1、一天征服傅里叶变换一天征服傅里叶变换一天征服傅里叶变换一天征服傅里叶变换 如果你对信号处理感兴趣如果你对信号处理感兴趣如果你对信号处理感兴趣如果你对信号处理感兴趣 ， ，无疑会说这个标题是太夸张了 无疑会说这个标题是太夸张了无疑会说这个标题是太夸张了无疑会说这个标题是太夸张了 。 。我赞同这点 我赞同这点我赞同这点我赞同这点 。 。当然 当然当然当然 ， ，没有反覆实践和钻研数学 没有反覆实践和钻研数学没有反覆实践和钻研数学没有反覆实践和钻研数学 ， ，您无法在一天里学会傅立叶变换的方方面面您无法在一天里学会傅立叶变换的方方面面您无法在一天里学会傅立叶变换的方方面面您无法在一天里学会傅立叶变换
2、的方方面面 。 。无论如何 无论如何无论如何无论如何 , 这个在线课程将提供给您怎样进行傅立叶变换运这个在线课程将提供给您怎样进行傅立叶变换运这个在线课程将提供给您怎样进行傅立叶变换运这个在线课程将提供给您怎样进行傅立叶变换运算的基本知识算的基本知识算的基本知识算的基本知识 。 。能有效和能非常简单地领会的原因是我们使用了一种不太传统的逼近 能有效和能非常简单地领会的原因是我们使用了一种不太传统的逼近能有效和能非常简单地领会的原因是我们使用了一种不太传统的逼近能有效和能非常简单地领会的原因是我们使用了一种不太传统的逼近 。 。重要的是你将学习 重要的是你将学习重要的是你将学习重要的是你将学习傅
3、立叶变换的要素而完全不用超过加法和乘法的数学计算傅立叶变换的要素而完全不用超过加法和乘法的数学计算傅立叶变换的要素而完全不用超过加法和乘法的数学计算傅立叶变换的要素而完全不用超过加法和乘法的数学计算 ! 我将设法在不超过以下六节里解释在对音像信我将设法在不超过以下六节里解释在对音像信我将设法在不超过以下六节里解释在对音像信我将设法在不超过以下六节里解释在对音像信号处理中傅立叶变换的实际应用号处理中傅立叶变换的实际应用号处理中傅立叶变换的实际应用号处理中傅立叶变换的实际应用 。 。 步骤步骤步骤步骤 1: 一些简单的前提一些简单的前提一些简单的前提一些简单的前提 在下面在下面在下面在下面 ， ，
4、您需要理解以下四件最基本的事情 您需要理解以下四件最基本的事情您需要理解以下四件最基本的事情您需要理解以下四件最基本的事情 : 加法加法加法加法 ， ，乘 乘乘 乘、 、 、除 除除 除法 法法 法。 。 。什么是正弦 什么是正弦什么是正弦什么是正弦 ， ，余弦和正弦信号 余弦和正弦信号余弦和正弦信号余弦和正弦信号 。 。明显 明显明显明显地地地 地， ， ，我将跳第一二件事和将解释位最后一个 我将跳第一二件事和将解释位最后一个我将跳第一二件事和将解释位最后一个我将跳第一二件事和将解释位最后一个 。 。您大概还记得您在学校学过的 您大概还记得您在学校学过的您大概还记得您在学校学过的您大概还记得
5、您在学校学过的 “三角函数三角函数三角函数三角函数 ”1， ，它神秘地用于 它神秘地用于它神秘地用于它神秘地用于与角度一起从它们的内角计算它们的边长与角度一起从它们的内角计算它们的边长与角度一起从它们的内角计算它们的边长与角度一起从它们的内角计算它们的边长 ， ，反之亦然 反之亦然反之亦然反之亦然 。 。我们这里不需要所有这些事 我们这里不需要所有这些事我们这里不需要所有这些事我们这里不需要所有这些事 ， ，我们只需要知道二个 我们只需要知道二个我们只需要知道二个我们只需要知道二个最重要的三角函数最重要的三角函数最重要的三角函数最重要的三角函数 ， ， “正弦正弦正弦正弦 “ 和和和 和 “余
6、弦余弦余弦余弦 “ 的外表特征的外表特征的外表特征的外表特征 。 。这相当简单 这相当简单这相当简单这相当简单 : 他们看起来象是以峰顶和谷组成的从观他们看起来象是以峰顶和谷组成的从观他们看起来象是以峰顶和谷组成的从观他们看起来象是以峰顶和谷组成的从观察点向左右无限伸展的非常简单的波浪察点向左右无限伸展的非常简单的波浪察点向左右无限伸展的非常简单的波浪察点向左右无限伸展的非常简单的波浪 。 。 （ （附图一 附图一附图一附图一 ） ） The sine wave The cosine wave 如同你所知道的如同你所知道的如同你所知道的如同你所知道的 ， ，这两种波形是周期性的 这两种波形是周
7、期性的这两种波形是周期性的这两种波形是周期性的 ， ，这意味着在一定的时间 这意味着在一定的时间这意味着在一定的时间这意味着在一定的时间 、 、周期之后 周期之后周期之后周期之后 ， ，它们看起来再次一样 它们看起来再次一样它们看起来再次一样它们看起来再次一样 。 。两种波形看起来也很象两种波形看起来也很象两种波形看起来也很象两种波形看起来也很象 ， ，但当正弦波在零点开始时余弦波开始出现在最大 但当正弦波在零点开始时余弦波开始出现在最大但当正弦波在零点开始时余弦波开始出现在最大但当正弦波在零点开始时余弦波开始出现在最大 值值值 值。 。 。在实践中 在实践中在实践中在实践中 ， ，我们如何判
8、定我 我们如何判定我我们如何判定我我们如何判定我们在一个给定时间所观测到的波形是开始在它的最大值或在零们在一个给定时间所观测到的波形是开始在它的最大值或在零们在一个给定时间所观测到的波形是开始在它的最大值或在零们在一个给定时间所观测到的波形是开始在它的最大值或在零 ? 问的好问的好问的好问的好 : 我们不能我们不能我们不能我们不能 。 。实践上没有办法区分 实践上没有办法区分实践上没有办法区分实践上没有办法区分正弦波和余弦波正弦波和余弦波正弦波和余弦波正弦波和余弦波 ， ，因此看起来象正弦或余弦波的我们统称为正弦波 因此看起来象正弦或余弦波的我们统称为正弦波因此看起来象正弦或余弦波的我们统称为
9、正弦波因此看起来象正弦或余弦波的我们统称为正弦波 ， ，在希腊语中译作 在希腊语中译作在希腊语中译作在希腊语中译作 “正弦类正弦类正弦类正弦类 “。 。正弦波的 正弦波的正弦波的正弦波的一个重要性质是一个重要性质是一个重要性质是一个重要性质是 “频率频率频率频率 “。 。它告诉我们在一个给定的时间内有多少个波峰和波谷 它告诉我们在一个给定的时间内有多少个波峰和波谷它告诉我们在一个给定的时间内有多少个波峰和波谷它告诉我们在一个给定的时间内有多少个波峰和波谷 。 。高频意味许多波峰和波谷 高频意味许多波峰和波谷高频意味许多波峰和波谷高频意味许多波峰和波谷 ， ，低频率意味少量波峰和波谷低频率意味少
10、量波峰和波谷低频率意味少量波峰和波谷低频率意味少量波峰和波谷 : （ （附图二 附图二附图二附图二 ） ） Low frequency sinusoid Middle frequency sinusoid High frequency sinusoid 步骤步骤步骤步骤 2: 了解傅立叶定理了解傅立叶定理了解傅立叶定理了解傅立叶定理 Jean-Baptiste Joseph Fourier 是孩子们中让父母感到骄傲和惭愧的的一个是孩子们中让父母感到骄傲和惭愧的的一个是孩子们中让父母感到骄傲和惭愧的的一个是孩子们中让父母感到骄傲和惭愧的的一个 ， ，因为他十四岁时就开始对他们 因为他十四岁时就开
11、始对他们因为他十四岁时就开始对他们因为他十四岁时就开始对他们说非常复杂的数学用语说非常复杂的数学用语说非常复杂的数学用语说非常复杂的数学用语 。 。他的一生中做了很多重要工作 他的一生中做了很多重要工作他的一生中做了很多重要工作他的一生中做了很多重要工作 ， ，但最重大的发现可能是解决了材料热传导问题 但最重大的发现可能是解决了材料热传导问题但最重大的发现可能是解决了材料热传导问题但最重大的发现可能是解决了材料热传导问题 。 。他推导出了描述热在某一媒介中如何传导的公式他推导出了描述热在某一媒介中如何传导的公式他推导出了描述热在某一媒介中如何传导的公式他推导出了描述热在某一媒介中如何传导的公式
12、 ， ，即用三角函数的无穷级数来解决这个问题 即用三角函数的无穷级数来解决这个问题即用三角函数的无穷级数来解决这个问题即用三角函数的无穷级数来解决这个问题 （ （就是我们在 就是我们在就是我们在就是我们在上面讨论过的正弦上面讨论过的正弦上面讨论过的正弦上面讨论过的正弦 、 、余弦函数 余弦函数余弦函数余弦函数 ）。）。）。）。 主要和我们话题有关的是主要和我们话题有关的是主要和我们话题有关的是主要和我们话题有关的是 ： ：傅里叶的发现总结成一般规律就是任意复杂 傅里叶的发现总结成一般规律就是任意复杂傅里叶的发现总结成一般规律就是任意复杂傅里叶的发现总结成一般规律就是任意复杂的信号都能由一个个混
13、合在一起的正弦函数的和来表示的信号都能由一个个混合在一起的正弦函数的和来表示的信号都能由一个个混合在一起的正弦函数的和来表示的信号都能由一个个混合在一起的正弦函数的和来表示 。 。 这是一个例子这是一个例子这是一个例子这是一个例子 ： ： This is our original One sine Two sines Four sines Seven sines Fourteen sines （ （附图三 附图三附图三附图三 ） ） 在这里你看到的是一个原始的信号在这里你看到的是一个原始的信号在这里你看到的是一个原始的信号在这里你看到的是一个原始的信号 ， ，以及如何按某一确定的关系 以及如何
14、按某一确定的关系以及如何按某一确定的关系以及如何按某一确定的关系 （ （ “配方配方配方配方 ”） ）混合在一起的正弦函数混 混合在一起的正弦函数混混合在一起的正弦函数混混合在一起的正弦函数混合物合物合物合物 （ （我们称它们 我们称它们我们称它们我们称它们 为分量为分量为分量为分量 ） ）所逼近 所逼近所逼近所逼近 。 。我们将简略地谈论一下那份配方 我们将简略地谈论一下那份配方我们将简略地谈论一下那份配方我们将简略地谈论一下那份配方 。 。如你所知 如你所知如你所知如你所知 ， ，我们用的正弦函数愈多 我们用的正弦函数愈多我们用的正弦函数愈多我们用的正弦函数愈多其结果就愈精确地接近我们的原
15、始信号波形其结果就愈精确地接近我们的原始信号波形其结果就愈精确地接近我们的原始信号波形其结果就愈精确地接近我们的原始信号波形 。 。在 在在 在 “现实现实现实现实 ”世界中世界中世界中世界中 ， ，在信号连续的地方 在信号连续的地方在信号连续的地方在信号连续的地方 ， ，即你能以无穷小的间 即你能以无穷小的间即你能以无穷小的间即你能以无穷小的间隔来测量它们隔来测量它们隔来测量它们隔来测量它们 ， ，精度仅受你的测试设备限制 精度仅受你的测试设备限制精度仅受你的测试设备限制精度仅受你的测试设备限制 ， ，你需要无限多的正弦函数才能完美地建立任意一个给定的信 你需要无限多的正弦函数才能完美地建立
16、任意一个给定的信你需要无限多的正弦函数才能完美地建立任意一个给定的信你需要无限多的正弦函数才能完美地建立任意一个给定的信号号号 号。 。 。幸运地是 幸运地是幸运地是幸运地是 ， ，和数字信号处理者们一样 和数字信号处理者们一样和数字信号处理者们一样和数字信号处理者们一样 ， ，我们不是生活在那样的世界 我们不是生活在那样的世界我们不是生活在那样的世界我们不是生活在那样的世界 。 。相反 相反相反相反 ， ，我们将处理仅以有限精度 我们将处理仅以有限精度我们将处理仅以有限精度我们将处理仅以有限精度每隔一定间隔被测量的现实世界的采样信号每隔一定间隔被测量的现实世界的采样信号每隔一定间隔被测量的现
17、实世界的采样信号每隔一定间隔被测量的现实世界的采样信号 。 。因而 因而因而因而 ， ，我们不需要无限多地正弦函数 我们不需要无限多地正弦函数我们不需要无限多地正弦函数我们不需要无限多地正弦函数 ， ，我们只需要非常多 我们只需要非常多我们只需要非常多我们只需要非常多 。 。稍后我们也将讨论这个稍后我们也将讨论这个稍后我们也将讨论这个稍后我们也将讨论这个 “非常多非常多非常多非常多 ”是多少是多少是多少是多少 。 。目前重要的一点是你能够想象 目前重要的一点是你能够想象目前重要的一点是你能够想象目前重要的一点是你能够想象 ， ，任意一个在你计算机上的信号 任意一个在你计算机上的信号任意一个在你
18、计算机上的信号任意一个在你计算机上的信号 ， ，都能用简单正弦波按配方组成都能用简单正弦波按配方组成都能用简单正弦波按配方组成都能用简单正弦波按配方组成 。 。 步骤步骤步骤步骤 3: “非常多非常多非常多非常多 ”是多少是多少是多少是多少 正如我们所知道的正如我们所知道的正如我们所知道的正如我们所知道的 ， ，复杂形状的波形能由混合在一起的正弦波所建立 复杂形状的波形能由混合在一起的正弦波所建立复杂形状的波形能由混合在一起的正弦波所建立复杂形状的波形能由混合在一起的正弦波所建立 。 。我们也许要问需要多少正弦波来 我们也许要问需要多少正弦波来我们也许要问需要多少正弦波来我们也许要问需要多少正
19、弦波来构造任意一个在计算机上给定的信号构造任意一个在计算机上给定的信号构造任意一个在计算机上给定的信号构造任意一个在计算机上给定的信号 。 。当然 当然当然当然 ， ，倘若我们知道正在处理的信号是如何组成的 倘若我们知道正在处理的信号是如何组成的倘若我们知道正在处理的信号是如何组成的倘若我们知道正在处理的信号是如何组成的 ， ，这可能至少是 这可能至少是这可能至少是这可能至少是一个单个正弦波一个单个正弦波一个单个正弦波一个单个正弦波 。 。在许多情况下 在许多情况下在许多情况下在许多情况下 ， ，我们处理的现实世界的信号可能有非常复杂的结构 我们处理的现实世界的信号可能有非常复杂的结构我们处理
20、的现实世界的信号可能有非常复杂的结构我们处理的现实世界的信号可能有非常复杂的结构 ， ，以至于我们不能深 以至于我们不能深以至于我们不能深以至于我们不能深入知道实际上有多少入知道实际上有多少入知道实际上有多少入知道实际上有多少 “分量分量分量分量 ”波存在波存在波存在波存在 。 。在这种情况下 在这种情况下在这种情况下在这种情况下 ， ，即使我们无法知道原始的信号是由多少个正弦波来构 即使我们无法知道原始的信号是由多少个正弦波来构即使我们无法知道原始的信号是由多少个正弦波来构即使我们无法知道原始的信号是由多少个正弦波来构成的成的成的成的 ， ，肯定存在一个我们将需要多少正弦波的上限 肯定存在一
21、个我们将需要多少正弦波的上限肯定存在一个我们将需要多少正弦波的上限肯定存在一个我们将需要多少正弦波的上限 。 。尽管如此 尽管如此尽管如此尽管如此 ， ，这 这这 这实际上没解决有多少的问题 实际上没解决有多少的问题实际上没解决有多少的问题实际上没解决有多少的问题 。 。让我们试 让我们试让我们试让我们试着来直观地逼近它着来直观地逼近它着来直观地逼近它着来直观地逼近它 : 假设一个信号我们有假设一个信号我们有假设一个信号我们有假设一个信号我们有 1000 个样采个样采个样采个样采 ， ，可能存在的最短周期正弦波 可能存在的最短周期正弦波可能存在的最短周期正弦波可能存在的最短周期正弦波 （ （即
22、多数波峰波谷在其 即多数波峰波谷在其即多数波峰波谷在其即多数波峰波谷在其中中中 中） ） ）以交替的波峰波谷分布在每个采样内 以交替的波峰波谷分布在每个采样内以交替的波峰波谷分布在每个采样内以交替的波峰波谷分布在每个采样内 。 。因此 因此因此因此 ， ，最高频率的正弦波将有 最高频率的正弦波将有最高频率的正弦波将有最高频率的正弦波将有 500 个波峰和个波峰和个波峰和个波峰和 500 个波谷在我个波谷在我个波谷在我个波谷在我们的们的们的们的 1000 个采样中个采样中个采样中个采样中 ， ，且每隔一个采样是波峰 且每隔一个采样是波峰且每隔一个采样是波峰且每隔一个采样是波峰 。 。下图中的黑点
23、表示我们的采样 下图中的黑点表示我们的采样下图中的黑点表示我们的采样下图中的黑点表示我们的采样 ， ，所以 所以所以所以 ， ，最高频率的正弦波 最高频率的正弦波最高频率的正弦波最高频率的正弦波以看起来象这样以看起来象这样以看起来象这样以看起来象这样 : The highest frequency sine wave （ （附图四 附图四附图四附图四 ） ） 现在让我们来看一下最低频率正弦波可能多么低现在让我们来看一下最低频率正弦波可能多么低现在让我们来看一下最低频率正弦波可能多么低现在让我们来看一下最低频率正弦波可能多么低 。 。如果我们只给一个单独的采样点 如果我们只给一个单独的采样点如果
24、我们只给一个单独的采样点如果我们只给一个单独的采样点 ， ，我们将如何能测 我们将如何能测我们将如何能测我们将如何能测量穿过这点的正弦波的峰顶和谷量穿过这点的正弦波的峰顶和谷量穿过这点的正弦波的峰顶和谷量穿过这点的正弦波的峰顶和谷 ? 我们做不到我们做不到我们做不到我们做不到 ， ，因为有许多不同周期正弦波穿过这点 因为有许多不同周期正弦波穿过这点因为有许多不同周期正弦波穿过这点因为有许多不同周期正弦波穿过这点 。 。 （ （附图五 附图五附图五附图五 ） ） 所以所以所以所以 ， ，一个单独数据点不足以告诉我们关于频率的任何事 一个单独数据点不足以告诉我们关于频率的任何事一个单独数据点不足以
25、告诉我们关于频率的任何事一个单独数据点不足以告诉我们关于频率的任何事 。 。现在 现在现在现在 ， ，如果我们有两个采样 如果我们有两个采样如果我们有两个采样如果我们有两个采样 ， ，那么穿过这 那么穿过这那么穿过这那么穿过这两点的正弦波的最低频率是什么两点的正弦波的最低频率是什么两点的正弦波的最低频率是什么两点的正弦波的最低频率是什么 ？ ？在这种情况下它很常简单 在这种情况下它很常简单在这种情况下它很常简单在这种情况下它很常简单 。 。只有一个穿过这两点的非常低频率的正弦 只有一个穿过这两点的非常低频率的正弦只有一个穿过这两点的非常低频率的正弦只有一个穿过这两点的非常低频率的正弦波波波 波
26、。 。 。它看起来向这样 它看起来向这样它看起来向这样它看起来向这样 ： ： The lowest frequency sine wave （ （附图六 附图六附图六附图六 ） ） 想象最左面想象最左面想象最左面想象最左面 的两个点是二个钉子和一个跨越它们之间的弦的两个点是二个钉子和一个跨越它们之间的弦的两个点是二个钉子和一个跨越它们之间的弦的两个点是二个钉子和一个跨越它们之间的弦 （ （图六描述三个数据点是因为正弦波的周期 图六描述三个数据点是因为正弦波的周期图六描述三个数据点是因为正弦波的周期图六描述三个数据点是因为正弦波的周期性性性 性， ， ，但我们实际上只需要最左面的两点说明它的频率
27、 但我们实际上只需要最左面的两点说明它的频率但我们实际上只需要最左面的两点说明它的频率但我们实际上只需要最左面的两点说明它的频率 ）。）。）。）。 我们能领会的最低的频率是来回地摆动在二个钉我们能领会的最低的频率是来回地摆动在二个钉我们能领会的最低的频率是来回地摆动在二个钉我们能领会的最低的频率是来回地摆动在二个钉子之间的弦子之间的弦子之间的弦子之间的弦 ， ，象是图六中左边两点之间的正弦波所做的 象是图六中左边两点之间的正弦波所做的象是图六中左边两点之间的正弦波所做的象是图六中左边两点之间的正弦波所做的 。 。如果我们有 如果我们有如果我们有如果我们有 1000 个采样个采样个采样个采样 ，
28、 ，那么两个 那么两个那么两个那么两个 “钉子钉子钉子钉子 ”相当相当相当相当于第一个或最后的采样于第一个或最后的采样于第一个或最后的采样于第一个或最后的采样 ， ，比如 比如比如比如 1 号采样和号采样和号采样和号采样和 1000 号采样号采样号采样号采样 。 。从对乐器的体验我们知道 从对乐器的体验我们知道从对乐器的体验我们知道从对乐器的体验我们知道 ， ，当长度增加时弦的频 当长度增加时弦的频当长度增加时弦的频当长度增加时弦的频率将下降率将下降率将下降率将下降 。 。所以我们可以想象 所以我们可以想象所以我们可以想象所以我们可以想象 ， ，当我们将两个钉子向彼此远离的方向移开时 当我们将
29、两个钉子向彼此远离的方向移开时当我们将两个钉子向彼此远离的方向移开时当我们将两个钉子向彼此远离的方向移开时 ， ，最小正弦波的频率将变得更 最小正弦波的频率将变得更最小正弦波的频率将变得更最小正弦波的频率将变得更低低低 低。 。 。例如 例如例如例如 ， ，如果我们选择 如果我们选择如果我们选择如果我们选择 2000 个采样个采样个采样个采样 ， ，因为我们的 因为我们的因为我们的因为我们的 “钉子钉子钉子钉子 ”， ，在 在在 在 1 号或号或号或号或 2000 号采样间号采样间号采样间号采样间 ， ，所以最低正弦波将 所以最低正弦波将所以最低正弦波将所以最低正弦波将更低更低更低更低 。 。
30、事实上 事实上事实上事实上 ， ，它将低两倍 它将低两倍它将低两倍它将低两倍 ， ，因为因为我们的钉子比 因为因为我们的钉子比因为因为我们的钉子比因为因为我们的钉子比 1000 个采样时远两倍个采样时远两倍个采样时远两倍个采样时远两倍 。 。这样 这样这样这样 ， ，如果我们有更多的采 如果我们有更多的采如果我们有更多的采如果我们有更多的采样样样 样， ， ，我们将能辨别出一个更低频率的正弦波 我们将能辨别出一个更低频率的正弦波我们将能辨别出一个更低频率的正弦波我们将能辨别出一个更低频率的正弦波 ， ，因为它们的零交叉点 因为它们的零交叉点因为它们的零交叉点因为它们的零交叉点 （ （我们的 我
31、们的我们的我们的 “钉子钉子钉子钉子 ”） ）将移动得更远 将移动得更远将移动得更远将移动得更远 。 。这对 这对这对这对了解下面的解释是非常重要的了解下面的解释是非常重要的了解下面的解释是非常重要的了解下面的解释是非常重要的 。 。 象我们看到的那样象我们看到的那样象我们看到的那样象我们看到的那样 ， ，在两个 在两个在两个在两个 “钉子钉子钉子钉子 ”之后之后之后之后 ， ，我们的波形开始重复上升斜坡 我们的波形开始重复上升斜坡我们的波形开始重复上升斜坡我们的波形开始重复上升斜坡 （ （第一个钉子和第三个钉子同 第一个钉子和第三个钉子同第一个钉子和第三个钉子同第一个钉子和第三个钉子同样样样
32、 样）。 ）。）。）。 这意味着任意两个相邻的钉子准确地包含完整正弦波的一半这意味着任意两个相邻的钉子准确地包含完整正弦波的一半这意味着任意两个相邻的钉子准确地包含完整正弦波的一半这意味着任意两个相邻的钉子准确地包含完整正弦波的一半 ， ，换句话说一个峰或一个谷或半个周期 换句话说一个峰或一个谷或半个周期换句话说一个峰或一个谷或半个周期换句话说一个峰或一个谷或半个周期 。 。 概括一下我们刚学过的东西概括一下我们刚学过的东西概括一下我们刚学过的东西概括一下我们刚学过的东西 ， ，我们知道 我们知道我们知道我们知道 ， ，一个采样正弦波的上限频率 一个采样正弦波的上限频率一个采样正弦波的上限频率
33、一个采样正弦波的上限频率 是所有其它有一个波峰和波谷的是所有其它有一个波峰和波谷的是所有其它有一个波峰和波谷的是所有其它有一个波峰和波谷的采样采样采样采样 ， ，并且 并且并且并且 ， ，低频下限是我们看到的正好匹配采样数的正弦波的周期的一半 低频下限是我们看到的正好匹配采样数的正弦波的周期的一半低频下限是我们看到的正好匹配采样数的正弦波的周期的一半低频下限是我们看到的正好匹配采样数的正弦波的周期的一半 。 。但等一下 但等一下但等一下但等一下 ， ，这难到不意味着 这难到不意味着这难到不意味着这难到不意味着 ， ，当上限频率保持固定时当上限频率保持固定时当上限频率保持固定时当上限频率保持固定
34、时 ， ，当有很多采样时最低频率可以降低 当有很多采样时最低频率可以降低当有很多采样时最低频率可以降低当有很多采样时最低频率可以降低 ？ ？确实如此 确实如此确实如此确实如此 ! 结果我们将从一个低频开始增加结果我们将从一个低频开始增加结果我们将从一个低频开始增加结果我们将从一个低频开始增加更多正弦波来组成一个较长的未知内容的信号更多正弦波来组成一个较长的未知内容的信号更多正弦波来组成一个较长的未知内容的信号更多正弦波来组成一个较长的未知内容的信号 。 。 一切都清楚了一切都清楚了一切都清楚了一切都清楚了 ， ，但我们仍然不知道我们最终需要多少正弦波 但我们仍然不知道我们最终需要多少正弦波但我
35、们仍然不知道我们最终需要多少正弦波但我们仍然不知道我们最终需要多少正弦波 。 。就象我们现在知道任意正弦波分量所能 就象我们现在知道任意正弦波分量所能就象我们现在知道任意正弦波分量所能就象我们现在知道任意正弦波分量所能具的有上下限频率一样具的有上下限频率一样具的有上下限频率一样具的有上下限频率一样 ， ，我们能计算出适合这两个极限之间的量是多少 我们能计算出适合这两个极限之间的量是多少我们能计算出适合这两个极限之间的量是多少我们能计算出适合这两个极限之间的量是多少 。 。既然我们沿着最左到最右的采样 既然我们沿着最左到最右的采样既然我们沿着最左到最右的采样既然我们沿着最左到最右的采样固定了最低
36、正弦波分量固定了最低正弦波分量固定了最低正弦波分量固定了最低正弦波分量 ， ，我们要所有其它正弦波最好也使用这些钉子 我们要所有其它正弦波最好也使用这些钉子我们要所有其它正弦波最好也使用这些钉子我们要所有其它正弦波最好也使用这些钉子 (为什么我们为什么我们为什么我们为什么我们 要不同地对待他们要不同地对待他们要不同地对待他们要不同地对待他们 ? 所有所有所有所有的正弦波被同等的创建的正弦波被同等的创建的正弦波被同等的创建的正弦波被同等的创建 ！ ！ )。 。假设正弦波束是系在吉他上二个固定点的弦 假设正弦波束是系在吉他上二个固定点的弦假设正弦波束是系在吉他上二个固定点的弦假设正弦波束是系在吉他
37、上二个固定点的弦 。 。它们能只摇摆在二个钉子之间 它们能只摇摆在二个钉子之间它们能只摇摆在二个钉子之间它们能只摇摆在二个钉子之间 (除除除 除非他们断了非他们断了非他们断了非他们断了 )， ，就象我们下图的正弦波 就象我们下图的正弦波就象我们下图的正弦波就象我们下图的正弦波 。 。这导致如下关系 这导致如下关系这导致如下关系这导致如下关系 ， ，我们的最低分量 我们的最低分量我们的最低分量我们的最低分量 （ （ 1） ）以 以以 以 1/2 周期装配周期装配周期装配周期装配 ， ，第二分 第二分第二分第二分量量量 量（ （ （ 2） ）以 以以 以 1 个周期装配个周期装配个周期装配个周期装
38、配 ， ，第三分量以 第三分量以第三分量以第三分量以 1 1/2 周期装配以此类推直到我们看到的周期装配以此类推直到我们看到的周期装配以此类推直到我们看到的周期装配以此类推直到我们看到的 1000 个采样个采样个采样个采样 。 。形象地 形象地形象地形象地 , 看看看 看起来象这起来象这起来象这起来象这 : （ （附图七 附图七附图七附图七 ） ） 现在现在现在现在 ， ，如果我们算一下要多少正弦波以那种方法装配我们的 如果我们算一下要多少正弦波以那种方法装配我们的如果我们算一下要多少正弦波以那种方法装配我们的如果我们算一下要多少正弦波以那种方法装配我们的 1000 个采样个采样个采样个采样
39、， ，就会发现我们精确地需要 就会发现我们精确地需要就会发现我们精确地需要就会发现我们精确地需要1000 个正弦波叠加起来表示个正弦波叠加起来表示个正弦波叠加起来表示个正弦波叠加起来表示 1000 个采样个采样个采样个采样 。 。实际上 实际上实际上实际上 ， ，我们总是发现我们需要和采样一样多的正弦波 我们总是发现我们需要和采样一样多的正弦波我们总是发现我们需要和采样一样多的正弦波我们总是发现我们需要和采样一样多的正弦波 。 。 步骤步骤步骤步骤 4 关于烹饪食谱关于烹饪食谱关于烹饪食谱关于烹饪食谱 在前面的段落我们看到在前面的段落我们看到在前面的段落我们看到在前面的段落我们看到 , 任一个
40、给定的在计算机上的信号能被正弦波混合物来构造任一个给定的在计算机上的信号能被正弦波混合物来构造任一个给定的在计算机上的信号能被正弦波混合物来构造任一个给定的在计算机上的信号能被正弦波混合物来构造 。 。 我们考虑了他们我们考虑了他们我们考虑了他们我们考虑了他们的频率的频率的频率的频率 ， ，并且考虑了需要多大的最低和最高频率的正弦波来完美地重建任一个我们所分析信号 并且考虑了需要多大的最低和最高频率的正弦波来完美地重建任一个我们所分析信号并且考虑了需要多大的最低和最高频率的正弦波来完美地重建任一个我们所分析信号并且考虑了需要多大的最低和最高频率的正弦波来完美地重建任一个我们所分析信号 。 。我
41、们明白 我们明白我们明白我们明白了为确定所需最低的正弦波分量了为确定所需最低的正弦波分量了为确定所需最低的正弦波分量了为确定所需最低的正弦波分量 ， ，我们考察的采样的数量是重 我们考察的采样的数量是重我们考察的采样的数量是重我们考察的采样的数量是重 要要要 要， ， ，但我们还未论述实际正弦波如何必需被 但我们还未论述实际正弦波如何必需被但我们还未论述实际正弦波如何必需被但我们还未论述实际正弦波如何必需被混合产生某一确定的结果混合产生某一确定的结果混合产生某一确定的结果混合产生某一确定的结果 。 。由叠加正弦波组成任何指定的信号 由叠加正弦波组成任何指定的信号由叠加正弦波组成任何指定的信号由
42、叠加正弦波组成任何指定的信号 ， ，我们需要测量他们的另外一个方面 我们需要测量他们的另外一个方面我们需要测量他们的另外一个方面我们需要测量他们的另外一个方面 。 。实际 实际实际实际上上上 上， ， ，频率不是我们需要知道的唯一的事 频率不是我们需要知道的唯一的事频率不是我们需要知道的唯一的事频率不是我们需要知道的唯一的事 。 。我们还需要知道正弦波的幅度 我们还需要知道正弦波的幅度我们还需要知道正弦波的幅度我们还需要知道正弦波的幅度 ， ，也就是说每个正弦波幅度有多高 也就是说每个正弦波幅度有多高也就是说每个正弦波幅度有多高也就是说每个正弦波幅度有多高才能混合在一起产生我们需要的输入信号才
43、能混合在一起产生我们需要的输入信号才能混合在一起产生我们需要的输入信号才能混合在一起产生我们需要的输入信号 。 。高度是正弦波的峰顶的高度 高度是正弦波的峰顶的高度高度是正弦波的峰顶的高度高度是正弦波的峰顶的高度 ， ，意即峰顶和零线之间距离 意即峰顶和零线之间距离意即峰顶和零线之间距离意即峰顶和零线之间距离 。 。幅度 幅度幅度幅度赿高赿高赿高赿高 ， ，我们听到的声音也就赿大 我们听到的声音也就赿大我们听到的声音也就赿大我们听到的声音也就赿大 。 。所以 所以所以所以 ， ，如果您有一个含有许多低音的信号 如果您有一个含有许多低音的信号如果您有一个含有许多低音的信号如果您有一个含有许多低音
44、的信号 ， ，无疑可以预期混合体中的低 无疑可以预期混合体中的低无疑可以预期混合体中的低无疑可以预期混合体中的低频率正弦波的分量比例比高频正弦波分量更大频率正弦波的分量比例比高频正弦波分量更大频率正弦波的分量比例比高频正弦波分量更大频率正弦波的分量比例比高频正弦波分量更大 。 。因此一般情况下 因此一般情况下因此一般情况下因此一般情况下 ， ，低音中的低频正弦波有一个比高频正弦 低音中的低频正弦波有一个比高频正弦低音中的低频正弦波有一个比高频正弦低音中的低频正弦波有一个比高频正弦波更高的幅度波更高的幅度波更高的幅度波更高的幅度 。 。在我们的分析中 在我们的分析中在我们的分析中在我们的分析中
45、， ，我们将需要确定各个分量正弦波的幅度以完成我们的配方 我们将需要确定各个分量正弦波的幅度以完成我们的配方我们将需要确定各个分量正弦波的幅度以完成我们的配方我们将需要确定各个分量正弦波的幅度以完成我们的配方 。 。 步骤步骤步骤步骤 5： ：关于苹果和桔子 关于苹果和桔子关于苹果和桔子关于苹果和桔子 如果你一直跟着我如果你一直跟着我如果你一直跟着我如果你一直跟着我 ， ，我们几乎完成了通向傅里叶变换的旅程 我们几乎完成了通向傅里叶变换的旅程我们几乎完成了通向傅里叶变换的旅程我们几乎完成了通向傅里叶变换的旅程 。 。我们学了需要多少正弦波 我们学了需要多少正弦波我们学了需要多少正弦波我们学了需
46、要多少正弦波 ， ，它的数量依 它的数量依它的数量依它的数量依赖于我们查看的采样的数量有一个频率上下限界赖于我们查看的采样的数量有一个频率上下限界赖于我们查看的采样的数量有一个频率上下限界赖于我们查看的采样的数量有一个频率上下限界 ， ，并且不知道怎么确定单个分量的幅度以完成我们的配 并且不知道怎么确定单个分量的幅度以完成我们的配并且不知道怎么确定单个分量的幅度以完成我们的配并且不知道怎么确定单个分量的幅度以完成我们的配方方方 方。 。 。我们一直不清楚究竟如何从我们的采样来确定实际的配方 我们一直不清楚究竟如何从我们的采样来确定实际的配方我们一直不清楚究竟如何从我们的采样来确定实际的配方我们
47、一直不清楚究竟如何从我们的采样来确定实际的配方 。 。直观上我们可以断定能找到正弦波的幅度 直观上我们可以断定能找到正弦波的幅度直观上我们可以断定能找到正弦波的幅度直观上我们可以断定能找到正弦波的幅度 ， ，设法把一个已知频率正弦波和采样作对比设法把一个已知频率正弦波和采样作对比设法把一个已知频率正弦波和采样作对比设法把一个已知频率正弦波和采样作对比 ， ，我们测量找出它们有多么接近 我们测量找出它们有多么接近我们测量找出它们有多么接近我们测量找出它们有多么接近 。 。如果它们精确地相等 如果它们精确地相等如果它们精确地相等如果它们精确地相等 ， ，我们知 我们知我们知我们知道该正弦波存在着相
48、同的幅度道该正弦波存在着相同的幅度道该正弦波存在着相同的幅度道该正弦波存在着相同的幅度 ， ，如果我们发现我们的信号 如果我们发现我们的信号如果我们发现我们的信号如果我们发现我们的信号 与参考正弦波一点也不匹配与参考正弦波一点也不匹配与参考正弦波一点也不匹配与参考正弦波一点也不匹配 ， ，我们将认为这个不 我们将认为这个不我们将认为这个不我们将认为这个不存在存在存在存在 。 。尽管如此 尽管如此尽管如此尽管如此 ， ，我们如何高效地把一个已知的正弦波同采样信号进行比较 我们如何高效地把一个已知的正弦波同采样信号进行比较我们如何高效地把一个已知的正弦波同采样信号进行比较我们如何高效地把一个已知的正弦波同采样信号进行比较 ？ ？幸运地是 幸运地是幸运地是幸运地是 ， ，数字信号处理工 数字信号处理工数字信号处理工数字信号处理工作者早已解决了如何作这些作者早已解决了如何作这些作者早已解决了如何作这些作者早已解决了如何作这些 。 。事实上 事实上事实上事实上 ， ，这象加法和乘法一样容易 这象加
