1、 因数与倍数相关习题（1）一、填空题128 的所有因数之和是_.2. 用 105 个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_种不同的拼法.3. 一个两位数,十位数字减个位数字的差是 28 的因数,十位数字与个位数字的积是 24.这个两位数是_.4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树667 棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_人.5. 两个自然数的和是 50,它们的最大公因数是 5,则这两个数的差是_.6. 现有梨 36 个,桔 108 个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相等,最多可分给_个小朋友,每个小朋友得梨_个,桔_个.7. 一块长 4
2、8 厘米、宽 42 厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片_块.8. 长 180 厘米,宽 45 厘米,高 18 厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块(不余料)_块.9. 张师傅以 1 元钱 3 个苹果的价格买苹果若干个,又以 2 元钱 5 个苹果的价格将这些苹果卖出,如果他要赚得 10 元钱利润,那么他必须卖出苹果_个.10. 含有 6 个因数的两位数有_个.11写出小于 20 的三个自然数，使它们的最大公因数是 1，但两两均不互质，请问有多少组这种解？12和为 1111 的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少？13狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 米，黄鼠狼每次跳 米，
3、24432它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔 米设有一个陷井,当它们831之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米?14. 已知 a 与 b 的最大公因数是 12,a 与 c 的最小公倍数是 300,b 与 c 的最小公倍数也是 300,那么满足上述条件的自然数 a,b,c 共有多少组?(例如:a=12、b=300、c =300，与 a=300、b=12、c =300 是不同的两个自然数组)答 案答 案:1 5628 的因数有 1,2,4,7,14,28,它们的和为1+2+4+7+14+28=56.2. 4因为 105 的因数有 1,3,5,7,15,21,35,105 能拼成的长方
4、形的长与宽分别是105 和 1,35 和 3,21 与 5,15 与 7.所以能拼成 4 种不同的长方形.3. 64因为 28=2 2 7,所以 28 的因数有 6 个:1,2,4,7,14,28.在数字0,1,2,，9 中，只有 6 与 4 之积，或者 8 与 3 之积是 24，又 6-4=2，8-3=5.故符合题目要求的两位数仅有 64.4. 28因为 667=23 29,所以这班师生每人种的棵数只能是 667 的因数:1,23,29,667.显然,每人种 667 棵是不可能的.当每人种 29 棵树时,全班人数应是 23-1=22,但 22 不能被 4 整除,不可能.当每人种 23 棵树时
5、,全班人数应是 29-1=28,且 28 恰好是 4 的倍数,符合题目要求.当每人种 1 棵树时,全班人数应是 667-1=666,但 666 不能被 4 整除,不可能.所以,一班共有 28 名学生.5. 40 或 20两个自然数的和是 50,最大公因数是 5,这两个自然数可能是 5 和 45,15 和35,它们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20,所以应填 40 或 20.注这里的关键是依最大公因数是 5 的条件,将 50 分拆为两数之和:50=5+45=15+35.6. 36,1,3.要把梨 36 个、桔子 108 个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人
6、数一定是 36 的因数，又要是 108 的因数，即一定是 36 和108 的公因数.因为要求最多可分给多少个小朋友,可知小朋友的人数是 36 和108 的最大公因数.36 和 108 的最大公因数是 36,也就是可分给 36 个小朋友.每个小朋友可分得梨: 36 36=1(只) 每个小朋友可分得桔子: 108 36=3(只)所以,最多可分得 36 个小朋友,每个小朋友可分得梨 1 只,桔子 3 只.7. 56剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长 48 厘米及宽 42 厘米,所以它是 48 与 42 的公因数,题目又要求剪出的正方形最大,故正方形的边长是 48与 42 的最大公因数.因为
7、48=2 2 2 2 3,42=2 3 7,所以 48 与 42 的最大公因数是 6.这样,最大正方形的边长是 6 厘米.由此可按如下方法来剪:长边每排剪 8 块,宽边可剪 7块,共可剪(48 6) (42 6)=8 7=56(块)正方形布片.8. 200根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除,即正方体的棱长是 180,45 和 18 的公因数.为了使正方体木块尽可能大,正方体的棱长应是 180、45 和 18 的最大公因数.180,45 和 18 的最大公因数是 9,所以正方体的棱长是 9 厘米.这样,长 180 厘米可公成 20 段,宽 45 厘米可分成 5 段,高 18
8、 厘米可分成 2 段.这根木料共分割成(180 9) (45 9) (18 9)=200 块棱长是 9 厘米的正方体.9. 150根据 3 与 5 的最小公倍数是 15,张老师傅以 5 元钱买进 15 个苹果,又以 6元钱卖出 15 个苹果,这样,他 15 个苹果进与出获利 1 元.所以他获利 10 元必须卖出 150 个苹果.10. 16含有 6 个因数的数,它的质因数有以下两种情况:一是有 5 个相同的质因数连乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用 M 表示含有 6 个因数的数，用 a 和 b 表示 M 的质因数，那么或5M2因为 M 是两位数，所以 M= a5 只有一种可能
9、 M=25，而 M= a2 b 就有以下15 种情况：，72,322，131，,9222，753MM.2,3,22所以,含有 6 个因数的两位数共有15+1=16(个)11. 三个数都不是质数,至少是两个质数的乘积,两两之间的最大公因数只能分别是 2,3 和 5,这种自然数有 6,10,15 和 12,10,15 及 18,10,15 三组.12. 四个数的最大公因数必须能整除这四个数的和,也就是说它们的最大公因数应该是 1111 的因数.将 1111 作质因数分解,得1111=11 101最大公因数不可能是 1111,其次最大可能数是 101.若为 101,则将这四个数分别除以 101,所得
10、商的和应为 11.现有1+2+3+5=11,即存在着下面四个数101,101 2,101 3,101 5,它们的和恰好是101 (1+2+3+5)=101 11=1111,它们的最大公因数为 101.所以 101 为所求.13. 黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是 与 的“最小公倍数” ，4328149即跳了 =9 次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是 和 的491 2183“最小公倍数” ，即跳了 =11 次掉进陷井.229经过比较可知,黄鼠狼先掉进陷井,这时狐狸已跳的行程是 9=40.5(米).21414. 先将 12、300 分别进行质因数分解：12=22 3300=22 3 52(
11、1)确定 a 的值.依题意 a 只能取 12 或 12 5(=60)或 12 25(=300).(2)确定 b 的值.当 a=12 时,b 可取 12,或 12 5,或 12 25；当 a=60,300 时，b 都只能取 12.所以,满足条件的 a、b 共有 5 组：a=12 a=12 a=12 a=60 a=300b=12, b=60, b=300, b=12, b=12.(3)确定 a,b,c 的组数.对于上面 a、b 的每种取值，依题意，c 均有 6 个不同的值：52，5 2 2，5 2 22，5 2 3，5 2 2 3，5 2 22 3，即25，50，100，75，150，300.所以
12、满足条件的自然数 a、b、c 共有 5 6=30（组）因数与倍数相关习题（2）一、 填空题1把 20 个梨和 25 个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下 2 个，而苹果还缺 2 个，一共有_个小朋友.2. 幼儿园有糖 115 颗、饼干 148 块、桔子 74 个，平均分给大班小朋友；结果糖多出 7 颗，饼干多出 4 块，桔子多出 2 个.这个大班的小朋友最多有_人.3. 用长 16 厘米、宽 14 厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样的木板_块.4. 用长是 9 厘米、宽是 6 厘米、高是 7 厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块_块.5. 一个公共汽车站,发出五路
13、车,这五路车分别为每隔 3、5、9、15、10 分钟发一次，第一次同时发车以后，_分钟又同时发第二次车.6. 动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得12 粒；如只分给第二群，则每只猴子可得 15 粒；如只分给第三群，则每只猴子可得 20 粒.那么平均给三群猴子,每只可得_粒.7. 这样的自然数是有的:它加 1 是 2 的倍数,加 2 是 3 的倍数,加 3 是 4 的倍数,加 4 是 5 的倍数,加 5 是 6 的倍数,加 6 是 7 的倍数,在这种自然数中除了1 以外最小的是_.8 能被 3、7、8、11 四个数同时整除的最大六位数是_.9. 把 26,33,34,3
14、5,63,85,91,143 分成若干组,要求每一组中任意两个数的最大公因数是 1, 那么至少要分成_组.10. 210 与 330 的最小公倍数是最大公因数的_倍.二、解答题11公共汽车总站有三条线路，第一条每 8 分钟发一辆车，第二条每 10 分钟发一辆车，第三条每 16 分钟发一辆车，早上 6：00 三条路线同时发出第一辆车.该总站发出最后一辆车是 20:00,求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻.12. 甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数,商是 12.如果甲乙两数的差是 18,则甲数是多少?乙数是多少?13. 用 、 、 分别去除某一个分数，所得的商都是整数.这个分数285612
15、0最小是几?14. 有 15 位同学,每位同学都有编号,他们是 1 号到 15 号,1 号同学写了一个自然数,2 号说：“这个数能被 2 整除” ，3 号说：“这个数能被他的编号数整除.1 号作了检验:只有编号连续的二位同学说得不对,其余同学都对,问:(1)说的不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你,1 号写的数是五位数,请找出这个数.答 案答 案:1. 9若梨减少 2 个,则有 20-2=18(个);若将苹果增加 2 个,则有 25+2=27(个),这样都被小朋友刚巧分完.由此可知小朋友人数是 18 与 27 的最大公因数.所以最多有 9 个小朋友.2. 36根据题意
16、不难看出,这个大班小朋友的人数是 115-7=108,148-4=144,74-2=72 的最大公因数.所以,这个大班的小朋友最多有 36 人.3. 56所铺成正方形的木板它的边长必定是长方形木板长和宽的倍数,也就是长方形木板的长和宽的公倍数,又要求最少需要多少块,所以正方形木板的边长应是14 与 16 的最小公倍数.先求 14 与 16 的最小公倍数.2 16 148 7故 14 与 16 的最小公倍数是 2 8 7=112.因为正方形的边长最小为 112 厘米,所以最少需要用这样的木板=7 8=56(块)14624 5292与上题类似，依题意，正方体的棱长应是 9，6，7 的最小公倍数，9
17、，6，7 的最小公倍数是 126.所以,至少需要这种长方体木块=14 21 18=5292(块)76912注上述两题都是利用最小公倍数的概念进行“拼图”的问题，前一题是平面图形，后一题是立体图形，思考方式相同，后者可看作是前者的推广.将平面问题推广为空间问题是数学家喜欢的研究问题的方式之一.希望引起小朋友们注意.5. 90依题意知,从第一次同时发车到第二次同时发车的时间是 3,5,9,15 和 10 的最小公倍数.因为 3,5,9,15 和 10 的最小公倍数是 90,所以从第一次同时发车后 90 分钟又同时发第二次车.6. 5依题意得花生总粒数=12 第一群猴子只数=15 第二群猴子只数=2
18、0 第三群猴子只数由此可知,花生总粒数是 12,15,20 的公倍数,其最小公倍数是 60.花生总粒数是 60,120,180,，那么第一群猴子只数是 5，10，15，第二群猴子只数是 4，8，12，第三群猴子只数是 3，6，9，所以，三群猴子的总只数是 12，24，36，.因此,平均分给三群猴子,每只猴子所得花生粒数总是 5 粒.7. 421依题意知,这个数比 2、3、4、5、6、7 的最小公倍数大1,2、3、4、5、6、7 的最小公倍数是 420，所以这个数是 421.8. 999768由题意知,最大的六位数是 3,7,8,11 的公倍数,而 3,7,8,11 的最小公倍数是 1848.因
19、为 999999 1848=541231，由商数和余数可知符合条件的最大六位数是 1848 的 541 倍，或者是 999999 与 231 的差.所以,符合条件的六位数是999999-231=999768.9. 3根据题目要求,有相同质因数的数不能分在一组,26=2 13,91=7 13,143=1113,所以 ,所分组数不会小于 3.下面给出一种分组方案:(1)26，33，35；(2)34，91；(3)63，85，143.因此,至少要分成 3 组.注所求组数不一定等于出现次数最多的质因数的出现次数，如15=3 5，21=3 7，35=5 7， 3，5，7 各出现两次，而这三个数必须分成三组
20、，而不是两组.除了上述分法之外,还有多种分组法,下面再给出三种:(1)26,35；33，85，91；34，63，143.(2)85,143,63；26，33，35；34，91.(3)26,85,63；91，34，33；143，35.10. 77根据“甲乙的最小公倍数 甲乙的最大公因数=甲数 乙数” ，将 210 330分解质因数，再进行组合有210 330=2 3 5 7 2 3 5 11=22 32 52 7 11=（2 3 5） （2 3 5 7 11）因此，它们的最小公倍数是最大公因数的 7 11=77（倍）.11. 根据题意,先求出 8,10,16 的最小公倍数是 80,即从第一次三车
21、同时发出后,每隔 80 分钟又同时发车.从早上 6:00 至 20:00 共 14 小时,求出其中包含多少个 80 分钟.60 14 80=1040 分钟由此可知,20:00 前 40 分钟,即 19:20 为最后一次三车同时发车的时刻.12. 甲乙两数分别除以它们的最大公因数,所得的两个商是互质数.而这两个互质数的乘积,恰好是甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数所得的商12.这一结论的根据是:(我们以“约”代表两数的最大公因数，以“倍”代表两数的最小公倍数)甲数 乙数=倍 约= ，所以：约约 乙 数甲 数 约约 约倍= ， =12约乙 数约甲 数 约倍 约乙 数约甲 数 将 12 变成互
22、质的两个数的乘积：12=4 3，12=1 12先看,说明甲乙两数：一个是它们最大公因数的 4 倍，一个是它们最大公因数的 3 倍.甲乙两数的差除以上述互质的两数(即 4 和 3)之差,所得的商,即甲乙两数的最大公因数.18 (4-3)=18甲乙两数,一个是:18 3=54，另一个是：18 4=72.再看,18 (12-1)= ,不符合题意,舍去.1713. 依题意,设所求最小分数为 ,则NM=a =b =c285NM561201即 =a =b =cN其中 a,b,c 为整数 .因为 是最小值,且 a,b,c 是整数,所以 M 是 5,15,21 的最小公倍数,N 是NM28,56,20 的最大
23、公因数,因此,符合条件的最小分数: = =41052614. (1)根据 2 号15 号同学所述结论,将合数 4,6,，15 分解质因数后，由 1 号同学验证结果，进行分析推理得出问题的结论.4=22,6=2 3,8=23,9=32,10=2 5,12=22 3,14=2 7,15=3 5由此不难断定说得不对的两个同学的编号是 8 与 9 两个连续自然数(可逐次排除,只有 8 与 9 满足要求).(2)1 号同学所写的自然数能被 2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15 这 12 个数整除,也就是它们的公倍数.它们的最小公倍数是22 3 5 7 11 13=60060因为 60060 是一位五位数,而这 12 个数的其他公倍数均不是五位数,所以 1号同学写的五位数是 60060.
