1、最大公约数和最小公倍数例 1、一个长方体木块，长 2.7 米，宽 1.8 分米，高 1.5 分米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？【思路导航】2.7 米=270 厘米，1.8 分米=18 厘米，1.5 分米=15 厘米。要把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公约数。现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公约数。（270,18,15）=3 3 厘米=0.3 分米答：正方体的棱长最大是 0.3 分米。练习 1、有 50 个梨、75 个橘子和 100 个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种
2、水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？练习 2、有三根钢管，它们的长度分别是 240 厘米，200 厘米，480 厘米，如果把它们截成同样长的小段，且不许有剩余，每小段最长可以是多少厘米？例 2、一个数除 200 余 4，除 300 余 6，除 500 余 10。求这个数最大是多少？【思路导航】200-4=196，300-6=294，500-10=490；196、294 和 490 都是这个数的倍数。196=2277294=2377490=2577则 196、294 和 490 的最大公因数是：277=98。答：这个数最大是 98。练习 1、一个数除 425 余 5，除 500 少 4，除
3、300 余 6，这个数最大是多少？练习 2、如果把 110 本练习本平均分给五(1)班同学，则多 5 本；如果把210 本练习本平均分给这个班同学则正好分完；如果把 240 本练习本平均分给这班同学，还少 5 本，五(1)班最多有多少名同学？例 3、一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距 360 米，乙、丙村相距 675 米。现在准备在路边栽树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米？【思路导航】因为要在甲、乙，乙、丙两村的中点栽上树，甲、乙，乙、丙两村距离的一半分别是 3602=180（米），6752=337.5（米
4、）；因为 360 与 675 的最大公因数为 45，且 3602=180、6752=337.5，所以180 与 337.5 的最大公因数为 452=22.5，也就是说相邻两棵树之间的最大距离是 22.5 米。答：相邻两棵树之间的距离最多是 22.5 米。练习 1、一条公路由 A 经 B 到 C.已知 A、B 相距 300 米,B、C 相距 200 米.现在路边植树,要求相邻两树间的距离相等,并在 B 点及 AB、BC 的中点上都要植一棵,那么两树间的距离最多有多少米?练习 2、有 336 支铅笔，252 块橡皮，210 个文具盒，用这些文具，最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，铅笔、橡
5、皮、文具盒各有多少？例 4、已知两个数的最大公约数是 15，最小公倍数是 90，求这两个数分别是多少？【思路导航】这是一道关于最大公因数和最小公倍数的题目，根据求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法。根据题意，先分别把 15 和 90 分解质因数；再根据求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，找出原来两数分别是多少；然后进一步分析，是否还有其它的可能，把所有可能的情况找全即可。15=3590=2335则这两个数分别是：1523015345或者是：3515152390答：这两个数分别是 30、45 或者是 15、90。练习 1、两个数的最大公约数是 12，最小公倍数是 60，求这两个数的和是多少
6、？练习 2、两个自然数的和是 52,它们的最大公约数是 4,最小公倍数是 144.这两个自然数各是多少?例 5、今年祖父的年龄是小明的 6 倍，几年后，祖父的年龄将是小明的 5倍，又过几年以后，祖父的年龄是小明年龄的 4 倍问祖父今年多少岁？【思路导航】于祖父与小明的年龄差是一定的，今年二者的年龄差是小明年龄的 6-1=5 倍，以后是 5-1=4 倍，4-1=3 倍，这说明年龄差是 5，4，3 的倍数，能被 5，4，3 整除，所以其最小公倍数是 60，这个数是 60 的倍数，显然120 和 180 是不可能的，所以只能是 60，因此今年小明的年龄是 605=12（岁），则祖父的年龄是 126=
7、72 岁 练习 1、有一堆苹果，无论是 5 个一数，还是 8 个一数，或是 12 个一数，都正好数完，而没有剩余.这堆苹果至少有多少个？练习 2、甲、乙、丙三人沿一环形跑道跑步，甲跑一圈要 60 秒，乙跑一圈要 40 秒，丙跑一圈要 50 秒.三人同时从起点出发后，保持速度不变，至少再过多长时间，他们又在起点相遇？例 6、一块砖长 20 厘米,宽 12 厘米,厚 6 厘米,要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块?【思路导航】正方体的棱长应该是长方体长宽高的公倍数，20、12、6 的最小公倍数是 60堆成正方体至少需要这样的砖头：606060（20126）=150（块）练习 1、用长 9 厘米、宽
8、 6 厘米、高 7 厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？练习 2、有 200 块长 6 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米的长方体木块，要把这些木块堆成一个尽可能大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？例 7、有一个自然数，被 10 除余 7，被 7 除余 4，被 4 除余 1.这个数最小是多少？【思路导航】由题意得，有一个自然数除以 10 余 7，除以 7 余 4，除以 4余 1 就是：这个自然数除以 10 缺 3，除以 7 缺 3，除以 4 缺 3，求出 10、7、4的最小公倍数，再减去 3 即可.【10,7,4】=140 140-3=137答：这个自然数最小是 137.练习 1、学校六年级有若干个同学排队做操，如果 3 人一行余 2 人，7 人一行余 2 人，11 人一行也余 2 人，六年级最少有多少人？练习 2、一个数能被 3，5，7 整除，但被 11 除余 1.这个数最小是多少？
