1、1装订线华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2012-2013 学年第 二 学期 考试科目：数学建模考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分得分评阅人一、(满分 12分) 一人摆渡希望用一条船将一只狼，一只羊，一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，
2、x 4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为 d = (u1, u2, u3, u4)，当i在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。(1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3 分）(2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3 分）(3) 写出该问题的状态转移率。 （3 分）(4) 利用图解法给出渡河方案. （3分）解：(1) S=(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)及他们的 5 个反状（3 分）(2) D = (1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0) （6 分）(3) s k+
3、1 = s k + (-1) k d k （9 分）(4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。 （12分）得分得分21、 二、(满分 12 分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型：（1） 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6 分（2） 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。6 分解：设体重 w（千克）与举重成绩 y （千克）（1）
4、 由于肌肉强度(I)与其横截面积 (S)成比例，所以 yIS设 h 为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则 S h2再体重正比于身高的三次方，则 w h3故举重能力和体重之间关系的模型为： （6 分） （2） 体重中与成年人尺寸无关的重量为 a, 则一个最粗略的模型为( 12 分) 三、(满分 14 分) 某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课。这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课要求如下表所示。那么，毕业时学生最少可以学习这些课程中哪些课程?课程编号 课程名称 学分 所属类别 先修课要求1 微积分 5 数学2 线性代数 4 数学3
5、最优化方法 4 数学；运筹学 微积分；线性代数4 数据结构 3 数学；计算机 计算机编程5 应用统计 4 数学；运筹学 微积分；线性代数6 计算机模拟 3 计算机；运筹学 计算机编程7 计算机编程 2 计算机8 预测理论 2 运筹学 应用统计9 数学实验 3 运筹学；计算机 微积分；线性代数记 i=1，2， 9 表示 9 门课程的编号。设 表示第 i 门课程选修，1ix表示第 i 门课程不选, 建立数学规划模型0ix(1) 写出问题的目标函数(4 分 )(2) 每人至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课,如何表示此约束条件? (5 分 )(3) 某些课程有先修课要求, 如何表示此约束
6、条件? (5 分)解(1) (4 分) 91miniZx得分2yk23()yka3装订线(2) 123452xx(9 分) 3568947(3) 2313,xx4755,69192,xx(14 分) 85四、(满分 10 分) 雨滴的速度 与空气密度 、粘滞系数 和重力加速度 有vg关，其中粘滞系数的量纲 = 1，用量纲分析方法给出速度 的表达式.LMT v解：设 , , , 的关系为 , , , =0.其量纲表达式为vg(fg) =LM0T-1， =L-3MT0， = 1 =LM0T-2,其中 L，M，T 是基本量纲. (3 分)g量纲矩阵为 A= )()()(2103gvTML齐次线性方程
7、组 Ay=0 ，即 02y- - 3431的基本解为 y=(-3 ,-1 ,1 ,1) (7 分)由量纲 PI 定理 得 . ，其中 是无量纲常数. gv33gv(10 分)五、(满分 12 分) 设某种群 时刻的数量为 ,初始数量为 ,t()xt0x得分得分4(1) 写出种群数量的指数增长模型并求解;(2) 设容许的资源环境最大数量为 , 写出种群数量的阻滞增长模型(logistic), 并N求其平衡点.解 (1) (3 分)xr(6 分)0()rxte(2) (9 分)1N平衡点为 和 (12 分)(),xrxN六、 （满分 10 分）设在一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛
8、的植物。爬行动物以哺乳动物为食，哺乳动物又依赖植物生存，假设食肉爬行动物和哺乳动物独自生存时服从 Logistic 变化规律，植物独自生存时其数量增长服从指数增长规律。现有研究发现，当哺乳动物吃食植物后，植物能释放某些化学物质对吃食的哺乳动物产生一定的毒害作用。通过适当的假设，建立这三者间的关系模型.解：设植物、哺乳动物和食肉爬行动物的数量分别为 x1(t), x2(t), x3(t)假设单位数量的植物所释放的化学物质对吃食植物后的哺乳动物的毒害作用率为k， （3 分）（10 分）112213332()()(xrxkxKr七、 （满分 15 分） ）经过一番打探及亲身体验，你准备从三种车型（记
9、为 a,b,c)中选出一种购买，选择的标准主要有价格，耗油量大小，舒适程度和外表美观。经反复思考比较，构造了它们之间的成对比较矩阵已知其最大特征值近似为 4.1983.另外，下列矩阵分别是三种车型关于价格、耗油量、舒适度、及你得分得分 1378/5/8/1A5装订线对它们外表的喜欢程度的成对比较阵：其中矩阵 的元素是分别是 a,b,c 三种车型对于四种标准1234,C的优越性的比较尺度.假定这些成对比较阵（包括 A）都通过了一致性检验，且已知的最大特征值与对应的归一化特征向量（见下表）：1234,矩阵 最大特征值 对应归一化特征向量C1 3.009 ( 0.5396 0.2970 0.1634
10、 )C2 3.119 ( 0.1056 0.7445 0.1499 )C3 3.086 ( 0.6267 0.2797 0.0936 )C4 3.065 ( 0.1884 0.7306 0.0810 )(1) 根据上述矩阵将四项标准在你心目中的比重由重到轻的顺序排出(5 分)；(2) 分别确定哪种车最便宜、最省油、最舒适、最漂亮(5 分)；(3) 确定你对这三种车型的喜欢程度（用百分比表示）(5 分)；解： 记 4 个准则价格，耗油量大小，舒适程度和外表美观分别为C1，C2，C3，C4，则即 的影响稍强12:3C12比即 的影响强53C比即 的影响稍强34:4比所以四项标准在心目中的比重由重到
11、轻的顺序为：价格、耗油量大小、适合程序、外观美观 (5 分) (2) 考虑比较阵C1表明车型a 的价格优越性高于车型 b，即车型a 比车型b12便宜表明车型b的价格优越性高于车型c，即车型b比车型c3便宜所以最便宜的车型为a. (7分)同理可得最省油的车型为b； (8分)最舒适的车型为a ； (9分)最漂亮的车型为b。 (10分)(3) 车型 a 的组合权重（0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）(0.5396，0.1056，0.6267，0.1884)T=0.41135/4C舒 适 度 41/537C外 表1/527耗 油 量/价 格6车型 b 的组合权重（0.5820，0
12、.2786，0.0899，0.0495）(0.2970，0.7445，0.2797，0.7306)T=0.44车型 c 的组合权重（0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）(0.1634，0.1499，0.0936，0.0810)T=0.15(13 分)车型 a，b，c 的喜欢程度分别为 41%，44%，15% （15 分）八、 （满分 15 分）A,B,C 三个厂家都生产某产品， 2009 年它们在某地区的市场占有率 2009 年分别为： A 厂家:40%, B 厂家:40%, C 厂家: 20%。已知在每年各个厂家之间的市场占有率转移的基本情况是：A 厂家的客户有 60%继
13、续用该厂家的产品，20%转为 B 厂家，20%转为 C 厂家；B厂家的客户有 80%继续用该厂家的产品，10%转为 A 厂家，10%转为 C厂家；C 厂家的客户有 50%继续用该厂家的产品，10%转为 A 厂家，40%转为 B 厂家。（1）预测 2010 年哪个厂家的市场占有率最大。 （6 分）（2）经过很长时间以后，哪个厂家的市场占有率最大？（6 分）解：状态转移概率矩阵为：（2 分）0218.4.5P（4 分）(0).,0.2)a（6 分）.602.(1)(.4,)18(.3048.2).4.5P2010 年 B 厂家市场占有率最大 。 （8 分）(2) 设稳态概率 ，123(,)w则 （10 分）,p1231230.6.(,)8(,).4.5w得分7装订线又因为(12 分）123w联立解得 （14 分）(0.,6.2)B 厂家市场占有率最大. （15 分）
