1、0如何证明线段相等或成倍数关系一【典型例题】（一）线段相等：证明线段相等的方法很多，主要有三角形全等、等腰三角形的判定、线段垂直平分线定理、角平分线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。另外证明线段相等还有一类题型，就是证明两条线段的和或差等于某一条线段，此种类型往往采用截长补短的方法进行证明。在例题讲解中，会出现此种类型的题目，请同学们注意。下面，我们就分析几个例题，希望能通过讲解，使同学逐步掌握证明线段相同的方法。例 1. 已知：四边形 ABCD 中，ADBC，ACBD。求证：OAOB例 2. ABC 中，ABAC，D 是 AB 上一点，E 是 AC 延长线上一点
2、，且DCABO3124BDCE ，DE 交 BC 于 F。求证：DFEF ABCEM例 3. 已知：如图，AD/BC，BD 平分ABC。求证：ABAD ADC312例 4. 已知：在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、CD 上的点，且 AECF。求证：DEBF B1例 5. 已知：在ABC 中，AB 的垂直平分线交 AC 于 E，若 AB8，DE3，求 BE 两点间的距离。例 6. 在ABC 中，AD 平分 BAC，ACB2B，求证：ABACCD。AECBDADCE1（ 二 ） 线 段 倍 、 倍 或 、 倍 的 关 系 ：2412这部分证明中常用到的定理有：（1）直角三角形中，3
3、0的角对的直角边等于斜边的一半。（2）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。（3）中位线定理。下面就以几个例子来说明如何使用这三个定理解决线段倍数关系的证明。例 1. 已知：在ABC 中，M 是 BC 的中点，CEAB，BFAC。求证：EMFM例 2. 在ABC 中，ACB90，A30，CD 是 AB 边上的高。CBAEF求 证 ： DA14CBD12例 3. 已知：在ABC 中，ABAC，EF 是ABC 的中位线，延长 AB 到 D，使 BDAB ，连接 CD。求 证 ： CED12ABCDEF2. 如图，在MNP 中， ，H 是高 MQ 与 NR 的交点。 MNP45求证：HNPM NQR3
4、. 已知：如图DEF 中，DEDF，过 EF 上一点 A 作直线分别与 DE、DF 的延长线交于 B、C，且BECF 。求证：ABAC EBCFD4. 在ABC 中，ABAC9cm， ，AD 是ABC 的中线，AE 是BAD 的平分线， BA120DF/AB 交 AE 的延长线于 F。求 DF 的长。 DE35. 已 知 ： 点 B 在 MN 上 ， 过 AB 的 中 点 O 作 MN 的 平 行 线 ， 分 别 交 ABM 的 平 分 线 和 ABN 的 平 分 线 于C、 D。求证：CDAB DC6. 在ABC 中，AB AC ，DE 是 AB 的垂直平分线，BCE 的周长是 24，BC
5、10，求 AB 的长。BCAE7. 已知：E 是正方形 ABCD 边 BC 上的中点，F 是 CD 上一点，AE 平分BAF。求证：AFBCCF ADEAF8. 已知：在 ABC 中， ，E、F 分别是 AB、AC 边上的点，且 EFDC 是平行四边形，D 是 BAC90BC 的中点。求证：ADEF9. 在ABC 中，AB AC ， ，求证：AB 上的高线等于 AB 的一半。 1510. 已知：在ABC 中，ADBC，E 是 AC 的中点， 。 EBD30求证：ADBE AC4【试题答案】1. BFCEF，在 RtABC 和 RtDEF 中，ABDECF2. MQPN， 45 PRHMHNQN
6、QMRP180 QNHMP3. 过 B 作 BG/CD 交 EF 于 G ECFADB5134625DEFGBCF， ， 122/ ， 3456GBCD/A4. ，AD 平分 BCBC D60AE 平分BAD AE3AB/DF BFDAC0390在 RtADC 中， ACcm1245.DFcm45.5. CBMCBACD/MNCBMDCBCBADCBOCOB同理可证：OBODOCODOAOBADBC 是平行四边形 CBMOBDN180OBCCBM，OBDDBN21809 6ADBC 是矩形CDAB6. BEECBC24，BC10BEEC14DE 是 AB 垂直平分线BEAEACBEEC14ABACAB147. 延长 DC、AE 交于 O 点 BECFADOABCD 是正方形 BCOEABOCEFA90OAFCB 8. EFCD 是平行四边形EDABCF1290 ，79. ABAC BCADCAB150312ACD10. 取 CD 中点 F，连接 EF，则 EF 为 中位线EF 为ACD 中位线EADBCFADE/123012ABCDE30F
