1、第 8 讲 盈亏问题盈亏问题又叫盈不足问题，是指把固定数量的物品平均分给固定的对象，因为两种不同的分配标准，导致两种不同的分配结果：一种标准分配后有剩余（盈）；另一种标准分配后不够分（亏或不足）。此类问题，要求通过两种分配结果的比较，求出物品总数量和固定对象的个数。标准的盈亏问题就是两次分配的结果一盈一亏，所以就叫盈亏问题。基本的数量关系是：（盈+亏）两种分配标准的数量之差固定对象数量。广义的盈亏问题一般还包括以下四种情况：一、两次分配都有余（两盈）；二、两次分配都不够分（两亏）；三、一次有余，一次刚好够分（盈适足）；四、一次分配不够分，一次刚好够分（亏适足）。解决盈亏问题常用比较的解题策略：
2、通过两次分配盈亏总额与分配数量的比较，先求出固定对象的个数，再求出分配物品的总数量。此类问题基本数量关系有： 盈适足问题：盈余部分两种分配标准的数量之差固定对象数量。 亏适足问题：亏欠部分两种分配标准的数量之差固定对象数量。 两盈问题：（盈多盈少）两种分配标准的数量之差固定对象数量。 两亏问题：（亏多亏少）两种分配标准的数量之差固定对象数量。 盈亏问题：（盈+亏）两种分配标准的数量之差固定对象数量。比较常规的盈亏问题，一般可以直接套用上面的数量关系，解决问题。较复杂的盈亏问题，一般需要先对题中的条件进行适当的转化，将相关问题先转化成典型的盈亏问题，再求解。【例 1】“雏鹰小队”的同学们参加植树
3、活动，如果每人栽 5 棵树，还剩 12 棵树；如果每人栽 7 棵，就缺 4 棵。问这个小队有多少人？一共要栽多少棵树？【解析】： 可以画出线段图帮助理解题意，如下图：观察上图，比较每人栽 7 棵与每人栽 5 棵的两种情况，雏鹰小队总人数是不变的。雏鹰小队栽树总棵数多出：124=16 （棵）；而每个人多栽：75=2（棵）；所以小队人数为：（124 ）（7 5）=8（人）。由小队人数和任意一种栽法，可以求出栽树总棵数：5812=52（棵）或 784=52（棵）。【例 2】学生春游，租了几条船让学生们划，每条船坐 3 人，则空 2 人的位置；如果每条船坐 5 人，则空出 16 人的位置，问有学生多少
4、人？共租了多少条船？【解析】：这是两亏问题，每条船坐 3 人，空 2 个位置即少 2 人，每条船坐 5 人空 16个位置少 16 人，每条船坐 5 人比每条船坐 3 人多空出了 14 个位置，即每条船坐 5 人比每条船做 3 人，可以多坐 14 人。比较两种坐船方案，租船总条数是不变的。可乘坐总人数相差：162=14 （人）；每条船乘坐人数相差：53=2 （人）；所以共租船：142=7（条）。根据船的条数和任意一种租船方案，可以求出学生人数，如：73 2=19 （人）。注：如果解题时，该题需要把题中的一种分配方案进行转化才能化为盈亏问题求解，通常在求题中的第二个未知数时，按另一种分配方案求解比
5、较方便。【例 3】：解放军某部调动一批战士分乘一批车辆赶往汛地抗洪。原计划每辆汽车乘32 人，则多出 5 人，他们被安排乘坐在其中的某辆车上，行进中由于紧急任务调走一辆车，这时只好重新安排每辆车乘 35 人，这样多出 7 人，他们被安排在其中的某辆车上，问原来共有多少辆车？共派出多少名战士？【解析】：在重新安排时，每辆车 35 人，少了一辆车，多出 7 人。如果补上这辆车，可以坐上这 7 个人，还可以再坐： 357=28 （人）。所以这个条件可以转化为：仍然是原来的车辆数，每辆车 35 人，少了 28 人。转化条件后，比较两种安排乘坐情况，车辆数是不变的。乘坐总人数相差：528=33（人）；每
6、辆车乘坐人数相差：3532=3 （人）；所以原来车辆数为：333=11 （辆）。再根据原计划乘坐情况，可以求出战士人数为：11325=357（人）。【例 4】：少先队员栽植一批树苗，如果每个队员栽 6 棵，还剩 12 棵；如果其中 9 个小队员每人栽 4 棵，而其余队员栽 8 棵，结果缺 2 棵。问这批树苗有多少棵？参加植树的少先队员有多少人？【解析】：第二种方案中有 9 个小队员每人栽 4 棵树苗，假定这 9 个小队员每人也栽8 棵，则需要再添树苗：9（8 4 ）=36（棵）。因此题中条件“如果其中 9 个小队员每人栽 4 棵，而其余队员栽 8 棵，结果缺 2 棵。”可以转化为：如果所有队员
7、每人栽 8 棵，就缺少树苗： 362=38（棵）。从而把原题转化为盈亏问题求解：少先队员人数为：（3812 ）（86）=25 （人）；这批树苗总棵树为：256 12=162（棵）。【例 5】：猴子分桃子，如果有 2 只猴子各分 5 个，其余的各分 3 个，则还剩余 9 个桃子。如果 4 只猴子各分 3 个，其余的各分 6 个，则剩余 10 个桃子。问猴子有多少只？桃子有多少个？【解析】：第一种分配方案中，有 2 只猴子各分 5 个，假定这 2 只猴子和其余猴子一样也是分 3 个，在剩余的桃子就多出： 2（53 ）=4 （个）。因此题中条件“如果有 2 只猴子各分 5 个，其余的各分 3 个，则
8、还剩余 9 个桃子。”可以转化为：每只小猴分 3 个，则剩余： 94=13 （个）。第二种分配方案中，有 4 只猴子各分 3 个，假定这 4 只猴子和其余猴子一样也是分 6个，则需要再分掉：4（63 ）=12（个）。因此题中条件“如果 4 只猴子各分 3 个，其余的各分 6 个，则剩余 10 个桃子。”可以转化为：每只小猴分 6 个，则缺少： 1210=2 （个）。从而把原题转化为盈亏问题求解：共有猴子：（132 ）（63）=5（个）；共有桃子：25（5 2）39=28（个）。【例 6】：陈老师给小朋友分红花和黄花，黄花的朵数是红花的一半。黄花每人分 3 朵，则多 4 朵；红花每人分 7 朵，
9、则少 5 朵。问有多少个小朋友？共有多少朵花？【解析】： 因为黄花的朵数是红花的一半，即红花的朵数是黄花的 2 倍。因此题中条件“黄花每人分 3 朵，则多 4 朵；”可以转化为：红花每人分 6 朵，则多 8 朵。把题目转化成盈亏问题求解：小朋友的个数为：（85）（76 ）=13（个）；共有红花：137 5=86（朵）；共有花：86862=129（朵）。习 题 81.小朋友分苹果，每人分 18 个，还多出 2 个；每人分 20 个，就有一位小朋友没分到苹果，问共有多少个小朋友？共有多少个苹果？2.全班同学分组劳动，每组 8 人。劳动中觉得每组人数太少，因而重新编组，每组改为12 人，这样减少了
10、2 组，问参加劳动的学生有多少人？3.在一次大扫除中，老师分配若干人擦玻璃。如果其中 2 人各擦 4 块，其余每人擦 5 块，则余 22 块；如果每人擦 7 块，正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃的块数。4.有若干个苹果和梨，如果按 1 个苹果配 3 个梨分一堆，那么苹果分完时还剩 2 个梨，如果按半个苹果配 2 个梨分一堆，那么梨分完时还剩半个苹果，那么梨有多少个？5.学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的 2 倍，分给同学们，每组分乒乓球拍 5 副，余乒乓球拍 15 副，每组分羽毛球拍 14 副，则差 30 副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？6.用一根长绳测量井的深度
11、，如果绳子两折时，多 5 米；如果绳子 3 折时，差 4 米.求绳子长度和井深.习题 8 解答1.小朋友分苹果，每人分 18 个，还多出 2 个；每人分 20 个，就有一位小朋友没分到苹果，问共有多少个小朋友？共有多少个苹果？【解析】：转化题中条件“每人分 20 只，就有一位小朋友没分到苹果 ”，即每人分 20个苹果，就少 20 个苹果。可以画出与上题相似的线段图帮助理解题意，比较每人分 20 个苹果和每人分 18 个苹果两种情况，小朋友总人数是不变的。分掉的苹果总数相差：220=22（个）；每人多分：2018=2（个）；所以共有小朋友：222=11（个）。由小朋友总人数和任意一种分法，可以求
12、出苹果总数，如：（111）20=200 （个）。2.全班同学分组劳动，每组 8 人。劳动中觉得每组人数太少，因而重新编组，每组改为12 人，这样减少了 2 组，问参加劳动的学生有多少人？【解析】：转化题中条件“每组 12 人，少 2 组”，即按原定组数分组，每组 12 人，少了 24 人。转化条件后，比较第二次编组与第一次编组情况，编的组数没变。总人数增加：122=24（人）；每组人数增加：128=4（人）；原定组数为：244=6（人）。再根据第一次分组情况，可以求出学生人数为：86=48（人）。 3.在一次大扫除中，老师分配若干人擦玻璃。如果其中 2 人各擦 4 块，其余每人擦 5 块，则余
13、 22 块；如果每人擦 7 块，正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃的块数。【解析】：第一种方案中，有 2 人擦 4 块玻璃，假定这两人也擦 5 块，就可以多擦：2（ 5 4）=2（块）。因此题中条件“如果其中 2 人各擦 4 块，其余每人擦 5 块，则余 22 块；”可以转化为：如果每人擦 5 块，则余：22 2=20 （块）。从而把原题转化为盈余问题求解：擦玻璃人数为：20（7 5）=10（人）；玻璃的块数为：107=70（块）。4.有若干个苹果和梨，如果按 1 个苹果配 3 个梨分一堆，那么苹果分完时还剩 2 个梨，如果按半个苹果配 2 个梨分一堆，那么梨分完时还剩半个苹果，那么梨有多少个？【
14、解析】：第二分配方案中，半个苹果配 2 个梨就相当于 1 个苹果配 4 个梨，还剩下半个苹果，还需要添 2 个梨正好配完。因此题中条件“如果按半个苹果配 2 个梨分一堆，那么梨分完时还剩半个苹果， ”可以转化为：如果按 1 个苹果配 4 个梨，就缺 2 个梨。从而把原题转化为盈亏问题求解：共有苹果：（22）（4 3 ）=4 （个）；共有梨：43 2=14（个）。5.学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的 2 倍，分给同学们，每组分乒乓球拍 5 副，余乒乓球拍 15 副，每组分羽毛球拍 14 副，则差 30 副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？【解析】：因为羽毛球拍是乒乓球拍的 2 倍，如果每次分羽毛球拍 52=10（副），最后应余下 152=30（副），因为 14-52=4（副），分到最后还差 30 副，所以比每次分10 副总共差 30+30=60（副），所以有小组：604=15 （组），乒乓球拍有：515+15=90（副），羽毛球拍 902=180（副）.6.用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多 5 米；如果绳子 3 折时，差 4 米.求绳子长度和井深.【解析】：井的深度为：（52+43 ）（3-2）=221=22（米）.绳子长度为：（22+5）2=272=54 （米），或者 （22-4）3=183=54 （米）.
