高中数学竞赛习题集（精心整理）.pdf

1、1第 一 章 集 合 与 简 易 逻 辑三 、 基 础 训 练 题1 给 定 三 元 集 合 ,1 2 xxx ， 则 实 数 x的 取 值 范 围 是 _。2 若 集 合 ,012 2 RxRaxaxxA 中 只 有 一 个 元 素 ， 则 a=_。3 集 合 3,2,1B 的 非 空 真 子 集 有 _个 。4 已 知 集 合 01,023 2 axxNxxxM ， 若 MN ， 则 由 满 足 条 件 的 实数 a组 成 的 集 合 P=_。5 已 知 ,2 axxBxxA ， 且 BA ， 则 常 数 a的 取 值 范 围 是 _。6 若 非 空 集 合 S 满 足 5,4,3,2,1

2、S ， 且 若 Sa ， 则 Sa6 ， 那 么 符 合 要 求 的 集 合 S有 _个 。7 集 合 1412 ZkkYZnnX 与 之 间 的 关 系 是 _。8 若 集 合 1, xyxyxA ， 其 中 Zx ， Zy 且 0y ， 若 A0 ， 则 A中 元 素 之 和是 _。9 集 合 01,06 2 mxxMxxxP ， 且 PM ， 则 满 足 条 件 的 m值 构 成的 集 合 为 _。10 集 合 ,9,12 2 RxxyyBRxxyxA ， 则BA _。11 已 知 S 是 由 实 数 构 成 的 集 合 ， 且 满 足 1） 2;1 S ） 若 Sa ， 则 Sa 1

3、1 。 如 果 S ，S 中 至 少 含 有 多 少 个 元 素 ？ 说 明 理 由 。12 已 知 BACaxyyxBxayyxA ,),(,),( ， 又 C 为 单 元 素 集 合 ， 求实 数 a的 取 值 范 围 。2四 、 高 考 水 平 训 练 题1 已 知 集 合 ,0, yxByxxyxA ， 且 A=B， 则 x _，y _。2 ,9,1)()(,2,9,8,7,6,5,4,3,2,1 11 BCACBAIBIAI 8,6,4)( 1 BAC ， 则 )( 1 BCA _。3 已 知 集 合 121,0310 2 mxmxBxxxA ， 当 BA 时 ， 实数 m 的 取

4、值 范 围 是 _。4 若 实 数 a为 常 数 ， 且 axaxxAa 则,1112 _。5 集 合 1,12,3,3,1, 22 mmmNmmM ， 若 3NM ， 则m _。6 集 合 ,27,35 NyybbBNxxaaA ， 则 BA 中 的 最 小 元 素是 _。7 集 合 0, 2222 yxyxBxyyxyxA ， 且 A=B， 则 yx _。8 已 知 集 合 04,02 1 pxxBxxxA ， 且 AB ， 则 p 的 取 值 范 围 是_。9 设 集 合 ,05224),(,01),( 22 yxxyxBxyyxA ),( bkxyyxC ，问 ： 是 否 存 在 Nb

5、k , ， 使 得 CBA )( ， 并 证 明 你 的 结 论 。10 集 合 A 和 B 各 含 有 12 个 元 素 ， BA 含 有 4个 元 素 ， 试 求 同 时 满 足 下 列 条 件 的 集 合 C的 个 数 ： 1） BAC 且 C 中 含 有 3 个 元 素 ； 2） AC 。11 判 断 以 下 命 题 是 否 正 确 ： 设 A， B 是 平 面 上 两 个 点 集 ， ),( 222 ryxyxCr ， 若对 任 何 0r ， 都 有 BCAC rr ， 则 必 有 BA ， 证 明 你 的 结 论 。3五 、 联 赛 一 试 水 平 训 练 题1 已 知 集 合 A

6、BBxmxxmzzBxxA 且,2,11,0 2 ， 则 实 数 m的 取 值范 围 是 _。2 集 合 12,2,3,2,1 nnA 的 子 集 B满 足 ： 对 任 意 的 ByxByx , ， 则 集 合 B中 元 素 个 数 的 最 大 值 是 _。3 已 知 集 合 2, 2 dadaaQaqaqaP ， 其 中 0a ， 且 Ra ， 若 P=Q， 则实 数 q _。4 已 知 集 合 1),(,0,),( yxxyyxBaayxyxA ， 若 BA 是 平 面上 正 八 边 形 的 顶 点 所 构 成 的 集 合 ， 则 a _。5 集 合 ,4812 ZnlmlnmuuM ，

7、集 合,121620 ZrqprqpuuN ， 则 集 合 M 与 N 的 关 系 是 _。6 设 集 合 1995,3,2,1 M ， 集 合 A 满 足 ： MA ， 且 当 Ax 时 ， Ax15 ， 则 A中 元 素 最 多 有 _个 。7 非 空 集 合 223,5312 xxBaxaxA ， 则 使 BAA 成 立 的 所有 a的 集 合 是 _。8 已 知 集 合 A， B， aC（ 不 必 相 异 ） 的 并 集 ,2,1 nCBA , 则 满 足 条 件 的 有 序 三元 组 （ A， B， C） 个 数 是 _。9 已 知 集 合 1),(,1),(,1),( 22 yxy

8、xCayxyxByaxyxA ， 问 ：当 a取 何 值 时 ， CBA )( 为 恰 有 2 个 元 素 的 集 合 ？ 说 明 理 由 ， 若 改 为 3 个 元 素 集 合 ， 结论 如 何 ？10 求 集 合 B和 C， 使 得 10,2,1 CB ， 并 且 C 的 元 素 乘 积 等 于 B 的 元 素 和 。11 S 是 Q 的 子 集 且 满 足 ： 若 Qr ， 则 0, rSrSr 恰 有 一 个 成 立 ， 并 且 若SbSa , ， 则 SbaSab , ， 试 确 定 集 合 S。412 集 合 S=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 0的 若 干

9、个 五 元 子 集 满 足 ： S 中 的 任 何 两 个 元 素至 多 出 现 在 两 个 不 同 的 五 元 子 集 中 ， 问 ： 至 多 有 多 少 个 五 元 子 集 ？六 、 联 赛 二 试 水 平 训 练 题1 321 , SSS 是 三 个 非 空 整 数 集 ， 已 知 对 于 1， 2， 3 的 任 意 一 个 排 列 kji , ， 如 果 iSx ，jSy ， 则 iSyx 。 求 证 ： 321 , SSS 中 必 有 两 个 相 等 。2 求 证 ： 集 合 1， 2， ， 1989可 以 划 分 为 117 个 互 不 相 交 的 子 集 )117,2,1( iA

10、i ，使 得 （ 1） 每 个 iA 恰 有 17 个 元 素 ； （ 2） 每 个 iA 中 各 元 素 之 和 相 同 。3 某 人 写 了 n封 信 ， 同 时 写 了 n个 信 封 ， 然 后 将 信 任 意 装 入 信 封 ， 问 ： 每 封 信 都 装 错 的 情况 有 多 少 种 ？4 设 2021 , aaa 是 20 个 两 两 不 同 的 整 数 ， 且 整 合 201 jiaa ji 中 有 201 个 不同 的 元 素 ， 求 集 合 201 jiaa ji 中 不 同 元 素 个 数 的 最 小 可 能 值 。5 设 S 是 由 n2 个 人 组 成 的 集 合 。

11、求 证 ： 其 中 必 定 有 两 个 人 ， 他 们 的 公 共 朋 友 的 个 数 为 偶 数 。6 对 于 整 数 4n ， 求 出 最 小 的 整 数 )(nf ， 使 得 对 于 任 何 正 整 数 m， 集 合1,1, nmmm 的 任 一 个 )(nf 元 子 集 中 ， 均 有 至 少 3个 两 两 互 质 的 元 素 。7 设 集 合 S=1， 2， ， 50， 求 最 小 自 然 数 k ， 使 S 的 任 意 一 个 s元 子 集 中 都 存 在 两 个 不同 的 数 a 和 b， 满 足 abba )( 。8 集 合 NkkX ,6,2,1 ， 试 作 出 X 的 三

12、元 子 集 族 p: QR, q: N=Z.3. 当 |x-2|0 的 解 是 10， 则 集 合 x|x A 且 xA B=_.11. 求 使 不 等 式 ax2+4x-1 -2x2-a 对 任 意 实 数 x 恒 成 立 的 a的 取 值 范 围 。12 对 任 意 x 0,1,有 03 04222 kkxx kkxx 成 立 ， 求 k的 取 值 范 围 。6四 、 高 考 水 平 训 练 题1 若 不 等 式 |x-a|0 当 |a| 1 时 恒 成 立 的 x 的 取 值 范 围 是 _.3 若 不 等 式 -x2+kx-410, B=x|x-5|0和 a2x2+b2x+c20解 集

13、 分 别为 M和 N， 那 么 “ 212121 ccbbaa ” 是 “ M=N” 的 _条 件 。6 若 下 列 三 个 方 程 x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0 中 至 少 有 一 个 方 程 有 实 根 ，则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 _.7 已 知 p, q都 是 r的 必 要 条 件 ， s是 r的 充 分 条 件 ， q是 s的 充 分 条 件 ， 则 r是 q 的 _条 件 。8 已 知 p: |1- 3 1x | 2, q: x2-2x+1-m2 0(m0)， 若 非 p是 非 q 的 必 要 不 充 分 条 件 ，

14、 则实 数 m 的 取 值 范 围 是 _.9 已 知 a0， f(x)=ax2+bx+c， 对 任 意 x R有 f(x+2)=f(2-x)， 若 f(1-2x2)0 且 |x| 1 时 ， g(x)最 大 值 为 2， 求 f(x).11.设 实 数 a,b,c,m 满 足 条 件 ： mcmbma 12 =0， 且 a 0,m0， 求 证 ： 方 程 ax2+bx+c=0有 一 根 x0满 足 00， 当 函 数 的 最 小 值取 最 大 值 时 ， a+b2+c3=_.4. 已 知 f(x)=|1-2x|, x 0,1， 方 程 f(f(f)(x)= 21 x 有 _个 实 根 。5

15、若 关 于 x 的 方 程 4x2-4x+m=0在 -1， 1上 至 少 有 一 个 实 根 ， 则 m 取 值 范 围 是 _.6 若 f(x)=x4+px3+qx2+x 对 一 切 x R 都 有 f(x) x且 f(1)=1， 则 p+q2=_.7. 对 一 切 x R， f(x)=ax2+bx+c(a、=、 100， 试 问 满 足 |f(x)| 50 的 整 数 x 最 多 有 几 个 ？2 设 函 数 f(x)=ax2+8x+3(a1)， 使 得 存 在 t R， 只 要 x 1, m就 有 f(x+t) x.7.求 证 ： 方 程 3ax2+2bx-(a+b)=0(b0)在 (0,1)内 至 少 有 一 个 实 根 。8 设 a,b,A,B R+,a0， 函 数 f(x)定 义 域 为 R， 且 f(x+a)= 2)()(21 xfxf ， 求 证 ： f(x)为 周 期函 数 。