1、问题 1:袋中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？,问题 2:,完全归纳法,不完全归纳法,问题3：某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。,问题情境一,：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,结论一定可靠,结论不一定可靠,考察全体对象,得到一般结论的推理方法,考察部分对象,得到一般结论的推理方法,归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法,归纳法,（2）验证前一问题与后一问题有递推关系；（相当于前牌推倒后牌）,如何解决不完全归纳法存在的问题呢？,如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？,（1）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）,问题情境三,思考:问题2中证明数列
2、的通项公式 这个猜想 与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗?你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗?,由条件知,n=1时猜想成立.,如果n=k时猜想成立,即 ,那么当n=k+1时猜 想也成立,即,事实上,即n=k+1时猜想也成立.,2.3 数学归纳法(1),对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：,（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立; （2）假设当n=k(kN* ,k n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立. 最后由（1）（2）得出结论全体自然数成立,数学归纳法,【命题成立的连续性】,【命题成立的必要性】,这种证明方法叫做
3、数学归纳法,框图表示,命题有成立的情况,命题能连续成立,例1.用数学归纳法证明,例2.用数学归纳法证明：如果an是一个等差数列，则an=a1+(n-1)d对于一切nN*都成立。,证明: (1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +(1-1)d=a1,(2)假设当n=k时结论成立， 即 ak=a1+(k-1)d成立,则当n=k+1时,ak+1 = ak+d = a1+(k-1)d+d = a1+(k+1)-1d,当n=k+1时，结论也成立。,由(1)和(2)知,等式对于任何nN*都成立。, 当n=1时，结论成立,注意 ：,1、用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两步同样重要，两步骤缺一不可.,
4、2、第二步证明，由假设nk时命题成立，到n=k+1时必须用假设条件，否则不是数学归纳法。,3、最后一定要写“由（1）（2）”,证明：2+4+6+8+2n=n2+n+1 假设n=k时，等式成立，即：2+4+6+2k=k2+k+1 那么，当n=k+1时：左=2+4+6+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1 所以n=k+1时等式也成立。 能否得出对任何非零自然数n，命题都成立？,同学们可以自己验证n=1，n=2，n=3等时，命题是否成立,1.用数学归纳法证明等式 1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时， 当n1时，左边所得项是 ； 当n2时，左边所得项是 ；,1+2+3,1+2+3+4+5,A、1,B、1+a,C、1+a+a2,D、1+a+a2+a3,C,课堂练习：,例3：已知数列,请归纳出它的前n和公式，并证明你的结论。,1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论:,（1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确,（2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论也正确,（3）由（1）、（2）得出结论,归纳小结,作业：课本：P96 A组 1，2,
