1、长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练数学归纳法及其应用系 （部）： 信息与计算科学 （宋体 4 号）专 业： 数学与应用数学 （宋体 4 号）学 号： （宋体 4 号）学 生 姓 名： （宋体 4 号）成 绩： 2013 年 月数学归纳法及其应用XXX长沙学院 信息与计算科学系, 湖南 长沙, 410022摘要：数学归纳法是一种递归方法本文主要总结了各种不同的数学归纳法，比如第一数学归纳法、第二数学归纳法、反向数学归纳法等，同时举例说明了不同数学归纳法在代数证明中的应用关键词：第一数学归纳法，第二数学归纳法，反向数学归纳法1 引言数学归纳法是一种递归方法，并且是人们最早掌握的递归方法之一，它
2、沟通着有限集与无限集，使人们能以有限掌握无限，以有限次操作来把握关于无限集的某些性质，即涉及到无限集的问题孙宏安在文献1中介绍了数学归纳法的历史背景及其发展历程. 孟涣晨在文献2中重点介绍了第一数学归纳法，第二数学归纳法及反向数学归纳法的理论依据以及相应的表现形式. 甘继荣在文献3系统地对各种归纳法做了探讨，如不太熟悉的螺旋式数学归纳法与二重数学归纳法等，并给出了相应的应用.本文主要总结了几类不同的数学归纳法以及它们相应的应用.2 数学归纳法及其应用数学归纳法是一种证明与正整数相关命题的特殊方法，所以它主要是用来研究与正整数相关的数学问题，我们最初在中学所接触到的数学归纳法，也就是我们现在所最
3、为熟悉的第一数学归纳法2.1 第一数学归纳法 定理 2.1 设有一个与正整数 有关的命题 如果(1)当 时，命题成立；5 nS1n(2)假设 时命题也成立；(3)若能证明 该命题也成立，则这个命题对一切nk1k正整数 都成立证明 假设该命题不是对于一切正整数都成立令 表示使命题不成立的正整数作出的集合，那么 于是由最小数原理， 中有最小数 因为命题对于 时SSa1n成立，所以 ，从而 是一个正整数又由于 是 中的最小数，所以1,a1aS不属于 也就是说，当 时，命题成立于是由条件(3)，当 时命题1aS1nana也成立，因此 不属于 此时与假设矛盾，因此原命题成立，即该命题对于一切正整a数都成
4、立 注 在应用数学归纳法时，有些命题不一定是从 开始的，此时在叙述上只要1n将条件(1)中的 换成 即可1nc故第一数学归纳法可以概括为以下三个步骤(1)归纳基础：证明 时命题成立；(2)归纳假设：假设 时命题成立；k(3)归纳递推：由归纳假设推出 时命题也成立1nk在用数学归纳法来证明一个与自然数 有关的命题时，证明过程中必须包括定理中的(1)(2)两个步骤(1)是基础，没有这个特例做基础就不能假设当 时命题nk成立同样的，步骤(2)也不可缺少，只有在(1)成立时，又能在这个基础上证明()Sn(2）成立，给这个基础以正确的无限度的自动推演，才能确定命题的一般正确性因此，有了(1) (2)两个
5、步骤，才能使我们的认识由有限到无限来一个飞跃在了解了第一数学归纳法的原理之后，我们来看它在 级的范德蒙德行列式的证n明过程中的应用.例 2.1 级的范德蒙德行列式5n，123211231nnnaad证明对于任意的 ， 级范德蒙德行列式等于 ， ， ， 这 个数的所n(2)1a23na有可能的差 的乘积1ijai证明 对 作第一数学归纳法(1)当 时， ，211a这个显然是正确的(2)假设对于 级的范德蒙德行列式结论成立1n(3)现在来证明 级时的情形对于原式，即 级的范德蒙德行列式中，第 行减去第 行的 倍也就是说由n11a上而下地从每一行减去它上一行的 倍，得到1a2131122121212
6、23310 nnnnnnaaad2221311222213131nnnnnnaaa23221311223()()()nnnnaaaa 而后面的这行列式是一个 级的范德蒙德行列式，根据数学归纳法的假设，它1n等于所有可能差 的乘积，而包括 的差全在前面出现了因此，结(2)ijai1a论对 级范德蒙德行列式也成立于是，根据数学归纳法完成了证明 n证毕用连乘号，这个结果可以简写为，122112 ()nijjinnnaaa即 级的范德蒙德行列式等于 这 个数所有可能差 的n13,na (1)ijain乘积2.2 第二数学归纳法第一数学归纳法是假设在 的时候成立，它可以应用的证明之中的假定较弱，nk仅仅
7、需要 成立来证明 也成立即可，如很多关于等式成立和数列通项公式成()Pk(1)P立证明，而在有些情况中，仅仅假设 成立来证明 也成立是不够的，还需要(1)Pk较强的假定，还需要前面各步都要成立，这种加强了的归纳法就形成了第二数学归纳法定理 2.2 设一个与正整数 有关的命题 如果(1)当 时命题成立；(2)5 n()Pn1n再假设命题对于一切正整数 成立时；(3)若能证明 该命题也成立，则这个kk命题对一切正整数 都成立n证明的方法与第一数学归纳法的证明方法完全类似，同样运用反证法即可以证明得出证明 假设命题 不是对一切正整数都成立令 表示使命题不成立的正整数作PM出的集合，那么 于是由最小数
8、原理， 中含有一个最小数 ，并且 ，所Mk1以对一切 ，命题 成立，又由(2)(3)推出 对 正确，故结论矛盾，原命题成nkPk立第二数学归纳法的也可以概括为以下三个步骤：(1)归纳基础：证明 时命题成立；1n(2)归纳假设：假设当 时，命题成立；k(3)归纳递推：由归纳假设推出 时命题也成立1从第一数学归纳法和第二数学归纳法的定理来看，第二数学归纳法与第一数学归纳法基本形式的区别就在于归纳假设在了解第二数学归纳法的原理后，我们看一个例题，来更加直观生动地观察出它与第一数学归纳法的区别之处.例 2.2 已知任意自然数 均有Nn， （这里 ）2311niia0ia求证 .na证明 (1)当 时，
9、由 ，得 ，2131所以命题对 正确1(2)假设对 命题正确，这时k， ， ， 1a2 ka(3)当 时，n， (2.1)31123113 )(kkikkiki aaa但是， (2.2)2111213 )()(kkikikia 21112)()(kkiki又因为归纳假设对 命题正确，所以kn， ， ， ，1a2 ka所以1()ki由(2.1)和(2.2)式得，211312kkikaa消去 ，得1ka，121)(kk解得（ 舍去） ，1ka1ka所以命题对 也正确1nk由例 2.2， 我们可以看到它只假设 成立，即 ，显然是不够的，需要归nka结到 时，由此可见，第一数学归纳法与第二数学归纳法的
10、实质是等价的，第二数学归纳法包含第一数学归纳法，但是此处第二数学归纳法的作用是不能由第一归纳法所替代的为了进一步了解它们的区别，我们来看看带余除法的证明过程 例 2.3 对于 中任意两个多项式 与 ，其中 ，一定有3 Px()fxg()0x中的多项式 ， 存在，使Px()qr(2.3)()()fqgr成立，其中 或者 rxg0x证明 (2.3)中 和 的存在性可以由上面所说的除法直接得出我们用归纳()r法的语言来进行叙述如果 ，取 即可 ()0fx()qx以下设 .令 ， 的次数分别为 ， .对 的次数 作第二数学fgnm()fxn归纳法.当 时，显然取 ， ，(1)式成立nm()0x()rx
11、f下面来讨论 的情形假设当次数小于 时， ， 的存在已证现在看()qxr次数为 的情形令 ， 分别是 ， 的首项，显然 与 有相同的首项，naxmb()fxg1nmbag()fx因而多项式11()()nmfxfbaxg的次数小于 或为 0对于后者，取 ， ；对于前者，由归纳法假nq0r设，对 ， 有 ， 存在使得1()fxg1()qx1r，11()()fx其中 或者 于是1r10，1()nmfxbagrx也就是说，有 ， 使得1()nmqxba1()rxfq成立由归纳法原理，对任意的 ， ， ， 的存在性就证明了 0()xr下面来看一个具体的例子：令 ， ，得到64()8fx42gx，2311
12、()()64fx由此，我们可以看到如果按照第一数学归纳法 的次数应该是 5，故第一数学归纳1fx法在此是不适用的2.3 反向数学归纳法第一数学归纳法和第二数学归纳法两种情形，都是从命题对较小的自然数成立来推出命题对较大的自然数也成立但是在有些情况下，正向推进证明比较困难，此时推理的方向可以反过来，就如数学证明中的反证法一样，可以使得一些证明会更加简捷，具体对于数学归纳法的证明步骤来说，即从 时成立推出 时成立这nk1nk样的数学归纳法就称之为反向数学归纳法，又叫倒推数学归纳法定理 2.3 设有一个与正整数 有关的命题 如果(1)命题 对无限多个正5 ()P()P整数 成立；(2)假设 时命题成
13、立；(3)若能证明 该命题也成立，则这个命nnk1k题对一切正整数 都成立证明 运用反证法假设该命题不是对于一切正整数 都成立令 表示使命题nA不成立的正整数构成的集合，那么 任取 ，由条件(1)可知必有正整数AaA，使 成立令由这样的正整数 组成的集合为 ，因为集合 ，故必有ba()PbB最小数，设为 ，显然 由条件(3)可知， 成立，由 的取法可知m1(1)Pma，但是这与 的最小性质相矛盾1反向数学归纳法由法国数学家柯西首创，它可以概括为以下三个步骤：(1)归纳基础：证明命题对无限多个正整数 成立；n(2)归纳假设：假设 时命题成立；nk(3)归纳递推：由归纳假设推出 时命题也成立1k在
14、理解反向数学归纳法的原理基础之上，我们来看一个经典的不等式的证明过程中反向归纳法的应用例 2.4 求证 个正实数的算术平均值大于或等于这 个数的几何平均值，即2n nnaa 2121证明 (1)当 时，1212因此命题对 正确2n当 时，4，2243412311234()()()aaa因此命题对 正确n同理可推出命题对 ， ， ，都正确（ 为任意自然数） ，384nss所以命题对无穷多个自然数成立(2)设命题对 正确，令k， ，12kas 121kas则ksskk 121(3)由归纳假设命题对 正确，所以n，121121()k kk kass as 所以，121kks即，12121kkaa 命题对 也正确，由反向归纳法原理知，命题对一切自然数成立 证1nk毕参考文献1 孙宏安数学归纳法的历史J中学数学教学参考，1999，(1)：1252 孟涣晨数学归纳法及其应用J教学园地，2009：1193 甘继荣数学归纳法种种J云梦学刊，1982：16-24
