1、排队模型之港口系统本文通过排队论和蒙特卡洛方法解决了生产系统的效率问题，通过对工具到达时间和服务时间的计算机拟合，将基本模型确定在 排队模型，通/1M过对此基本模型的分析和改进，在概率论相关理论的基础之上使用计算机模拟仿真（蒙特卡洛法）对生产系统的整个运行过程进行模拟，得出最后的结论。好 。关键词：问题提出：一个带有船只卸货设备的小港口，任何时间仅能为一艘船只卸货。船只进港是为了卸货，响铃两艘船到达的时间间隔在 15 分钟到 145 分钟变化。一艘船只卸货的时间有所卸货物的类型决定，在 15 分钟到 90 分钟之间变化。那么，每艘船只在港口的平均时间和最长时间是多少？若一艘船只的等待时间是从到
2、达到开始卸货的时间，每艘船只的平均等待时间和最长等待时间是多少？卸货设备空闲时间的百分比是多少？船只排队最长的长度是多少？问题分析：排队论：排队论(Queuing Theory) ，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。本题研究的是生产系统的效率问题，可以将磨损的工具认为顾客，将打磨机当做服务系统。 【1】：较为经典的一种排队论模式，按照前面的 Kendall 记号定义，/1M前面的 M 代表顾客(工具)到达时间服从泊松分布，后面的 M 则表示服务时间服从负指数分布，1 为仅有一个打磨机。蒙特卡洛方法：蒙特卡洛法蒙特卡洛(Mon
3、te Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划” 。该计划的主持人之一、数学家冯诺伊曼用驰名世界的赌城摩纳哥的 Monte Carlo来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。 （2） 排队论研究的基本问题1.排队系统的统计推断:即判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论进行研究。 2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，最优运营（动态优化） 。 【3】为了得到
4、一些合理的答案，利用计算器或可编程计算器来模拟港口的活动。假定相邻两艘船到达的时间间隔和每艘船只卸货的时间区间分布，加入两艘船到达的时间间隔可以是 15 到 145 之间的任何数，且这个区间内的任何整数等可能的出现。再给出模拟这个系统的一般算法之间，考虑有 5 艘传至的假象情况。对每艘船只有以下数据：因为船 1 在时钟于 t=0 分钟计时开始后 20 分钟到达，所以港口卸货设备在开始时空空闲了 20 分钟。船 1 立即开始卸货，卸货用时 55 分，其间，船 2 在时钟开始计时后 t=20+30=50 分中到达。在船 1 与 t=20+55=75 分钟卸货完毕之前，船 2 不能开始卸货，这意味着
5、船 2 在卸货前必须等待 75-50=25 分钟。在船 2 开始卸货之前，船 2 于 t=50+15=65 分钟到达，因为船 2 在 t=75 分钟开始卸货，并且卸货需 45 分钟，所以在船 2 与 t=75+45=120 分钟卸货完毕之前，船 3 不能开始卸货。这样，船 3 必须等待 120 分钟。船 4 在 t=65+120=185 分钟之前没有到达，因此船 3 已经在 t=120+60=180分钟卸货完毕，港口卸货设备空闲 185-180=5 分钟，并且，船 4 到达后立即卸货。最后，在船 4 于 t=185+75=260 分钟卸货完毕之前，船 5 在 t=185+25=210到达，于是
6、船 5 在开始卸货前等待 260-210=50 分钟。 模型建立：船1 船2 船3 船4 船5相邻两艘船到达的时间间隔 20 30 15 120 25卸货时间 55 45 60 75 80对于问题中存在的服务系统，建立排队论模型，在仅能为一艘船通过是一个标准的 模型：/1MG所谓 模型，就是输入过程为泊松流时，服务时间为任意的条件之下的，服务机器只有一个得时候。对于 模型，服务时间 T 的分布式一/1MG般的， （但是要求期望值 和 方差都存在） ，其他条件和标准的()ET()Var型相同。为了达到稳态 还是必要的，其中有 。/1()E图9-2单服务台单队系统 船只到达进入队列 服务台接受服务
7、船只离去单服务员的排队模型设：（1） 船只到来间隔时间服从参数为 0.1 的指数分布（2） 对船只的服务时间服从，上的均匀分布（3） 排队按先到先服务规则，队长无限制系统的假设：（1） 船只源是无穷的；（2） 排队的长度没有限制；（3） 到达系统的船只按先后顺序依次进入服务， 即“先到先服务” 。符号说明 w：总等待时间；c i：第 i 个顾客的到达时刻；b i：第 i 个顾客开始服务时刻；e i：第 i 个顾客服务结束时刻；x i：第 i-1 个顾客与第 i 个顾客之间到达的间隔时间；y i：对第 i 个顾客的服务时间ci=ci-1+ xiei=bi+yibi=max(ci,ei-1)模型检
8、验：模拟框图初始化：令i=1，e i-1=0，w=0产生间隔时间随机数x i参数为0.1的指数分布ci=xi , bi=xi 产生服务时间随机数y i4,15的均匀分布ei=bi+yi累计等待时间：w=w+b i-ci准备下一次服务：i=i+1产生间隔时间随机数x i参数为0.1的指数分布ci=ci-1+ xi 确定开始服务时间：b i=max(ci,ei-1)bi480Y Ni=i-1,t=w/i 输出结果：完成服务个数：m=i 平均等待时间：t 停止表1 100艘船港口和系统的模拟结果上图为一艘船呆在港口的平均时间上图为一艘船呆在港口的最长时间一艘船呆在港口的平均时间97 79 78 81
9、 85 99一艘船呆在港口的最长时间174 121 111 141 140 159一艘船的平均等待时间23 8 5 9 12 24一艘船的最长等待时间99 46 33 64 68 93卸货设备空闲时间的百分比0.067 0.079 0.093 0.07 0.069 0.028一艘船的平均等待时间上图为一艘船的最长等待时间上图为一艘船的最长等待时间以上就是对港口问题的具体分析，其实港口问题还可以从船只的排队角度出发，我们还可以对多个港口通行做相应的模拟试验，让船主尽量减少等待时间且港口卸货设备的利用率达到最高，从而是港口的主人获得更大的利润。从排队角度来解决问题，可以使问题的广度增加，选秘书问题
10、就是一个很典型的例子，可以从排队角度解决，如果用我在文章中应用的方法来解决也是可以的，这仅仅是一个港口的小问题，甚至可以说是一个非常简单的问题，但是已经让我感觉到了数学的美，在老师的引导下慢慢接近一种抽象的美，在写论文的这几天中，数据的整理和分析是最值得享受的时刻，在 Excel 里输入自己的数据，是一种忐忑的感觉，因为在那么多的数据面前，我真的不知道将会发生什么，拟合的过程就更是有意思了，一次一次的尝试，一次一次的比较，在这个过程中，如果有一点点的进步都会让我兴奋，数学建模在生活中处处存在，如果真的能够掌握这个本领，生活一定会变得简单而精彩！ 参考文献：（1） 运筹学教材编写组编. 运筹学.
11、 北京：清华大学出版社，2008（2）Jerry Banks，John S.Carson，Barry L Nelson 等著. 离散事件系统仿真.北京：机械工业出版社，2007(3) 附录一编程如下：clearcs=100;for j=1:csw(j)=0;i=1;x(i)=exprnd(10);c(i)=x(i);b(i)=x(i);while b(i)=480y(i)=unifrnd(4,15); e(i)=b(i)+y(i); w(j)=w(j)+b(i)-c(i); i=i+1; x(i)=exprnd(10); c(i)=c(i-1)+x(i); b(i)=max(c(i),e(i-
12、1); endi=i-1;t(j)=w(j)/i;m(j)=i;endpt=0;pm=0;for j=1:cspt=pt+t(j);pm=pm+m(j);endpt=pt/cspm=pm/cs附录二排队论中一个感兴趣的问题时，当输入过程是 Possion 流时，顾客相继到达的间隔时间 T 服从什么规律。定理 设 是具有参数 的泊松过程，即,0Nt是对应的时间间隔序列，则随机变量,01,2,1!nt nPNtetT是独立同分布的，且服从均值为 的负指数分布，即0,12,nTt 1。-te ft证明 因为 是 Possion 过程中第一个顾客到达的时间，所以时间 等价于1T 1Tt内没有顾客到达。故 ，进而可得0,t 01 !ttPTtNte11tPTte所以 是服从均值为 的负指数分布。11、利用 Possion 过程的独立、平稳增量性质，得21 12, 0 tPTtsPtsTsPoinNt siePTt在 内 没 有 顾 客 到 达在 内 没 有 顾 客 到 达 过 程 的 独 立 性 过 程 的 平 稳 增 量 性 质即 ，故 也是服从均值为 的负指数分布。2211tPTtt2 12、对于任意的 和 有n1,0ns121- 1-1, 00tn n nTtsTsPNtsNsPNte 即 ，所以对任一 ，它都服从均值为 的负指数分布。证毕。tnePtnT1
