1、排列组合公式排列定义 从 n 个不同的元素中,取 r 个不重复的元素,按次序排列,称为从 n 个中取 r 个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用 P(n,r)表示。当 r=n 时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。组合定义 从 n 个不同元素中取 r 个不重复的元素组成一个子集,而不考虑其元素的顺序,称为从 n 个中取 r 个的无重组合。组合的全体组成的集合用 C(n,r)表示,组合的个数用 C(n,r)表示,对应于可重组合有记号 C(n,r),C(n,r)。一、排列组合部分是中学数学中的难点之一,原因在于 (1)从千
2、差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要较强的抽象思维能力; (2)限制条件有时比较隐晦,需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解; (3)计算手段简单,与旧知识联系少,但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大; (4)计算方案是否正确,往往不可用直观方法来检验,要求我们搞清概念、原理,并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1加法原理 2加法原理的集合形式 3分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重);完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏) (2)
3、乘法原理和分步计数法 1乘法原理 2合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这 n 步才能完成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同 例 1:用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 组成数字不重复的六位数 集合 A 为数字不重复的九位数的集合,S(A)=9! 集合 B 为数字不重复的六位数的集合。 把集合 A 分为子集的集合,规则为前 6 位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数,等于剩余的 3 个数的全排列,即 3! 这时集合 B 的元素与 A 的子集存在一一对应关系,则 S(A)=S(
4、B)*3! S(B)=9!/3! 这就是我们用以前的方法求出的 P(9,6) 例 2:从编号为 1-9 的队员中选 6 人组成一个队,问有多少种选法? 设不同选法构成的集合为 C,集合 B 为数字不重复的六位数的集合。把集合 B 分为子集的集合,规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集,则每个子集都是某 6 个数的全排列,即每个子集有 6!个元素。这时集合 C 的元素与 B 的子集存在一一对应关系,则 S(B)=S(C)*6! S(C)=9!/3!/6! 这就是我们用以前的方法求出的 C(9,6) 以上都是简单的例子,似乎不用弄得这么复杂。但是集合的观念才是排列组合公式的来源,也是对公式更深刻
5、的认识。大家可能没有意识到,在我们平时数物品的数 量时,说 1,2,3,4,5,一共有 5 个,这时我们就是在把物品的集合与集合(1,2,3,4,5)建立一一对应的关系,正是因为物品数量与集合(1, 2,3,4,5)的元素个数相等,所以我们才说物品共有 5 个。我写这篇文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰,从而能用它解决更复杂的问题。 例 3:9 个人坐成一圈,问不同坐法有多少种? 9 个人排成一排,不同排法有 9!种,对应集合为前面的集合 A 9 个人坐成一圈的不同之处在于,没有起点和终点之分。设集合 D 为坐成一圈的坐法的集合。以任何人为起点,把圈展开成直线,在集合 A 中都对应不同元素,
6、但在集合 D 中相当于同一种坐法,所以集合 D 中每个元素对应集合 A 中 9 个元素,所以 S(D)=9!/9 我在另一篇帖子中说的方法是先固定一个人,再排其他人,结果为 8!。这个方法实际上是找到了一种集合 A 与集合 D 之间的对应关系。用集合的思路解决问题的关键就是寻找集合之间的对应关系,使一个集合的子集与另一个集合的元素形成一一对应的关系。 例 4:用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 组成数字不重复的九位数,但要求 1 排在2 前面,求符合要求的九位数的个数。 集合 A 为 9 个数的全排列,把集合 A 分为两个集合 B、C,集合 B 中 1 排在 2 前面,集合 C 中 1 排
7、在 2 后面。则 S(B)+S(C)=S(A) 在集合 B、C 之间建立以下对应关系:集合 B 中任一元素 1 和 2 位置对调形成的数字,对应集合 C 中相同数字。则这个对应关系为一一对应。因此 S(B)=S(C)=9!/2 以同样的思路可解出下题: 从 1、2、3,9 这九个数中选出 3 个不同的数作为函数 y=ax*x+bx+c 的系数,且要求 abc,问这样的函数共有多少个? 例 5:M 个球装入 N 个盒子的不同装法,盒子按顺序排列。 这题我们已经讨论过了,我再用更形象的方法说说。 假设我们把 M 个球用细线连成一排,再用 N-1 把刀去砍断细线,就可以把 M 个球按顺序分为 N 组
8、。则 M 个球装入 N 个盒子的每一种装法都对应一种砍线的方法。而 砍线的方法等于 M 个球与 N-1 把刀的排列方式(如两把刀排在一起,就表示相应的盒子里球数为 0)。所以方法总数为 C(M+N-1,N-1) 例 6:7 人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变且不相邻, 则共有_排法. 解:甲、乙、丙三人把其他四人分为四部分,设四部分人数分别为X1,X2,X3,X4,其中 X1,X4=0,X2,X30 先把其余 4 人看作一样,则不同排法为方程 X1+X2+X3+X4=4 的解的个数,令 X2=Y2+1,X3=Y3+1 化为求 X1+Y2+Y3+X4=2 的非负整数解的个数,这与把 2 个球装入 4 个盒子的方法一一对应,个数为 C(5,3)=10 由于其余四人是不同的人,所以以上每种排法都对应 4 个人的全排列 4!,所以不同排法共有 C(5,3)*4!=240 种。