1、班级 ： 姓名： 学号： 1 练习 1 位置矢量 位移 速度 加速度 一、填空题 1、一质点在某参照系中的初始位置为 k.i.r 01030 ，初始速度为 0v 20j ，则初始时刻其位置矢量与速度间夹角为 。 (位矢在 x-z 平面，速度在 y 方向。（ 矢量 点乘） ) 2、在表达式 trlimvt 0中，位置矢量是 ；位移矢量是 。 3、有一质点作直线运动，运动方程为 )(25.4 32 SIttx ，则第 2 秒内的平均速度为 ；第 2 秒末的瞬间速度为 ，第 2 秒内的路程为 。 (解法参阅本节例题。质点在第二秒内有折返运动！因而位移的大小和路程不能相等 ) 答案 /2 r r -0
2、.5ms-1 -6ms-1 2.25m 二、计算题 1、 一物体悬挂在弹簧下做竖直振动，其加速度为kya ，式中k为常量，y是以平衡位置为原点所测得的坐标，假定振动的物体在坐标0y处的速度为0v，求速度 v与坐标 的函数关系式。 解： 根据加速度的定义 d v d v d y d va v k yd t d y d t d y ， 于是有 00vyvdv k ydy积分并整理得 2 2 2oov v k y y 2、某做直线运动质点的运动规律为tkvdtdv 2，式中 为常数，当0t时，初速度为0v，求该质点在任意时刻t的速度。 解： 由 tkvdtdv 2 得 200vtv dv k tdt
3、v 积分得 班级 ： 姓名： 学号： 2 201 1 1=+2 ktvv 3、如图 1.1 所示，某人用绳拉一高台上的小车在地面上以匀速 v奔跑，设绳端与小车的高度差为h，求小车的速度及加速度。 图 1.1 解：车的速度等于水平段绳子移动的速度。设滑轮到人间的绳长为 l，则车的速度 1 dlv dt人的速度： dxv dt x 和 l 间满足关系： 2 2 2l x h 两边对 t 求导得： dl dxlxdt dt 则有 1 22d l xvvdt xh 2 2 2 2 2 2 2 2 23 / 222 22/dv v x h v x x h havxh xh 11 dt x O 班级 ：
4、姓名： 学号： 3 练习 2 自然坐标系 圆周运动的角量描述 一、填空题 1、质点沿半径为 R 的圆周作匀速率运动，每 t 秒转一圈，在 2t 时间间 隔中，其平均速度大小为 ；平均速率大小为 。 2、 一质点在平面上作曲线运动，其速率 v 与路程 S 的关系为 )(1 2 SISv ，则其切向加速度以路程 S 来表示的表达式为 ta _(SI) 3、在一个转动的齿轮上，一个齿尖 沿半径为 R 的圆周运动，其路程 S 随时间的规律为20 21 bttvS ，其中 0v 和 b 都是正的常量，则 t 时刻齿尖 的速度大小为 _，加速度大小为 _。 答案： 1， 0, 2 R/t 2， 2S(1+
5、S2) 3, v0+bt 2022v btb R 二、计算题 1、质点沿半径m1.0的圆周运动，其角坐标与时间的关系为 )(SIt42 3 ，求当切向加速度的大小为总加速度大小的一半时质点的角位置。 解： 212d tdt, 24d tdt 法向加速度 2221 2 0 .1na R t 24 0.1a R t 22na a a 4 2 21 4 4 2 4 0 .1tt 由题意有 4 2 212 4 0 . 1 1 4 4 2 4 0 . 12a R t t t 解得： 3 123t 或者由图得424 3144 3na tat ， 则 3 123t 班级 ： 姓名： 学号： 4 则 342
6、t =3.15 rad 2、半 径m2R的飞轮作加速转动时，轮边缘上一点的运动方程为)SI(t1.0S 3，求当此点的速率s/m30v时的切向加速度与法向加速度的大小。 解： 由 20.3 30dsvtdt 得 t=10s。 则 20 .6 6 m sdvatdt 2 2 4 20 .3 4 5 0 m s2n vta R 3、一质点 在yx平面内作曲线运动，其运动学方程为)SI(ty,tx 3。求： （ 1）初始时刻的速率； （ 2）s2t时加速度的大小； （ 3）1时切向和法向加速度的大小。 解： (1) 1x dxv dt， 23y dyvtdt t=0 时 2 2 41 9 1xyv
7、v v t ms-2. (2) 0xx dva dt， 6yy dvatdt t=2 时 26 1 2 m sya a t （ 3） st 1 时， 2a =6m s 421 9 5 . 6 9m sd v datd t d t 2 2 21 .9m sna a a 班级 ： 姓名： 学号： 5 练习 3 牛顿 运动定律及力学中的守恒定律 一、填空题 1、一质量为 m 的质点沿 x 轴正向运动，假设该质点通过坐标为 x 处的速度为 kx(k 为正常量 )，则此时作用于该质点上的力 F= ，该质点 0xx 点出发运动到 1xx 所经历的时间 t = 。 解： v kx ， 2()d v dF m
8、 m k x m k vdt xd kt m d x d xv k x k d td t x ， 尽而有 1100 10101 lnxt xdx k d t t xtt kx 2、两相互作用的物体 A 和 B，无摩擦地在一条水平直线上运动，物体 A 的动量是时间的函数，表达式为 btPPA 0 ，式中 0P 、 b 分别为正常数， t 是时间，在下列两种情况下，写出物体 B 的动量作为时间的函数表达式： （ 1）开始时，若 B 静止，则 1BP 。 （ 2）开始时，若 B 的动量为 则 ,0P 2BP 。 解： A、 B 组成的系统动量守恒 ， t = 0 时 ， 0 0 0Ap p bt p
9、 ， 0 0Bp . 此时有： A0 B0 0p p p， 其后仍有 ： B1 0Ap p p 所以 B 1 0 A 0 0()p p p p p b t b t t = 0 时 ， B0 0pp ， 此时 有： A0 B0 0pp， 其后仍有 ： B 0App 则： B 2 A 00 ptpp b 3、一人造地球卫星绕地球在椭圆轨道上运动，近地点为 A，远地点为 B， A、 B 两点距地心分别为 1r 、 2r ，设卫星质量为 m， 地球质量为 M，万有引力常数为 G，则卫星在 A、 B 两点的势能之差 PAPB EE = ；卫星在 A、 B 两点的动能之差 KAKB EE = 。 解：12
10、,P A P Bm M m ME G E Grr ，则 12112211()P B P AE E G rmM rr rGmM rr 系统机械能守恒，则21k B k Am M m ME G E Grr ，于是有 班级 ： 姓名： 学号： 6 121221k B k Am M m M rE E G G GmM rrrr r 4 （补充） 一物体质量为 2kg，在合外力 )SI(i)t(F 23 作用下，从静止出发沿水平 X轴作直线运动，则当 t=1s，物体的速度 V = 。 解：由动量定理有： 10 (3 2 ) 0t d t m v ，由此得结果。 5. （补充） 如图，一质点在 n 个力的作
11、用下，沿半径为 R 的圆周运动，其中一个力是恒力 0F ，方向始终沿 x 轴正向，即 iFF 00 ，当质点从 A 点沿逆时针方向 走过 3/4 圆周到达 B点时，所作的功为 。 解： 由 xyF dr F dx F dy ，则 21 000 ( 0 )xxA F d x F FR R ） 6 （补充） 光滑水平面上有二物体 21 mm和 ，如图，在水平恒力 F 作用下 ， 从静止开始 共同前时了一段距离 s， 以地面为参照系，在此过程中 12 mm对 所作的功为 。 解： 动能定理： 2121 ()2Fs m m v。 设 m2 对 m1 的作用为 f，则 2 11211 2 m Ff m
12、v ms sm ） 二、计算题 1、质量为 m的子弹以速度0v水平射入沙土中，设子弹所受阻力大小与速度成正比，比例系数为 K，忽略子弹重力，求： （ 1）子弹射入沙土后，速度与时间的关系； （ 2）子弹射入沙土的最大深度。 解： （ 1） 根据题意有 dvf kv m dt 所以有 00vtv dv k dtvm积分得 0lnvktvm 即 0 ktmv ve （ 2）当在沙子中停止运动时，达到最大距离，因而有 B R A O x 2m 1m F S 班级 ： 姓名： 学号： 7 d v d v d x d vf k v m m m vd t d x d t d x 所以有 000xvmdx
13、dvk积分得最大深度为 0mxvk2、如图 3.1 所示，质量为 M的滑块正沿着光滑水平地面向右滑动，一质量为 m的小球水平向右飞行，以速度 1V（对地）与滑块斜面相碰，碰后竖直向上弹起，速率为 2V（对地）。若碰撞时间为t，试求此过程中滑块对地的平均作用力和滑块速度增量的 大小。 解： 以 M 和 m 为系统，外力（重力、地面支持力） 均沿竖直方向，故水平方向动量守恒。 竖直方向 ：应用质点系动量定理 系统动量增量： py =（ mV2 + 0 ） -（ 0 + 0） 合外力的冲量：（ N Mg mg） t 图 3.1 二者相等，解得 N = mV2 / t + Mg + mg 由牛顿第三定
14、律可知，滑块对地平均作用力为： mV2 / t + Mg + mg，方向竖直向下。 水平方向： 设滑块碰撞前后速度分别为 v 和 u，应 用动量守恒定律 mV1 + Mv = Mu 解得速度增量的大小 v = u v = （ m/M） V1。 3、质量为kg100.2 3的子弹，其出口速率为s/m300。设子弹在枪筒中前进时所受的力x98000400F （其中 x为子弹在枪筒中行进的距离）；开始时，子弹位于0x处，求枪筒的长度。 解： 设枪筒长度为 l 。根据动能定理 200 8 0 0 0 14 0 0 092llA F d x x d x m v 解得： l = 0.45m 班级 ： 姓名
15、： 学号： 8 练习 4 刚体的定轴转动（ I） 一、填空题 1、以恒定角加速度转动的圆盘，如果在某一时刻的角速度为 )/( srad201 ，再转 60转后角速度为 )/( srad302 ，则角加速度 ， 转过上述 60 转所需的时间 t 。 解： 匀变速圆周运动，则 22212 ， 60 2 ，可求 225 6 .5 4 /12 r a d s 由 21 t 得， t=4.8s。 2、如图 4.1 所示，一长为 L 的轻质细杆，两端分别固定质量 m 和 m2 的小球，此系统在竖直平面内可绕过中点 O 且与杆垂直的水平光滑固定轴（ O 轴）转动。开始时杆与水平成 060 ，处于静止状态，无
16、初转速地释放以后，杆球这一刚体系统绕 O 轴转动，系统绕 O 轴的转动惯量 图 4.1 J = 。释放后，当杆转到水平位置时，刚体受到的合外力矩 M = ；角加速度 = 。 解： 根据转动惯量的定义得： 22 2322 2 4LLJ m m m L 两小球对于 O 点的力矩方向相反， 2 2 2 2L L LM m g m g m g 根据转动定律： MJ 得， 2/ 3gMJ L 。 3、半径为cm15、质量kg70.0的光盘从静止开始转动，在s5.1内达到mi n/rev3.33n 的转速 ， 则在此s5.1时间内施加于光盘的转动力矩为 。 解： 21 0 .0 0 7 8 7 52J M
17、 R， / 2.3236t 0.00183MJ Nm 班级 ： 姓名： 学号： 9 4 (补充 )如 右 图所示的匀质大圆盘，质量为 M，半径为 R，对于过圆心 O 点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为 221MR 。如果在大圆盘中挖去图示的一个小圆盘，其质量为 m，半径为 r，且 2r=R。已知挖去的小圆盘相对于过 O 点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为 223mr ，则挖去小圆盘后剩余部分对于过 O 点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为 。 解： 根据平行轴定理： 221322M R m r J 221322J M R m r 二、计算题 1、质量为kg3的质点位于m8y,m3x 处时速度为)s/m
18、(j6i5v ，作用于质点上的力大小为N7，沿负 x方向，求以原点为参考点，质点此时的角动量和所受的力矩。 解：角动量和力矩的定义 )Nm(k56M)s/kgm(k174L2 ，2、如图 4.2 所示，边长为 a的正方边形的顶点，分别固定六个质点，每个质点的质量都为 m，求正六边形： （ 1）对 OX、 OY、 OZ 轴的转动惯量； （ 2）对 OS 轴的转动惯量。 解：转动惯量的定义。 几何问题，先求每点到各轴的距离 2z2y2x ma12Jma9Jma3J ， ； 2s ma5.4图 4.2 3、如图 4.3 所 示， A、 B为两个相同的定滑轮， A滑轮挂一质量为 M的物体， B滑轮受拉力 F，而且MgF，设 、 两滑轮的角加速度分别为 A、 ，不计滑轮与转轴的摩擦，比较两个滑轮的角加速度的大小。 班级 ： 姓名： 学号： 10 解：设滑轮的半径为 R ,转动惯量为 J 。使用大小等于 mg ，方向向下的力拉绳子时 ,滑轮产生的角加速度为B mgRJ 。 绳下段挂一质量为 m 的物体时，若设绳子此时的拉力为 T，则 对物体有： Amg T m R 对滑轮有： ATR J 此时滑轮产生的角加速度为 2A mgRJ mR 比较可知， BA. 图 4.3
