1、12015 年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答（6 月 14 日上午 ）8:301:一、填空题、若三位数 是一个平方数，并且其数字和 也是一个平方数，则称 为超1nabcabcn级平方数，这种超级平方数的个数是 答案： 个3解：可顺次列举出： 10,24,691,2534,01,84529,061、函数 的最大值是 288yxx答案： 3解： ，(8)(6)86yxxx86x其定义域为 ，当 时，此分式的分子最大而分母最小，这时分式的值达最大，其6值为 23、直线 过点 ，若它被两平行线 与 所截得的线段l(1,2)M4310xy4360xy长为 ，则直线 的方程为 答案： 或者 75xy5
2、xy解：设 的方程为 ，将此方程分别与 及 联立，l2(1)k4310xy4360xy解得交点坐标 与 ，据 ，38,4A32108,kB2AB得 ，即 ，所以 ， ，分别代入所设2253kk25()34k17k21方程，得到 或者 71xyxy、 4003sincos2答案： 4解：000000 013cossin113si3co1s3in1244sincosi 2in 024i、满足 的实数 的取值范围是 521xx答案： ,解：用图像法：令 ，此为单位圆的上半圆，它与直线 交点 ，21yxyx1,2半圆位于交点左侧的图像皆在直线 上方；或者三角函数代换法：因 ，令 ，则 ，由条件式 ，平
3、方得1xcos,0siny21x，则 ，又有 ，因此 221x,2x、若实数 ，且 ，则 的取值范6,0yz30,50yzyz42Txyz围是 答案： 12,3解： 5443043Txyzxyzxyzxyz因 ，所以 ，4801()T，则 ，因 非负，于是 ，20(3)()2()xyzxyzxz,xz10x从而由 知， ，得到 ，0()30y（当 时取得等号）,1,zxy再由 ， ，则 ，所以 ，于是4280x1yzx3， （当 时取得等号） ，所以 10()120Tyz,01xyz1203T、在前一万个正整数构成的集合 中，被 除余 ，并且被 除余 ，被72, 35除余 的元素个数是 4答案
4、： 个95解：对于每个满足条件的数 ，数 应当被 除皆余 ，且为偶数；因此， 应n,57121n当是 的公倍数，且为奇数；即 是 的奇倍数，而当 时，3,7210,0n，由于在 中，共有 个数是 的倍数，其中的奇21,9n ,9 905倍数恰有 个5、如图，正四面体 的各棱长皆为 ， 分别是棱 的中点，8ABCD21,ABC,DABC以 为圆心， 为半径，分别在面 内作弧 ，并将两弧各分成五等分，D1, 1,分点顺次为 以及 ，2341,P1234,Q一只甲虫欲从点 出发，沿四面体表面爬行至点 ，则其1爬行的最短距离为 答案： 02sin4解：作两种展开，然后比较；由于 被 分成五段等弧，每段
5、弧对应的中心角各为 ， 被A1B12341,PB012A1BC分成五段等弧，每段弧对应的中心角也各为 ，1234,QC0若将 绕线段 旋转，使之与 共面，这两段弧均重合于以 为圆心，半径为DDAD的圆周， 对应的圆心角为 ，此时，点 之间直线距离为 ，A14P08129614,PQ02sin48若将 绕线段 旋转， 绕线段 旋转，使之皆与 共面，在所得图BBCAC形中， 对应的圆心角为 ，此时，点 之间直线距离为 ，14Q07414, 0i所以最短距离是 2sin二、解答题、正整数数列 满足：9na ；证明：数列的任何211,nnaa4两项皆互质 证：改写条件为 ，从而 ，等等，据此迭代得1(
6、1)nna1()nna，112 1()nn na aa 所以， ，因此当 ， 21 k(,)nk、 （ 分） 为锐角三角形 的垂心，在线段 上任取一点 ，延长 到 ，05HABCCHECHF使 ，作 ， ，其中 为垂足， 是线段 的中点，FCEDEG,DM分别为 的外接圆圆心， 的另一交点为 ；12,O,AB12OAN证明： 、 四点共圆； ,、 四点共圆；212,MN证： 、如图，设 ，连 ，EGDFKAH则因 ， ，,ACBHBC，得 ， ，且KF，所以 ， 与 平行F且相等，故 ，F，因此，09ABDKGB四点共圆；,G、据 ， 为 的直径，作 的直211OA2A径 ，连 ，则BP2,C
7、KHP，所以 ，09C ，故 为平行四边形，进而得，HA与 平行且相等，因此对角线 与 互FKF相平分于 ，从而 是 三边的中M12,OBP点， ，K2NO2O1 GDFMHAB CEPNKO2O1 GDFMHAB CE5而由 ， ，得 ，所以 共线，09KNB12OBNK12O,MNK因此 ，又由 的中位线知 ，因此四边形 是等腰M12P1B12O梯形，其顶点共圆、对于任意给定的无理数 及实数 ，证明：圆周 上至多,ab0r22xaybr只有两个有理点（纵横坐标皆是有理数的点） 证：对于点 ，用 表示上述圆周上有理点的个数；首先，我们可以作一个,PM合于条件的圆，其上至少有两个有理点，为此，
8、取点 ，线段 中垂线 的方0,2,ABAl程为: ,今在 上取点 ，再取 ，则以 为圆心、2xyl12,6rM为半径的圆周上至少有 这两个有理点；r,AB其次说明，对于任何无理点 以及任意正实数 ， ；Mr,2Pr为此，假设有无理点 及正实数 ，在以 为圆心， 为半径的圆周上，至少有三,ab个有理点 ， 为有理数， ，则,iiAxyi 1,23i2222211 3abyxayb据前一等号得 21212xab据后一等号得 2333yxy记 ， ，则 为有理数，2211xyt232t12,t若 ，则由， ，因 为无理数，得 ，故 共点，矛2021ybt 0y12,A盾！同理，若 ，可得 共点，矛盾
9、！3x3,A若 ，由、消去 得，12,有理数，因 为无理数，3123123212xyyxatyty a故得， ，所以 12 206，则 共线，这与 共圆矛盾！3212yxx123,A123,A因此所设不真，即这种圆上至多有两个有理点于是对于所有的无理点 及所有正实数 ，Mr的最大值为 ,PMr、从集合 中删去 个数，使得剩下的元素中，任两个数之和都不是121,236 n的因数，求 的最小值05n答案： 7解：因 ， 中任两个元素之和不大于 ，由于 不大于 的正因5M7120571数有 ，在 的二元子集中，元素和为 的有 ；1,3,65,43元素和为 的有 ；12,310,49,86元素和为 的
10、有 ；0272,15,6元素和为 的有 ；659,5,3为直观起见，我们将其画成一个图，每条线段两端的数为上述一个二元子集，为了不构成这些和，每对数（每条线段）中至少要删去一个数；于是在图(),AB中各至少要删去个4数，图中各至少要删去 个数，图 中至少删去 个数，总共至少要删去 个数(),CD2()E517另一方面，删去适当的 个数，可以使得余下的数满足条件；例如在图 中删去17 ()A，图 中删去 ， 中删去 ， 中删去 ， 中删去12,304()B,93()C23,()D24,6E这时图中所有的线段都已被5, 断开 (E)(D)(C) (B)(A) 3332 3431 1615 1714 18132567242658 28 2123 103236 2920 1135 3019 12 22927414
