=e 2 -y 2 = 1 ( 4,1, 1) 3 T ,单位化得 w= 1 ( 4,1, 1) 32 T ，则 H=I n -2ww T ， 则 H 为 7 4 4 0.7778 0.4444 0.4444 1 4 8 1 0.4444 0.8889 0.1111 9 4 1 8 0.4444 0.1111 0.8

7、889 = (3) function H=householder(x,y) %x,y 为两个列向量 x1=x/norm(x); y1=y/norm(y); u=(x1-y1)./norm(x1-y1); H=eye(length(u)-2*u*u; % 这里 x 为 e 2 ，y 为 1 (2,1, 2) 3 T3 、 已知 B 1= 2,t + 1, t 2 1 和 B 2= 1,2t 1,t 2+ t - 1 是 P 2 t, t -1,1 的 两组 基 ，且 对于 p(t), q(t) P 2 t, 定 义内 积： 1 1 ( () , () ) () () pt qt ptqtd t

8、= . (1) 求 B 1 到 B 2 的过渡 矩阵； (2) 写 出基 B 1 的 度量矩 阵； (3) 求 函数 f(t) = exp(-t) 在 P 2 t，t -1,1 的最 佳平 方逼 近多项 式 (t). 解：(1) B 1 = 2 21 1 (1, , ) 0 1 0 00 1 tt ，B 2 = 2 111 (1, , ) 0 2 1 00 1 tt ，设过 度矩阵 为 A ， 则 B 2 =B 1 A ， 所以 1 2 1 1 1 1 1 0.5 1.5 0.5 0 10 * 02 1 0 2 1 00 1 0 0 1 0 0 1 A = = (2) B 1 的度量矩阵 G

9、为2 2 2 2 22 11 1 2 11 1 11 1 22 11 1 11 22 11 (2, 2) (2, 1) (2, 1) ( 1, 2) ( 1, 1) ( 1, 1) ( 1, 2) ( 1, 1) ( 1, 1) 4 2*( 1 ) 2*( 1 ) 2 * ( 1) ( 2 1) ( 1) * ( 1) 2 * ( 1) ( 1) * ( 1) ( tt t tt tt t tt tt dt t dt t dt t dt t t dt t t dt t dt t t dt t + + + + + + = + + + + 1 22 1 1) * ( 1) 8 84 3 10 4

10、4 33 8 4 16 3 3 15 t dt = (3)选取基为1 ，t ，t 2 , 即 由方程（2.1.4 ）得 1 0 1 1 1 2 2 20 3 2 00 2 3 5 22 0 35 ee a ae a ee = 解得 01 2 0.9963, 1.1036, 0.5367 aa a = = 即 (t).=0.9963-1.1036t+0.5367t 24 、 (1) 求出拟合平面上 四个 点 （1,0），（ -1 ， -1），（ 2,1），（ -3,2 ） 的多 项式 P(x) = a 0+ a 1 x + a 2 x 2(2)给定仿射变换（伸缩 及 平面变换） 10 1 02

11、1 xx yy = + 求多项 式 P(x)经此仿 射 变换所 得到 的曲线 ，变 换后的 曲线 是什么 曲线 ？ 解：(1)由平面的四个点我们可得如下方程。 2 01 2 2 01 2 2 01 2 2 01 2 *1 *1 0 * ( 1) * ( 1) 1 *2 *2 1 *( 3) *( 3) 2 aa a aa a aa a aa a += + + = += + + = 设 A=1 1 1;1 -1 1;1 2 4;1 -3 9 x=a 0a 1a 2 Tb=0 -1 1 2 T ,则上述方程 可表 示为 Ax=b ；方程两边同时乘以 A T 得 A T Ax=A T b ；所以 x

12、=(A T A) -1 A T b; 11 12 13 21 22 23 31 32 33 4 1 15 1 15 19 15 19 99 T aaa AA a a a aaa = = 1 1124 186 206 1 ( ) 186 171 61 1592 206 61 59 T AA = 2 1124 186 206 2 0.9548 1 3 , 186 171 61 * 3 0.2487 1592 21 206 61 59 21 0.4045 T Ab x = = = 所以 所以 2 P( ) 0.9548 0.2487 0.4045 x xx = + ，即 2 0.9548 0.248

13、7 0.4045 y xx = + (2) 10 1 02 1 xx yy = + 1 21 x y = 即 x 放大-1 倍 ，x 向右平移 1 ，y 放大 2 倍，y 向左平 移 1 所以 1 1 2 x x y y = + 带入(1) 中 方程 得： 2 2 2 1 0.9548 0.2487(1 ) 0.4045(1 ) 2 1 1.9096 0.4974 0.4974 0.8090 0.8090 2*0.8090 1.6032 2.1154 0.8090 y xx x xx xx + = + + = + =+Matlab 程序如下： x=1 -1 2 -3;y=0 -1 1 2; H

14、=zeros(4,3); H(:,1)=x.2; H(:,2)=x; H(:,3)=ones(4,1); Q,R=qr(H,0); a=R(Q*y) xx=-4:0.1:4; yy=polyval(a,xx); figure(1) plot(xx,yy,x,y,ro) p=polyfit(x,y,2); yp=polyval(p,xx); figure(2) plot(xx,yp,x,y,ro) 可知 0 12 -0.9548, 0.2487, 0.4045 a aa = = = (2) （1,0），（ -1 ，-1），（ 2,1），（ -3,2 ） 这四 个点 经过 仿射 变 换后 得到 （

15、0 ，-1），（ 2 ，-3）， （-1,1），（ 4,3 ）拟 合得 到曲 线 Q(x)=-1.6030-2.1156x+0.8090x 25 、 已知 矩阵 2 10 1 02 1 5 10 2 A = (1) 试 计算 A 的 Frobenius 范 数，|A| ，|A| 并写 出 Matlab 函数。 (2) 试说明级数 0 k k A = 是收敛的，并 求 其结 果（提 示 1 0 () k k A IA = = ）。 (3) 试 问针 对线性 方程 组 Ax =b 所构 造的 Jacobi 与 Ganuse-Seidel 迭代是 否收 敛。 解：(1)A 的 Frobenius 范

16、数= 2 11 mn ij ij a = = = 0.6 0.7746 = |A| = 0.6 ；|A| =0.6 Matlab 函数为： norm(A,fro);norm(A,1);norm(A,inf) (2) 级数 0 k k A = 是收敛的充分必要条件为 A 为收敛矩阵，且其和为 1 0 () k k A IA = = ， 由于 A 的 任意 特征 值小于 1 （即 范数1）， 所 以 A k 为收敛 矩阵 ， 所以 A 为收 敛矩 阵， 即级数 收 敛。 1 0.36 0.12 0.04 1.7308 0.5769 0.1923 1 ( ) 0.04 0.36 0.12 0.192

17、3 1.7308 0.5769 0.208 0.12 0.04 0.36 0.5769 0.1923 1.7308 IA = = (3) A D LU = 其中0.4 0 0 0 0 0 0 0.2 0 0 0.4 0 , 0 0 0 , 0 0 0.2 0 0 0.4 0.2 0 0 0 0 0 D LU = = = Jacobi 迭代的 G=D 1 (L +U) ，为 0 0.5 0 0 0 0.5 0.5 0 0 ，显然 ()1 G ， 所以 Jacobi 迭代收 敛 Gauss-Seidel 迭代 G=(D L) -1U, 为 0 0.5 0 0 0 0.5 0 0.25 0 ， 显然

18、 ()1 G ，所以 Gauss-Seidel 迭代 收敛 6 、 表格 体重 50 60 65 70 80 身高 1.2 1.3 1.4 1.6 1.7 （1 ） 计 算协 方差矩 阵以 及体重 与身 高的相 关系 数 （2 ） 求 出此 数据的 主成 分 （3 ） 写出 Matlab 程序 解： 此问题的观测向量 X 为 X=50 60 65 70 80;1.2 1.3 1.4 1.6 1.7; 样本的均值 M 为 M=65;1.44; B=A-Me T n 为 B=-15 -5 0 5 15;-0.24 -0.14 -0.04 0.16 0.26; 由此我们得到样本的协方差矩阵 1 1

19、T S BB N = 22222 225 25 25 225 15*0.24 5*0.14 5*0.16 15*0.26 1 15*0.24 5*0.14 5*0.16 15*0.26 0.24 0.14 0.04 0.16 0.26 4 + + + + = + + 所以协方差矩阵 体重与身高的相关系数 2.25 0.9705 125*0.043 ij ij ii jj s r ss = = = ，所以 此数据的主成分为： 所以第一主成分为： 1 0.9998 0.018 0.9998( 65) 0.018( 1.44); y wh w h = = 第二主成分为 2 0.018 0.9998

20、0.018( 65) 0.9998( 1.44); y wh w h = + = + X=50 60 65 70 80;1.2 1.3 1.4 1.6 1.7; function M,S1,R,U,D=mean2var(X) M=mean(X) ;% 计算样 本的均值 p,N=size(X); B=X-M*ones(1,N);% 计算平均偏差矩阵 S=1./(N-1).*B*B;% 计算协方差矩阵 S1=cov(X)% 计算协方差 矩阵的 Matlab 函数 R=corrcoef(X)% 计算相关系数矩阵 U,D,V=svd(S1);% 计算主成分 U D=diag(D); 7 、 求 解下

21、列矩阵 常微 分方程 (0) dx Ax f dt xl = + = 其中 3 41 1 1 , 12 1 1 t A fe l = = = 并 写出 相应的 Matlab 程序 解：首先求出 At 的特征多项式 2 ( )d e t ( )( 3 ) At f I At t = = ，从而 At 的特 征值为 3t = 。 其次假设 () ()() () A f ef q r = = + ，其 中 10 () r bb = + ，于 是可构建方程组 3 10 3 1 *3 ( ) t t e e b tb e eb = = + = = 解得： 33 10 , (1 3 ) tt b eb e

22、 t = = 从而有 33 10 ( ) (1 3 ) At t t e r At b At b I te A e t I = =+=+ 3 1 1 t tt e tt + = 方程的解为： 0 () () t At At As x t e c e e f s ds = + ，其中 33 1 11 () * 1 11 As t t ss e fs e e ss = = + ， 0 () t As t e f s ds t = 所以 333 1 11 1 () 1 1 1 (1 ) ttt tt tt t t xt e e e tt tt t t + =+= + 3 1 1 t t xe t + = a=4 1; -1 2; x0=1 -1; syms t s; s=real(s); x=expm(t*a)*x0; f=exp(3*s) -exp(3*s); xx=expm(-s*a)*f; xx= simple(xx); intg=int(xx,0,t); i=expm(t*a); ii=simple(i*intg); iii=simple(x+ii); tt=0:0.01:5; y=inline(iii) % 方程的解 yy=y(tt); plot(tt,yy)