1、23 平面向量的基本定理及坐标表示,1平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2. 我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 ,不共线,基底,2两向量的夹角与垂直 (1)已知两个非零向量a和b，作 b，则AOB(0180)叫做向量a与b的 显然，当0时，a与b ；当180时，a与b (2)如果a与b的夹角是 ，我们说a与b垂直，记作ab.,夹角,同向,反向,90,4设e1、e2是两个不共线的向量，若向量a2e1e2与向量be1e2(R)共线，则的值为 ( ) A0 B1 C2 D 答案
2、D,重点：平面向量基本定理 难点：平面向量基本定理的应用,关于平面向量基本定理的掌握须注意以下几点： 1平面内任意一对不共线向量e1、e2均可作为表示这一平面内所有向量的基底注意“不共线”的条件与“非零向量”条件的区别，不共线一定非零，非零未必不共线 2同一向量a，用同一基底表示的结果是惟一的 即若e1与e2不共线，ae1e2，同时axe1ye2，则必有若ax1e1y1e2，bx2e1y2e2，ab，则x1y2x2y10.,例1 如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是 ( ) ae1e2(、R)可以表示平面内的所有向量； 对于平面内任一向量a，使ae1e2的实数对(，
3、)有无穷多个； 若向量1e11e2与2e12e2共线，则 若实数，使得e1e20，则0.,A B C D 分析 应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e1与e2不共线和平面内向量a用基底e1、e2表示的惟一性求解 解析 由平面向量基本定理可知，是正确的对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的对于，当120或120时不一定成立故选B.,已知e10，R，ae1e2，b2e1，则a与b共线的条件为 ( ) A0 Be20 Ce1e2 De1e2，或0 答案 D,解析 (1)若e1与e2不共线， a与b共线，存在实数x，使axb (b0)， e
4、1e22xe1，(12x)e1e20，,(2)若e1与e2共线，设e1xe2， 则ae1e2(x)e2，b2e2，综上知，a与b共线的条件为e1e2或0.,已知e1，e2是平面内两个不共线向量，a3e12e2，b2e1e2，c7e14e2，用a和b表示c，则c_. 答案 a2b,解析 e1与e2不共线，a与b不共线， 设cab， 则c(3e12e2)(2e1e2) (32)e1(2)e2， 又c7e14e2， 由基底表示向量的惟一性知，,例4 如图，在ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求APPM的值,证明三角形的中位线定理,例5 已知向量a2e13
5、e2，b2e13e2，其中e1、e2不共线，向量c2e19e2.问是否存在这样的实数、，使向量dab与c共线？,解析 d(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使dkc，即(22)e1(33)e22ke19ke2.故存在这样的实数、，只要2，就能使d与c共线,若a、b是两个不共线的向量(tR)，a、tb、 (ab)三向量的起点相同，若三向量的终点共线，则t_.,例7 已知cmanb，设a、b、c有公共起点，要使a、b、c的终点在一条直线上，m、n(m、nR)需满足的条件是 ( ) Amn1 Bmn1 Cmn0 Dmn的值不确定,辨析 对平面向量基
6、本定理的条件不清平面向量基本定理中所说的平面内任意向量m可用平面内的两个向量e1与e2线性表示且表示的结果是惟一的，其先决条件是 不共线 正解 当a，b不共线时，同错解可得mn1；当a与b共线时，不妨设ba，则c(mn)a，于是a，b，c的起点相同时，终点始终在同一条直线上，与m、n、的值无关，综上可知mn的值不确定，故选D.,一、选择题 1设O是ABCD两对角线的交点，下列向量组：其中可作为这个平行四边形所在平面内的所有向量的基底的是 ( ) A， B， C， D， 答案 B,2a，b，ab为非零向量，且ab平分a与b的夹角，则 ( ) Aab Bab C|a|b| D以上都不对 答案 C
7、解析 由向量加法的平行四边形法则知，若ab平分a与b的夹角，则对应的四边形是菱形，因此|a|b|.,3已知e1，e2不共线，a1e1e2，b2e13e2，且a，b共线，则下列各式正确的是 ( ) A231 B21 C221 D241 答案 A,答案 A,6已知e1，e2不共线，ae12e2，b2e1e2，要使a，b能作为平面内所有向量的一组基底，则实数的取值范围是_ 答案 R|4,解析 假设b与a共线，则存在实数x，使bxa(a0)，即2e1e2x(e12e2)， (2x)e1(2x)e20，由条件知a，b能作为基底的基向量， a与b不共线，x2，即4.,7已知向量a与b不共线，实数x，y满足等式3xa(10y)b(4y7)a2xb，则x_，y_.,
