1、 港中数学网- 1 -第三篇 知识与思考策略结合运用的专题解析掌握每类问题中知识和思考策略应用的规律，将有效地提高数学的解题能力。关节九探究一：用代数式表示变化规律用代数式把一列变化着的式或图形的规律表示出来，是探究性题目中很重要的一类，现在我们来研究解决这类题目所用到的主要数学思想和思考方法：它们是：、以归纳概括为指导的思考方法；、以函数思想为指导的方法；、以直接计算为指导的方法。一、借助以归纳为指导的思想方法，得到表示变化规律的代数式这种思想方法的核心是通过分析与研究提供的“变化片断” 一些连续的特殊情况，归纳概括出整个变化过程所体现的规律，并用代数式将其表示出来，在实际运用中，又根据题目
2、的实际情况，可分为三种形式：“一般归纳型”；“分类归纳型”；“递推归纳型 ”。1、一般归纳型思考特点是：第一，系统考察所提供的一系列特殊，从每个特殊与其位次的对应关系上找共同的规律，第二，特别注意研究相邻两项之间的相关性。例 1 如图，下列几何体是由棱长为 1 的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第 个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有 。n 港中数学网- 2 -【观察与思考】我们把上面各图中满足“只有两个面涂色的立方体”用涂色法表示出来： 第 个: 014142243n)1(4n解:应选 .48n例 2 如图,是用火柴棒摆出的一系列三角形图案,按
3、这种方式摆下去,当每边上摆 10 根火柴棒时,共需要摆 根火柴棒.【观察与思考】本题可以归结为在相应图形中求有多少个涂色的小三角形(所用火柴棒数就等于这样的三角形数再乘以 3).为了找到规律,可以将每边 4 根火柴棒的情况也画出:(1) (2 (3) (4) (10)涂色三角形 1 归纳概括: 326321104321510.32的个数: 65解:应填 165 .【说明】例 1 和例 2，都是统一系列变化的“图形”，首先是要分离出符合要求的部分，使问题简化与明晰化，然后依次观察、对比，找出共同的规律来。例 3 世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：则排在第 10 行从左边数第 3 个位置上的数是
4、（ ）下面一层上面一层 .下面两层 上面一层上面一层下面三层 下面层上面一层10根10根10根 港中数学网- 3 -A、 B、 C、 D、13236014951601【观察与思考】仔细分析与研究后可以发现：（1）每一行左数从第一个数为该行的倒数；（2）每行中间及偏左的数，都等于它左上角的数减去它左边的数，如第 3 行中， ，如第 7 行中，3126,.42305依（1）和（2）可知：第 9 行左数第 2 个数为 ；第 10 行左数第 2 个数为 ，第 10 行左数7218 901第 3 个数应为 36017解：应选 B。【说明】在本题，研究“系统”和“研究”相互间的关系“体现得极为突出。例 4
5、 探索 的正方形钉子板上（ 是钉子板每边上的钉子数），连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线nn段种数： 2n34n5n当 时，钉子板上所连不同线段的长度值只有 1 与 ，所以不同长度值的线段只有 2 种，若用 表示不同长2n 2 S度值的线段种数。则 ;2S当 时，钉子板上所连不同线段的长度值只有 五种，比 时增加了 3 种，即 。3 ,5, n532（1）观察图形，填写下表： 港中数学网- 4 -钉子数 )(n值 S2232+342+3+（ ）5（ ）（2）写出 和 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；（用式子或语言表述均)1(n)(可）。（3）对 的钉子板，写出用 表示 的代
6、数式。)( S【观察与思考】当 时，钉子板上所连不同线段的长度值只有 。（这些是 时已有的），4n 2,5,13n（新增加的）即左下角的钉子分别和最上一行四个钉子的所连线段的长（第一层归纳）；2,10,时比 时多出 3 个种数； 时比 时多出 4 个种数; 时比 时多出 个种3n4n3)(n)1(n数;-(第二层归纳).有了以上两个层次的归纳概括,三个问题的解都已是水到渠成.解:(1)两个括号内应分别埴: 4; 2+3+4+5;(2) 的钉子板比 的钉子板中不同长度值的线段种数增加了 种;)(n)1(n n(3) .S.432【说明】归纳的实质是从若干个特殊中发现共性,因此应从研究特殊和特殊之
7、间的关联入手,这一点,本题体现得比较充分.2、分类归纳型思考特点是：第一，先根据背景与问题的特点，选定标准并按其分类；第二，将问题按所属类别做出解答。例 5 观察下列等式： ， ， ， ， ， 通过观察，用你,21483162432564,.1287所发现的规律确定 的个位数字是 。208【观察与思考】将题目提供的一列数字按“个位数”的情况重新分类：个位数字 2 的乘方2 归纳概括为 （ 为自然数，下同）51, 142n4 归纳概括为62, 24n6 归纳概括为.7338 归纳概括为 42n2, 港中数学网- 5 -而 ，个位数字应为 6。2085024解： 个位数应为 6。例 6 如图，已知
8、 ， ，则点 和点 的坐标),1(A,2)1,(3),(4A)12(5207A208分别为 ； 。【观察与思考】要求点的坐标，一般分两步考虑：第一步先确定该点在哪一个象限；第二步确定该点到两坐标轴的距离，对本题我们也可以从这两步来研究。第一步，可以看出除了点 外，其他各点均在象限内。1A按象限分类：所在象限 点 nA一 归纳概括为 （ 为自然数）.,1062 24n二 归纳概括为73 3三 归纳概括为.,1284AnA4四 归纳概括为95 1由 ，可知 在第二象限， 在第三象限。,350142702428207208第二步，从题目提供的坐标系里的图示看出：（1）第一、二、三、象限内各点横、纵坐
9、标的绝对值是相等的；（2）就坐标的绝对值来说，又是这样对应的：点 41A85129A 归纳概括为 )1(41nnA坐标的绝对值 1 2 3 由 知其坐标的绝对值应为 ；,3501427 0由 ，知其坐标的绝对值应为 502；28将第一步和第二步结合，可得 和 的坐标。207A08解： 的坐标为 ， 的 坐标为 。207A)5,()02,(4 xy-3-2O-42 1A 港中数学网- 6 -【说明】由以上两题的思考过程可以看出：归纳概括是一个积极的活动过程，要观察、要重新分类（分类也是找共性），以便从中获得概括化的规律。为了充分展开相应的思考过程，我们特别用列表法表示分类，而在实际解题中，具体的
10、做法就可以简缩。3、递推归纳型思考特点：找到由前一项（或前几项）表示该项的规律。这样，只要知道第一项（或前几项），就可以逐个地将随后的项推出。例 7 下面是某种细胞分裂示意图， 这种细胞每过 30 分钟便由 1 个分裂成 2 个，根据此项规律可得：（1）这样的一个细胞经过第四个 30 分钟后分裂成 个细胞；（2）这样的一个细胞经过 3 个小时后可分裂成 个细胞；（3）这样的一个细胞经过 （ 为正整数）小时后n要分裂成 个细胞；【观察与思考】如果假设,由 1 个细胞开始,经过 次分裂后细胞数记为 ,且记 ,依题意有 ,mmP1010P, , 次分裂后细胞数为 ，所以本题的结果为：,201P232
11、3P2解：（1） （2） ； （3）;6464n【说明】本题当中 ，即每经过一次分裂，新的细胞数都是前一次分裂后细胞数的 2 倍。就是一种“递1mp推”关系， 可由 求得， 可由 ，等等。2P3P2不少变化规律就是刻画这种递推关系的，对于这类问题的思考和解决，要点有两条：第一条，第一项等于什么？要搞清楚；第二条，由第一项怎样推得第二项的？由第二项怎样推得第三项的？即把“递推关系”搞清楚，有了这两条，整个问题便解决了。例 8 如图（1），在 中， ，把边长分别为 ,， 的 个正方形ABCRt2,1,90ACB321,xn依次放入 中，请回答下列问题：（1）按要求填表：（1）（2）第 个正方形的边
12、长 ；nnx【观察与思考】如图（1），设 ，则 ，相当于搞清楚第一项；由 ,得0BC1x 1CABRtt n 1 2 3 xABC 港中数学网- 7 -，而 ，211ACB,1x1xAC解得 即 3201；,1x,31完全类似地可得 。搞清楚了递推关系。212x把这些都搞清楚了，本题的解就很容易得到了。解：（1）依次应填 ； ； （2） （1）94,378n3例 9 数字解密：第一个数是 ，第二个数是 ，第三个 是 ，第四个数是 ,12354598917按此规律观察并猜想第六个数是 。【观察与思考】本题解法获得的关键是从提供的数据中，借助于归纳得到递推规律：后一个数 前一个数+（前一个数 ），
13、如第二个数 第一个数 （第一个数 ），而第一个数是 3，所以第二个数是 ，如此等等。123找到这个递推关系，很容易有第五个数 ，第六个数 。3167652解：应填 65。【说明】在本题，递推关系是通过观察，由归纳概括得到的，这种形式也应引起我们的重视。例 10 将正六边形纸片按下列要求分割（每次分割，纸片均不得有剩余）：第一次分割：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；第二次分割：将第一次分割后所得的正六边形纸片分割成三个全等的菱形；然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形。按上述分割方法进行下去（1）请你在图（1
14、）中画出第一次分割的示意图；（2）若原正六边形的面积为 ，请你通过操作和观察，将第 1 次，a第 2 次，第 3 次分割后所得的正六边形的面积填入下表： （1）分割次数 )(n1 2 3 正六边形的面积 S(3)观察所填表格,并结合操作,请你猜想:分割后所得的正六边形的面积 与分割次数 有何关系?( 用含 和 的SnSan代数式表示,不需要写出推理过程).【观察与思考】显然,这是一个探究递推关系的题目,首先应当完成第一次分割操作:如图(1);其次,由操作和观察容易知道,设原正六边形的面积 ,则图(1)中小正六边形(阴影所示)的面积 等于所在菱形面积的 ,从而0Sa 1S4386等于整个大正六边
15、形面积的 ,即有关系 .完全相同的道理, 由此，问题41aS4101 a22)4(（2）、（3）得解。ABC1x23xBC 港中数学网- 8 -解：（1）见图（1）（2）依次应填 ， ， ；a416a41（3） （实际上是 ） 。 （1）Sn二、借助于函数思想，得到表示变化规律的代数式很多情况下所要探究的变化规律，实质上就是建立函数关系，只不过这时的自变量是 1，2，3， 这些表n示顺序的正整数，既然是这样，当这些变化规律是正整数 的一次函数时，用“待定系数法”来确定关系，既规范，n又准确，不失为一种聪明的选择。首先应当明确这样的事实，对于任意的一个一次函数，有性质：“当自变量 增大的数量相等
16、时，对应的函数x值 增大（或减小）的数量也是相等的”。我们来看例子：y如一次函数 ，满足的对应值有 （3，3）（4，5），（5，7），（6，9），可以看出：32xy),1(2自变量每增大 1，对应的函数值就增大 2；自变量每增大 2，对应的函数值就增大 4；再如 ，满足的对应值有 ， ， ，（ ， ， ，可以看出：),(),)8,()1,),5()17,6(自变量每增大 1，对应的函数值就减小 3；自变量每增大 2，对应的函数值就减小 6；好了，现在逆过来考虑，就有这样的结论：如果一个 关于 的函数满足：当 增大的数值相等时， 增大（或减小）的数值也相等，那么， 就是 的yxxy yx一次函数
17、。而一次函数的关系式可以借助待定系数法求出来。我们可以把这样的方法应用到某些探究变化规律的问题中来。例 1 观察图，（1）至（4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第 个图中小圆圈的个数为 ，nm则 （用含 的代数式表示）。mn时 时 时 时1n2n3n4n5m8m1m1m（1） （2） （3） （4）【观察与思考】题目提供的图形的序数与小圆圈的个数满足（1，5），（2，8），（3，11），（4，14），序数 （自变量）每增大 1，对应的函数值 就增大 3。因此，它们就应当成一次函数关系。这样，我们就可以用待n定系数法求其表达式。设 ，由（1，5），（2，8）满足关系，可知有：bk
18、m从中解得1S 港中数学网- 9 -23nm解：应填【说明】就本题来说，用“一般归纳”的方法也容易求得结果，而应用“待定系数法”不仅多了一种选择方法，更在于它过程规范，结果肯定，把合情“猜想”转变为程序性的执行。提高了确定感。例 2 一根绳子弯曲成如图（1）所示的形状，当用剪刀像图（2）那样沿虚线 把绳子剪断时，绳子被剪为 5 段；a当用剪刀像图（3）那样沿虚线 把绳子再剪一次时，绳子就被剪成 9 段。若用剪刀在虚线 之间把绳子再)/(ab ba,剪 次（剪刀的方向与 平行），这样一共剪 次时绳子的段数是（ ）)(n nA、 B、 C、 D、1424n3454（1） （2）（3）【观察与思考】
19、我们先找出图 1，2，3，4 中序号和绳子段数的对应情况，有（1，1），（2，5），（3，9），（4，13）。序号每增大 1，段数值就增大 4，应呈一次函数关系。设为 ，由（1，1），（2，5）得：bkny解得即 。34ny本题要求的是“剪 次”，实际上是序号 所对应的图，其中绳子的段数应为 。1n 143)(4ny解：应选 A。【说明】对于本题应特别注意的是，图形序号和剪的次数是不一致的，我们建立的是图形序号与绳子线段的函数，而剪 刀则是第 个图，二者不应弄混。n1当然，本题也可一开始就考虑“剪的次数 ”与绳子段数 之间的关系，那就有（0，1），（1，5），（2，9）， 港中数学网- 10
20、-（3，13）仍借助于待定系数法求出函数关系式 ,最后的结果是一样的.14ny例 3 将图(1)所示的正六边形进行分割得到图(2),再将图(2)中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图(3),再将(3) 中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割,，则第 个图形中，其有 个六边形。n（1） （2） （3）【观察与思考】图形序号 与图形中正六边形的个数 满足（1，1），（2，4），（3，7）， 每增大 1， 就增nmnm大 3，可知 是 的一次函数，用待定系数法（略）求得mn n解： 。)2(由函数思想和待定系数法,将那些可用一次函数表示的变化规律问题用统一而程序化的方式解决,对我们不是
21、一种很好的帮助吗?三、借助于直接计算，得到表示变化规律的代数式有些情况，其变化规律并不是主要体现在变化过程相邻情况的联系之中，而是明显确切地体现在每个情况之中，这时，思考解法的重点不应再是归纳，而应直接从第 个情况中通过计算得出表示规律的代数式。n例 1 如图，是用火棍摆成边长分别是 1，2，3 根火柴棍时的正方形，当边长为 根火柴棍时，若摆出的正方形n所用的火柴棍的根数为 ，则 = 。（用含 的代数式表示， 为正整数）。S【观察与思考】这只要直接计算第 个图形（如上图所示）有多少火柴棒即可，竖着摆放的火柴棍有 列，有n 1n行，共有 根，而横着摆放的和竖着摆放的一样多。因此n)1( )1(2nS例 2 如图，已知 的面积 。ABC1ABCS（1）在图（1）中，若 则 ；,21 411CBAS
