1、第二节 空间图形的基本关系与公理,三年9考 高考指数: 1理解空间直线、平面位置关系的定义； 2了解可以作为推理依据的公理和定理； 3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题,1点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点 2.从考查形式看，以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力和空间想象能力. 3从考查题型看，多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，一般难度不大，属低中档题.,1.空间图形的基本位置关系 (1)空间点与直线的位置关系有两种：_和_ _. (2)空间点与平面的位置关系有两种：_和_ _.,点在直线上,点在直,线外,点在平面内,点
2、在平,面外,(3)空间两条直线的位置关系有三种： 平行直线：在_内，而且没有_的两条直线. 相交直线：_的两条直线. 异面直线：_的两条直线. (4)空间直线与平面的位置关系有三种： 直线在平面内：直线和平面有_公共点. 直线和平面相交：直线和平面_公共点. 直线和平面平行：直线和平面_公共点.,同一个平面,公共点,只有一个公共点,不同在任何一个平面内,无数个,只有一个,没有,(5)空间平面与平面的位置关系有两种： 平行平面：两个平面_公共点. 相交平面：两个平面不重合，并且_公共点.,没有,有,【即时应用】 (1)思考：若a ,b ,则a,b就一定是异面直线吗？ 提示：不一定，可能存在平面,
3、使a ，b . (2)思考：垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是怎样 的？ 提示：可能平行，可能相交，也可能异面.,(3)两个不重合的平面可把空间分成_部分 【解析】当两平面平行时可分为3部分；当两平面相交时分为4部分 答案：3或4,2.空间图形的公理及等角定理,文字语言,图形语言,符号语言,公理1,如果一条直线上的 _在一个平面内, 那么这条直线上 _都在这个 平面内（即直线 _）,公理2,经过不在同一条直线 上的三点，_ 一个平面（即可以确 定一个平面）,若A、B、C三点不共 线,则_一 个平面使A, B,C,两点,所有的点,在平面内,有且只有,有且只有,l ,如果两个不重合的 平面_,
4、 那么它们_ 一条通过这个点的 公共直线,有一个公共点,有且只有,若A,A, 则_,=l且Al,平行于同一条直线 的两条直线_,平行,若ab，bc, 则_,ac,空间中，如果两个 角的两条边分别对 应平行，那么这两 个角相等或互补,若AOAO, BC_,则 AOB=AOB， AOC和AOB 互补,BO,【即时应用】 (1)思考：公理1、2、3的作用分别是什么？ 你能说出公理2的几个推论吗？ 提示：公理1的作用：()判断直线在平面内；()由直线在平面内判断直线上的点在平面内 公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件,公理3的作用：()判定两平面相交；()作两平面的交线
5、；()证明点共线 公理2的三个推论为： ()经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； ()经过两条相交直线，有且只有一个平面； ()经过两条平行直线，有且只有一个平面,(2)判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“”或“”) 经过三点确定一个平面 ( ) 梯形可以确定一个平面 ( ) 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 ( ) 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 ( ),【解析】经过不共线的三点可以确定一个平面，不正确；两条平行线可以确定一个平面，正确； 两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面， 正确；命题中没有说清三个点是否共线， 不正确. 答案： ,(3)判断下列说
6、法的正误.(请在括号中填写“”或“”) 如果两个不重合的平面,有一条公共直线a，就说平面,相交，并记作=a ( ) 两个不重合的平面,有一个公共点A，就说,相交于过A点的任意一条直线 ( ) 两个不重合的平面,有一个公共点A，就说,相交于A点，并记作=A ( ) 两个不重合的平面ABC与DBC相交于线段BC ( ),【解析】根据平面的性质公理3可知对；对于，其错误在于“任意”二字上；对于，错误在于=A上；对于，应为平面ABC和平面DBC相交于直线BC. 答案： ,(4)平面,相交，在,内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_个平面 【解析】如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这
7、四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个 答案：1或4,3.异面直线所成的角 (1)定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线 l1,l2，这两条相交直线所成的_就是异面直线a,b 所成的角. 如果两条异面直线所成的角是_，则称这两条直线互相垂 直. (2)范围： .,锐角(或直角),直角,(0, ,【即时应用】 (1)思考：不相交的两条直线是异面直线吗？不在同一平面内的直线是异面直线吗？ 提示：不一定因为两条直线没有公共点，这两直线可能平行也可能异面；因为不同在任何一个平面内的直线为异面直线，故该结论不一定正确,(2)和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是_. 【
8、解析】画出图形分析.图中，AB、CD与异面直线a、b都相交，此时AB、CD异面； 图中，AB、AC与异面直线a、b都相交，此时AB、CD相交. 答案：异面或相交,平面的基本性质及其应用 【方法点睛】考查平面基本性质的常见题型及解法 (1)判断所给元素(点或直线)是否能确定唯一平面，关键是分析所给元素是否具有确定唯一平面的条件，此时需要利用公理2及其推论,(2)证明点或线共面问题，一般有两种途径：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合 (3)证明点共线问题，一般有两种途径：先由两点确定一条直线，再
9、证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上,(4)证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点,【例1】(1)(2012太原模拟)给出以下四个命题 不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面； 若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面； 依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3,(2)如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角 梯形，BAD=FAB=90，BCAD且BC= AD，BEAF且BE
10、= AF，G，H分别为FA，FD的中点. 证明：四边形BCHG是平行四边形； C，D，F，E四点是否共面？为什么？,【解题指南】(1)根据确定平面的公理及推论进行判断. (2)证明BC、GH平行且相等即可；证明EFCH，由此构成平面，再证点D在该平面上 【规范解答】(1)选B.假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确.从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；不正确；不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.,(2)由题设知，FG=GA，FH=HD， 所以GHAD且
11、GH= AD, 又BCAD且BC= AD， 故GHBC且GH=BC， 所以四边形BCHG是平行四边形 C，D，F，E四点共面理由如下： 由BEAF且BE= AF，G是FA的中点知，,BEGF且BE=GF， 所以四边形EFGB是平行四边形， 所以EFBG. 由知BGCH，所以EFCH， 故EC，FH共面. 又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面.,【互动探究】本例第(2)题的条件不变，如何证明“FE，AB， DC交于一点”？ 【证明】由例题可知，四边形EBGF和四边形BCHG都是平行四边 形，故可得四边形ECHF为平行四边形 ECHF，且EC= DF 四边形ECDF为梯形 FE，DC交于
12、一点，设FEDC=M,MFE，FE 平面BAFE， M平面BAFE 同理M平面BADC 又平面BAFE平面BADC=BA， MBAFE,AB,DC交于一点,【反思感悟】点共线和线共点问题，都可转化为点在直线上的问题来处理，实质上是利用公理3，证明点在两平面的交线上，解题时要注意这种转化思想的运用,【变式备选】如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，AD，BC，CD上的点，设EG与FH交于点P求证：P、A、C三点共线,【证明】EGFH=P，PEG，EG 平面ABC， P平面ABC同理P平面ADC. P为平面ABC与平面ADC的公共点 又平面ABC平面ADC=AC. PAC.P、A、
13、C三点共线,空间中两直线的位置关系 【方法点睛】判定直线位置关系的方法 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质及线面平行的性质；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决 【提醒】在空间中两直线的三种位置关系中，验证异面直线及其所成角是考查的热点.,【例2】如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下 列命题中，错误的为( ) (A)ACBD (B)AC截面PQMN (C)AC=BD (D)异面直线PM与BD所成的角为45,【解题指南】结合图形，根据有关的知识逐一进行判断注意 本题选
14、择的是错误选项！ 【规范解答】选C.因为四边形PQMN为正方形，所以PQMN，又 PQ 平面ADC，MN 平面ADC，所以PQ平面ADC. 又平面BAC平面DAC=AC，所以PQAC. 同理可证QMBD.由PQAC，QMBD，PQQM可得ACBD，故A 正确；由PQAC可得AC截面PQMN，故B正确；异面直线PM与 BD所成的角等于PM与PN所成的角，故D正确；综上知C错误.,【反思感悟】解决此类问题常出现的错误是不善于挖掘题中的条件，不能将问题适当地转化；另外，图形复杂、空间想象力不够、分析问题不到位等，也是常出现错误的原因,【变式训练】1.设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，
15、不正确的是（ ） (A)若AC与BD共面，则AD与BC共面 (B)若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 (C)若AB=AC，DB=DC，则ADBC (D)若AB=AC，DB=DC，则AD=BC,【解析】选D.对于A，易知点A，B， C，D共面，故AD与BC共面，所以A 正确；对于B，假设AD与BC不异面， 则可得AC与BD共面，与题意矛盾， 故B正确；对于C，如图，E为BC中点，易证得直线BC平面ADE，从而ADBC，故C正确； 对于D，当四点构成空间四面体时，只能推出ADBC，但二者不一定相等，故D错误.,2.（2012宝鸡模拟）若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则下列命题中假
16、命题的序号是_. 过点P有且仅有一条直线与l，m都平行；过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直；过点P有且仅有一条直线与l,m都相交；过点P有且仅有一条直线与l,m都异面.,【解析】是假命题，因为过点P不存在一条直线与l,m都平行；是真命题，因为过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直，这条直线与两异面直线的公垂线平行或重合；是假命题，因为过点P也可能没有一条直线与l,m都相交；是假命题，因为过点P可以作出无数条直线与l,m都异面. 答案：,异面直线所成的角 【方法点睛】 1.求异面直线所成的角的方法 一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移 2
17、.求异面直线所成角的步骤 (1)作：通过作平行线，得到相交直线； (2)证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角； (3)算：通过解三角形，求出该角,【例3】(1)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点求证：直线ME与BN是两条异面直线,(2)(2012西安模拟)已知三棱锥ABCD中，AB=CD，且直线AB与CD成60角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角. 【解题指南】(1)采用反证法证明；(2)取AC中点P，连接PM，PN，利用三角形中位线性质可得PMAB，PNCD，从而得MPN的大小，然后解三角形可得所求角.,【规范解答
18、】(1)假设直线ME与BN共面， 则AB 平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN 由已知，两正方形不共面，故AB 平面DCEF 又ABCD，所以AB平面DCEF 线EN为平面MBEN与平面DCEF的交线， 所以ABEN又ABCDEF， 所以ENEF，这与ENEF=E矛盾，故假设不成立 所以ME与BN不共面，它们是异面直线.,(2)如图，取AC的中点P.连接PM、PN， 则PMAB，且PM= AB. PNCD，且PN= CD， 所以MPN为AB与CD所成的角(或所 成角的补角). 则MPN=60或MPN=120, 若MPN=60, 因为PMAB，所以PMN是AB与MN所成的角(或所成
19、角的补角).,A,B,C,D,M,N,P,又因为AB=CD，所以PM=PN，则PMN是等边三角形， 所以PMN=60, 即AB与MN所成的角为60. 若MPN=120,则易知PMN是等腰三角形. 所以PMN=30,即AB与MN所成的角为30. 故直线AB和MN所成的角为60或30.,【互动探究】把本例第(2)题中的“直线AB与CD成60角”改为“ABCD”，结果如何？ 【解析】由题意得MPN=90. MPN是等腰直角三角形.PMN=45， 故直线AB和MN所成的角为45.,【反思感悟】1.证明两直线为异面直线时可利用结论“过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不过该点的直线为异面直线”；也可
20、用反证法，即证明这两直线共面时不成立 2.在求异面直线所成的角时常犯的错误是忽视角的范围.,【变式备选】在空间四边形ABCD中，已知AD=1，BC= 且 ADBC，对角线 求AC和BD所成的角 【解析】如图，分别取AD、CD、AB、BD的中点E、F、G、H，连 接EF、FH、HG、GE、GF.由三角形的中位线定理知,EFAC，且EF= GEBD，且 GE和EF所成的锐角 (或直角)就是AC和BD所成的角. 同理， GHAD，HFBC， 又ADBC，GHF=90， GF2=GH2+HF2=1， 在EFG中，EG2+EF2=1=GF2， GEF=90， 即AC和BD所成的角为90.,【满分指导】求
21、异面直线所成角主观题的规范解答 【典例】(12分)(2011上海高考改编) 已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正 四棱柱，高AA1=2，求 (1)异面直线BD与AB1所成角的余弦值； (2)四面体AB1D1C的体积.,【解题指南】(1)利用平行平移法得到异面直线所成的角，转化为解三角形的问题；(2)利用割补法求体积即可 【规范解答】(1)连接BD，AB1，B1D1，AD1.1分,BDB1D1,异面直线BD与AB1所成角为AB1D1(或其补角)， 记AB1D1=,3分 由已知条件得AB1=AD1= 在AB1D1中，由余弦定理得 cos= 6分 异面直线BD与AB1所成角的余弦值为 7分
22、,(2)连接AC，CB1，CD1，则所求四面体的体积12分,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：,1.(2011四川高考)l1,l2,l3是空间三条不同的直线，则下列 命题正确的是( ) (A)l1l2,l2l3l1l3 (B)l1l2,l2l3l1l3 (C)l1l2，l2l3l1,l2,l3共面 (D)l1，l2,l3共点l1，l2,l3共面,【解析】选B.对于A：空间中垂直于同一条直线的两条直线不 一定平行，如图l1,l3可以相交或异面,故命题错误.对于B:由异面直线所成的角 可知，l2l3,则l1与l3所成的角与l1与l2所成的角相等，故,
23、l1l3,故命题正确.对于C:空间中三条互相平行的直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱不共面,故命题错误.对于D:空间中共点的三条直线不一定共面，如三棱锥中共顶点的三条棱不共面.,2.(2011浙江高考)若直线l不平行于平面，且l ， 则( ) (A)内的所有直线与l异面 (B)内不存在与l平行的直线 (C)内存在唯一的直线与l平行 (D)内的直线与l都相交,【解析】选B.由题意可得直线l与平面相交，如图:对A，由于内所有不过交点的直线与l异面，故A错误；对B，如果内存在与l平行的直线，则直线l与平行，直线不存在，故B正确；对C，可得直线l与平行，与题设不符，故C错误；对D，内所有不过交点的直线
24、与l异面，故D错误.,3.(2011大纲版全国卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1 的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_. 【解析】取A1B1的中点M，连接EM,AM,AE，则AEM就是异面直 线AE与BC所成的角.设正方体棱长为2，则在AEM中， cosAEM= 答案：,4.(2012郑州模拟)已知：空间四边形ABCD(如图所示)，E、 F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且求证： (1)E、F、G、H四点共面； (2)三直线FH、EG、AC共点.,【解析】(1)连接EF、GH. 由E、F分别为AB、AD的中点， EF BD，又 HG BD， EFHG且EFHG. EF、HG可确定平面,即E、F、G、H四点共面.,(2)由(1)知：EFHG为平面图形，且EFHG，EFHG. 四边形EFHG为梯形，设直线FH直线EG=O， 点O直线FH，直线FH 面ACD， 点O平面ACD. 同理点O平面ABC. 又面ACD面ABC=AC，点O直线AC(公理3). 直线FH、EG、AC交于点O，即三直线共点.,
