1、强化数学思想方法应用 提高数学解题能力数学思想方法是数学宝库中的重要组成部分，是数学学科赖以建立和发展的重要因素九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲指出：“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。”这里把数学思想方法列为基础知识的重要组成部分体现了义务教育的性质任务，有利于揭示知识的精神实质，有利于提高学生的数学素养。因此，在整个初中数学教学与考查工作中，必然要把数学思想方法和知识，技能融为一体，放到突出的位置上。所以，在复习阶段，我们要通过基础知识的学习，通过例题、习题的训练，领会其中数学思想方法的精神实质，并在应
2、用过程中形成习惯和观念，系统地掌握它们，以便今后在解题中自觉地加以运用。以下几种基本的数学思想方法，它们是初中数学中应用较广且对将来数学学习影响较大的思想方法。1、 方程思想所谓方程思想是指把所研究数学问题中已知量与未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，从而使问题得到解决的思维方法。使用方程思想分析、处理问题，思路清晰、灵活简便，在探索解题思路时，经常使用，尤其解决和等量有关的数学问题，非常有效。在考试卷中考查方程思想的试题，随处可见，一般主要有两类：一是列方程（组）解应用问题；二是列方程（组）解其它代数题或几何题。例 1：已知 x1，x 2 是方程 x22x2=0 的两个根，不
3、解这个方程，求 的值。解令x 1+x2=2，x 1x2=2A+B=2=2AB=A 是方程 x2 64x59=0 的根，解此方程得 A=32此题的解法新颖、漂亮，充分体现了利用方程思想求解的优越性。例 2：已知：如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AF 上的点，又AB=12，EF=10 。AEF 的面积等于五边形 EBCDF 面积的 1/5。求 AE、AF 的长。解设 AE=x，AF=y。A=90，AE 2+AF2=EF2即 x2+y2=100 (1)又AEF 的面积 =1/5 五边形 EBCDF 的面积，AEF 的面积 =1/6ABCD 的面积。 （2 ）(1)+(2)，得(x
4、+y) 2=196，x+y=14 或14(1)(2)，得(xy) 2=4，xy=2 或2解得 x=8，y=6 或 x=6，y=8即 AE=8，AF=6 或 AE=6，AF=8此题是由勾股定理及面积关系，建立起方程组，由于题目中未说明 AE、AF 哪条大，因此应有两解。2、函数思想函数是中学数学的重要内容之一，函数的思想和方法已渗透到数学的各个方面，解题时，若能注意用函数的观点考虑问题，借助函数的性质来处理，常可使问题化难为易。例 3：已知方程 x2+bx+c=0 的两根均大于 1，则 b+c+1 的值( )A.等于 0B.大于 0C.小于 0D.不能确定分析： b+c+1 恰为代数式 x2+b
5、x+c 当 x=1 时的值，若令y=x2+bx+c，则 b+c+1 为当 x=1 时的函数值，由点(1,b+c+1) 在图象上的位置，使可判别b+c+1 的大小。解令：y=x 2+bx+c，则当 x=1 时，y=b+c+1方程 x2+bx+c=0 的两根均大于 1函数 y=x2+bx+c 与 x 轴的交点均在点 (1，0)的右侧。又抛物线的开口向上，这样可得抛物线的大致图象（如上图所示）。由图象观察，知b+c+10。故选（B）3、数形结合思想数和形是数学的两大柱石，一方面可使图形性质通过数量计算准确地表示出来，这就是以数助形，另一方面可使抽象的数量关系，通过图形形象直观地表现出来，这就是以形助
6、数。例 4：如图，线段 AB 在 x 轴上，以 AB 为直径的圆交 y 轴于点 C，已知 AC= ，BC= 。(1)求 A、B、C 三点的坐标；(2)设二次函数y=ax2+bx+c 的图象过点 A、B、C，求这个二次函数的解析式；(3) 求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴，并画出略图；(4) 求当 x 为何值时，y0;y=0;y0；当 x=4 或 1 时，y=0；当 x1 时，y0例 5：若方程 4x22x+k=0 的一个根大于3 且小于 1，另一根大于 1 且小于 3，求 k 的取值范围。解令 f(x)=4x22x+k，依题意 f(x)的图象如右图所示。30k2 为所求的取值范围。4、分类
7、讨论思想分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学对象区分为不同种类的一种数学思想。分类原则是同一标准下，不重复也不遗漏。在初中数学中，分类的思想到处可见。既有数的分类，也有式和形的分类，既有公式和概念上的分类，也有解题方法上的分类。例 6：解关于 x 的方程：a2x+a=x+1(a 为实数)解原方程可化为(a 21)x=1 a即(a1)(a+1)x=(a1)当 a1=0，即 a=1 时，方程的解为一切实数；当 a+1=0，即 a=1 时，方程无解；当 a21 ，即 a1 时，方程有唯一解x=例：相交两圆的半径分别为和,公共弦长为 8，这两个圆的圆心距等于 ( )解：如下图，设O 1
8、与 O2 的公共弦为 AB，O 1O2 交 AB 于 C，则 AB=8，从而 AC=4。O 1C=若 O1、 O2 在 AB 的异侧，有 O1O2=4 ；若 O1、 O2 在 AB 的同侧，有 O1O2=4 ；5、整体思想整体思想是一个重要的数学观念，对于某些数学问题，如果拘泥常规，从局部着手，则困惑棘手，步伐艰难，如果从整体着眼，则大刀阔斧，长驱直入。例 8：计算(a 1+a2+an1 )(a2+a2a n1 +an)(a 2+a3a n1 +an)分析：如果按多项式乘法法则逐一展开，该有多么艰难，若用整体思想，求大同存小异，整体设元，则十分简便。解设 a2+a3+an1 =x，则原式=（a
9、 1+x）(x+a n)x(a 1+x+an)=x2+a1x+anx+a1ana 1xx 2a nx=a1an例 9：甲乙丙三种商品，若买甲 4 件，乙 5 件，丙 2 件，共用 69 元。若买甲 5 件、乙 6件、丙 1 件，共用 84 元。问买甲 2 件、乙 3 件、丙 4 件，共用多少元。解设：买甲、乙、丙各 1 件分别用 x、y、z 元，则依题意，得：如果按常规方法分别求出 x、y、z 要用到求不定方程的方法，过程较繁，若从整体着想，题目是求由 x、y、z 拼成的整体(2x+3y+4z)，进而转化成解关于“整体” 的二元一次方程组，而不必先求出 x、y、z 的每一个值。将原方程组变形为
10、解关于（2x+3y+4z）与（x+yz）的方程组，得 2x+3y+4z=396、转化思想转化思想是一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想方法。通常有“未知”向“已知”转化，复杂简单转化，一般与特殊的转化和由此及彼的不同数学问题之间的转化。体现上述转化思想的有待定系数法、消元法、降次法、换元法、配方法、几何问题的代数法或三角法等等。例 10：已知 求 32a+35b+27c 的值。解：设则(1) 20+(2)15+(3)12 得32a+35b+27c=60k(ab+bc+c a)=0此题利用参数可以将已知与未知沟通起来，从而使问题获解。例 11：如图，在四边形 ABCD 中，AB
11、=2，BC= B=60，C=75 ，求 AC 的长及四边形 ABCD的面积。解作 AEBC 于 E,由B=60,AB=2,得AE=2sin60= ，BE=2cos60=1而 BC= +1， 那么 CE=AE=CE，易得 AC= ，AE= ，ACE=45 ，而DCB=75，从而知DCA=30作 DFAC 于 F，易得DF=CDsin30 sin30=本题将斜三角形通过作辅助线转化为直角三角形，再解直角三角形即可求得结论。中学数学教材中所蕴含的数学思想还很多，学生数学思想的形成是一个潜移默化的过程，是在多次理解和应用的基础上形成的。这就要求我们认真钻研教材，渗透数学思想的教学，并创设情景，加强应用数学思想的解题训练。此外，数学思想之间也并不是彼此孤立，而是互相渗透、互相促进的，一个问题的解决，常常不只是靠一种数学思想的作用，有时必须借助于几种数学思想的共同指导。上面的例题也已经说明了这一点。因此，我们在教学中还必须有意识地抛出一些较为结合的问题，让学生灵活地应用其所学的数学思想来解决，以培养其分析问题和解决问题的能力。
