1、鲁教版数学九年级上册,第四章 圆 第七节 正多边形和圆（第一课时）,观察这些图形，这些多边形都是什么样的多边形？它们有哪些特点？,正三角形,正方形,三条边相等，三个角相等（60）。,四条边相等，四个角相等（90）。,一 .正多边形定义,各边相等,各角也相等的多边形叫做 正多边形.,如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。,议一议,如图：A,B,C,D,E都是O上得点，且AOBBOCCODDOE. (1)弦AB,BC,CD,DE的长相等吗？为什么？ (2)ABC,BCD,CDE是否相等？为什么？ (3)由(1)和(2),你能设计出画正n边形的方法吗？与同伴进行交流。,o,A,B,
2、C,D,E,如图，画一个0，用量角器画一个,圆心角A1OA2，再以,点A2为圆心、以弦A2A1为半径作弧，在O上截得点A3，然后以点 A3为圆心，以弦A2A1为半径作弧，在O上截得点A4这样继续 下去，就可以把O分成n份，顺次连接这n个分点，便得到了0 的一个内接正n边形.,O,A4,A3,A2,A1,做一做,你能用上面的方法画一个正五边形吗？试一试。,o,72,A,B,C,D,E,例1 用直尺和圆规作一个正六边形。,o,作法：(1)任意画一个圆，记圆心为O,o,B,C,D,E,F,A,(2)在O上任取一点A,自点A起在O上依次截取长度等于半径OA的弦，得到点B,C,D,E,F.,(3)顺次连
3、接点A,B,C,D,E,F,A,如图所示。,六边形ABCDEF就是所求做的正六边形。,怎样用直尺和圆规作一个正十二边形？作一个正三角形？与同伴交流。,正十二边形：用直尺和圆规作出一个正六边形ABCDEF.作各边的垂直平分线，与圆分别又有六个交点G,H,I,J,K,L。顺次连接点A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,A.十二边形ABCDEFGHIJKL就是所要求作的正六边形。,正三角形：用直尺和圆规作出一个正六边形ABCDEF.顺次连接点A,C,E,A.三角形ACE就是所要求作的正三角形。,议一议,1.小颖用下面的方法作一个正六边形。任意画一个圆，记圆心为O;任意作O的一条直径AD，如
4、图；分别以A,D为圆心，以O的半径为半径作弧，与O相交于点B,F和点C,E顺次连接点A,B,C,D,E,F,A.六边形ABCDEF就是所求作的正六边形。小颖的作法对吗？为什么？,随堂练习,理由是：分别以A,D为圆心，以O的半径作圆，所得到的圆心角AOB, AOF, DOC, DOE都是60，由此可推出EOF，BOC也都是60，因此A,B,C,D,E,F是O的六等分点，顺次连接它们，所得到的六边形就是正六边形。,小颖的做法是正确的。,小测验,1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的时（ ）A 正三角形 B 正五边形 C 正六边形 D 正七边形 2.圆内接正六边形的一边所对的圆周角是（ )
5、A 30 B 60 C 150 D30或150 3.如果一个正多边形的一个外角等于36，那么这个正多边形的内角和等于（ ）A 1620 B 1080 C 1260 D 1440 4.如图，表示广场中心的圆形花卉的平面图，准备在花坛内种植6种不同颜色的花卉，为了美观，要使同色花卉集中在一起，并且各色花卉的种植面积相等。请你帮助设计一种种植方案，画在图上。,C,D,D,作业,1.用直尺和圆规作一个正八边形。 2.用等分圆周的方法画一个正五角星形。,2.作法：用量角器将圆周 五等分，从一个分点开 始，每隔一个分点顺次 连接，就得到正五边形。,0,A,B,C,D,E,1.作法：用直尺作O的一条直径AB
6、；用直尺和圆规作AB的垂直平分线，与O交与C,D两点；顺次连接A,C,B,D,可得到O的内接正方形用直尺和圆规作AC,BC,BD,AD的垂直平分线，与O有四个交点顺次连接这八个分点所得到的八边形就是正八边形。,做一做,观察下列正多边形：,它们都是轴对称图形吗？如果是，分别画出每个正多边形所有的对称轴。,(2)它们分别有多少条对称轴？数一数，你发现了什么规律？正n边形有多少条对称轴？,（3）正多边形的对称轴有什么特点？,3条,4条,5条,6条,结论,正n边形有n条对称轴,（3）当边数为偶数时，各对角顶点确定的直线和各对边中点确定的直线都是它的对称轴,当边数为奇数是时，每个顶点到对边所作的垂线都是
7、它的对称轴,.,O,中心角,半径R,边心距r,正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.,正多边形的半径:外接圆的半径,正多边形的中心角:正多边形的每一条边所对的圆心角.,正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.或内切圆的半径,正多边形有关的概念,A,B,议一议,（1）正三角形、正方形、正五边形、正六边形的中心角分别是多少度？正n边形的中心角呢？,120,90,72,60,（2）将正n边形以它的中心为旋转中心，以它的中心角为旋转角进行旋转，你能得到什么结论？,将正n边形绕其中心旋转 ，仍与自身重合。,正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形， 每个等腰三角形又被相应的边心距
8、分成两个全等的直角三角形。,正多边形的计算问题常常可以归纳为解直角三角形问题。,例2 已知正六边形ABCDEF的半径是R，求这个正六边形的边长a 6，周长p6和面积s6,正六边形中心角是60,边长与两条半径能围成等边三角形,O,A,B,C,D,E,F,G,只要求出边心距即可,例2 已知正六边形ABCDEF的半径是R，求这个正六边形的边长a 6，周长p6 p6和面积s6,O,A,B,C,D,E,F,G,解：如图，连接OA,OB作OGAB，垂足为点G可得到RtOGB,其中OG为边心距,记作r6,GOB= AOB= =30 a 6=2Rsin 30= R， p6=6 a6=6 Rr6= Rcos 3
9、0= Rs6= r6 a 66= r6 a6 = . R.6 R= R2,R,r6,随堂练习,1.已知正三角形的外接圆半径为R，求这个正三角形的边长和面积。,A,B,C,O,R,D,解：连接CO,AO,过O点作ODAC，交AC于D,COD= AOC= =60AC=2Rsin 60= RS ABC = ADOD3= R R 3= R2,2.如图，钟表表盘上的圆周被均匀划分为12等份，如果表盘的半径为10，那么表盘上每相邻的两个刻度之间的距离是多少？,O,A,B,C,解：连接OA,OB,过O点作OCAB交AB与C,在RtAOB中AOC= AOB= =15,AB=2AC=2Rsin 15=210si
10、n 155.18（）,1.正n边形的中心角的度数等于多少？半径为R的圆内 接正n边形的边长和边心距分别是多少？,习题,中心角的度数：,边长：2Rsin,边心距：Rcos,2.设正三角形的边长为a，它的外接圆半径为R，内切圆半径为r，高为h，求r:R:h,a,R,h,r,h= atan60= a,r= =,R= = a,r:R:h= : : =1:2:3,a,a,检测,1.正八边形至少绕中心旋转，才能与原正八边形重合。2.已知圆内接正方形的边长为 ，则，该圆的内接正六边形的边长3.一个正多边形的外角和是它的内角和的 ，那么这个正多边形的中心角是度4.圆的内接正n边形与外切正n边形的边长比为（ ）A sin B cos C tan D,45,1,36,B,如图：正六边形螺帽的边长a=12， 当扳手的开口b为多少时，恰好能卡住螺帽？,作业,如图：正六边形ABCDEF的顶点都在 以坐标原点为圆心，以2为半径的圆 上，点B在y轴的正半轴上，求正六 边形ABCDEF各顶点的坐标。,
