1、2011 年.中考点睛提分课.第 1 讲 XXX.教师版 Page 1 of 27代几综合点睛提分4、动点与平行四边形问题兵法：1利用对边平行，进行分类讨论，然后画出要求的点 2利用全等或锐角三角函数求出点的坐标【例 1】 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A（4，0） ，B（0，4） ，C（2，0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，AMB 的面积为 S求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值（3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y x 上的动点，判断有几个位置能够使得点 P、 Q、 B、 O 为顶点的四边
2、形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标xyOBCMA【解析】 （1）设抛物线的解析式为 y ax 2bxc（a0） ，则有解得0246 cba41 cb抛物线的解析式为 y x 2x 4 （2）过点 M 作 MDx 轴于点 D，设 M 点的坐标为（m ， m 2m4）12011 年.中考点睛提分课.第 1 讲 XXX.教师版 Page 2 of 27xyOBCMAD则 ADm4，MD m 2m 41S S AMD S 梯形 DMBO SABO (m4)( m 2m4) ( m 2m 44)( m) 4421121m 24m（4m0）即 S m 24m(m2) 24S 最大值4（3）满足题
3、意的 Q 点的坐标有四个，分别是：（ 4，4） ， （4，4）（2 ，2 ） ， （2 ，2 ）55【例 2】 如图，已知抛物线 y ax 2bxc （a0）的顶点坐标为 Q（2，1） ，且与 y 轴交于点 C（0，3） ，与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的右侧） ，点 P 是该抛物线上一动点，从点 C 沿抛物线向点 A 运动（点 P 与 A 不重合） ，过点 P 作 PDy轴，交 AC 于点 D（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当ADP 是直角三角形时，求点 P 的坐标；（3）在题（2）的结论下，若点 E 在 x 轴上，点 F 在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F 为顶点
4、的平行四边形？若存在，求点 F 的坐标；若不存在，请说明理由【解析】 （1）抛物线的顶点为 Q（2，1） ，设 y a(x2) 21C(0,3)O AB xyDPQ(2,-1)2011 年.中考点睛提分课.第 1 讲 XXX.教师版 Page 3 of 27将 C（0，3）代入上式，得 3a(02) 21a1 该抛物线的函数关系式为 y (x2) 21即 y x 24x 3 （2）如图 1，有两种情况：O AB xyDPQ(2,-1)(P1)(P2)D1D2H图 1当点 P 为直角顶点时，点 P 与点 B 重合令 y0，得 x 24x 30，解得 x11，x 23 4 分点 A 在点 B 的右
5、侧，B（ 1，0） ，A（3，0） 5 分P 1（1，0） 6 分当点 A 为直角顶点时OAOC，AOC90 ，OAD 245当D 2AP290时，OAP 245，AO 平分D 2AP2又P 2D2y 轴，P 2D2AO，P 2、D 2关于 x 轴对称设直线 AC 的函数关系式为 y kxb，将 A（3，0） ，C（0，3）代入得：解得y x3D 2在 y x3 上，P 2在 y x 24x3 上设 D2（x，x3） ，P 2（x，x 24x3）(x3)(x 24x 3)0 ，即 x 25x60解得 x12，x 23（舍去）当 x2 时，y x 24x32 24231P 2的坐标为 P2（2，
6、1） （即为抛物线顶点） 9 分P 点坐标为 P1（1，0） ，P 2（2，1） 10 分（3）由题（2）知，当点 P 的坐标为 P1（1，0）时，不能构成平行四边形当点 P 的坐标为 P2（2，1） （即顶点 Q）时2011 年.中考点睛提分课.第 1 讲 XXX.教师版 Page 4 of 27如图 2，平移直线 AP 交 x 轴于点 E，交抛物线于点 FC(0,3)O AB xyDPQ(2,-1)图 2F1 F2E2(P2)E1当 APFE 时，四边形 APEF 是平行四边形P（2，1） ，可令 F（x，1）x 24x31，解得 x12 ，x 22故存在以 A、P 、E、F 为顶点的平行
7、四边形，点 F 的坐标为：F1（2 ，1） ，F 2（2 ，1）【例 3】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，1）三点 （1）求该抛物线的表达式；（2）点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上，要使以点 Q、P、A、B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 P 的坐标xyO BCA【解析】 设该抛物线的表达式为 y ax 2bxc，根据题意，得解得 1039cba1 31 cba所求抛物线的表达式为 y x 2 x132011 年.中考点睛提分课.第 1 讲 XXX.教师版 Page 5 of 27（2）当 AB 为边时，只要 PQAB，且
8、 PQAB4 即可又知点 Q 在 y 轴上，点 P 的横坐标为 4 或4，这时，符合条件的点 P 有两个当 x4 时，y ；当 x4 时，y 735xyO BCAP1P3Q3Q1P2 Q2P 1（4， ） ，P 2（4，7）35当 AB 为对角线时，只要线段 PQ 与线段 AB 互相平分即可又知点 Q 在 y 轴上，且线段 AB 中点的横坐标为 1点 P 的横坐标为 2，这时，符合条件的点 P 只有一个当 x2 时，y 1P 3（2，1）综上，满足条件的点 P 有三个，其坐标分别为：P1（4， ） ，P 2（4，7） ，P 3（2，1）35【例 4】 已知抛物线 y x 2bx c 交 y 轴
9、于点 A，点 A 关于抛物线对称轴的对称点为B（ 3， 4） ，直线 y x 与抛物线在第一象限的交点为 C，连结 OB4（1）求抛物线的解析式；（2） 如图（1） ，点 P 在射线 OC 上运动，连结 BP，设点 P 的横坐标为 x，OBP 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式；（3）如图（2） ，点 P 在直线 OC 上运动，点 Q 在抛物线上运动，试问点 P、Q在运动过程中是否存在以 O、 B、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形的情况，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由xyOA BC P图（1）xyOA BC图（2）xyOA BC备用图2011 年.中考点睛提分
10、课.第 1 讲 XXX.教师版 Page 6 of 27【解析】 （1）B （3，4） ，点 A 与点 B 关于抛物线的对称轴对称，A（0，4）把 A（0，4） 、B（3，4）代入 y x 2bxc 得： 抛物线的解析式为 y x 2 3x4 （2）如图（1） ，连结 AB，作 PDy 轴，则 D（0， x）41S 梯形 ABPD ( x3 )( x4 ) x 2 x621819SAOB 34 6，S DOP x x x 24y S 梯形 ABPDS AOB S DOP x （3）平移线段 OB，使点 B 落在直线 y x 上，落点为 P，点 O1落在抛物线上，落点为 Q，则四边形 OBPQ
11、为平行四边形设 P（x ， x） ，O（0，0） ，B（3，4）41Q（x3， x4）点 Q 在抛物线上， x4( x3 )23( x3 )41整理得：4x 237x 400，解得：x 8 或 x 5P 1（8，2） ，P 2（ ， ）4516平移线段 OB，使点 O 落在直线 y x 上，落点为 P，点 B 落在抛物线上，落点4为 Q，则四边形 OBQP 为平行四边形设 P（x ， x） ，O（0，0） ，B（3，4） ，Q（x3， x4）41 1点 Q 在抛物线上， x4( x3 )23( x3 )41整理得：4x 211x 0，解得：x 0（舍去）或 xP 3（ ， ）16平移线段 OP
12、3，使点 P3与点 O 重合，则点 O 落在直线 y x 上点 P4处，四边1形 OPBQ 为平行四边形P 4（ ， ）16综上所述，符合条件的点 P 有 4 个，分别是：P 1（8，2） ，P 2（ ， ） ，451xyOB图（2）P2P3P1Q1P4Q2Q3(Q4)xyOA BCPD图（1）2011 年.中考点睛提分课.第 1 讲 XXX.教师版 Page 7 of 27P3（ ， ） ，P 4（ ， ）41616【例 5】 如图，抛物线交 x 轴于点 A（2，0） ，点 B（4，0） ，交 y 轴于点 C（0，4） （1）求抛物线的解析式，并写出顶点 D 的坐标；（2）若直线 yx 交抛
13、物线于 M，N 两点，交抛物线的对称轴于点 E，连接BC，EB，EC试判断EBC 的形状，并加以证明；（3）设 P 为直线 MN 上的动点，过 P 作 PFED 交直线 MN 下方的抛物线于点F问：在直线 MN 上是否存在点 P，使得以 P、E、D、 F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P 及相应的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由【解析】 （1）设抛物线的解析式为 y ax 2bxc（a0）点 A、B 、C 均在此抛物线上 所求的抛物线的解析式为 y x 2x 4 ，顶点 D 的坐标为（1， ）1 29（2）EBC 的形状为等腰三角形 证明：（法一）直线 MN 的函数解析式为
14、 yxON 是BOC 的平分线 B、C 两点的坐标分别为（ 4，0） ， （0，4）COBO4MN 是 BC 的垂直平分线 CEBE即ECB 是等腰三角形 PF（法二）直线 MN 的函数解析式为 yxON 是BOC 的平分线COEBOE B、C 两点的坐标分别为（ 4，0） 、 （0，4）COBO 4 又 OEOECOEBOE CEBE2011 年.中考点睛提分课.第 1 讲 XXX.教师版 Page 8 of 27即ECB 是等腰三角形 （法三）点 E 是抛物线的对称轴 x1 和直线 yx 的交点E 点的坐标为（1，1）利用勾股定理可求得 CE ，BE 23 0213 0CEBE 即ECB
15、是等腰三角形 （3）解：存在 PFED要使以 P、E、D、F 为顶点的四边形是平行四边形，只要使 PFED点 E 是抛物线的对称轴 x1 和直线 yx 的交点E 点的坐标为（1，1）ED1( ) 297点 P 是直线 yx 上的动点设 P 点的坐标为（k ，k ）则直线 PF 的函数解析式为 xk点 F 是抛物线和直线 PF 的交点F 的坐标为（k ， k 2k4）1PFk( k 2k4) k 24 k 24 k 1 17当 k1 时，点 P 的坐标为（1，1） ，F 的坐标为（1， ）29此时 PF 与 ED 重合，不存在以 P、F、D、E 为顶点的平行四边形当 k1 时，点 P 的坐标为（
16、1，1） ，F 的坐标为（1， ）5此时，四边形 PFDE 是平行四边形5、动点与梯形问题兵法：1利用对边平行，进行分类讨论，然后画出要求的点 2利用一次函数与二次函数联立求交点坐标【例 1】 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线的解析式是 y x 21，点 C 的坐标为42011 年.中考点睛提分课.第 1 讲 XXX.教师版 Page 9 of 27（4，0） ，平行四边形 OABC 的顶点 A，B 在抛物线上，AB 与 y 轴交于点 M，已知点 Q（x，y）在抛物线上，点 P（t ，0）在 x 轴上（1）写出点 M 的坐标；（2）当四边形 CMQP 是以 MQ，PC 为腰的梯形时求 t
17、关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围；当梯形 CMQP 的两底的长度之比为 1 : 2 时，求 t 的值xyOBCA11PQM【解析】 （1）OABC 是平行四边形， ABOC，且 ABOC4A，B 在抛物线上，y 轴是抛物线的对称轴， A，B 的横坐标分别是 2 和2代入 y x 21，得 A（2，2） ，B（2，2）4M（ 0，2）（2）过点 Q 作 QHx 轴于 H，连接 CM则 QHy，PHxt由PHQ COM，得： ，即 tx 2y2y4Q（x，y）在抛物线 y x 21 上t x 2x 2 1当点 P 与点 C 重合时，梯形不存在，此时， t 4，解得 x 1 5当 Q
18、与 B 或 A 重合时，四边形为平行四边形，此时， x 2x 的取值范围是 x1 且 x2 的所有实数5分两种情况讨论：）当 CMPQ 时，则点 P 在线段 OC 上CMPQ，CM2PQ，点 M 纵坐标为点 Q 纵坐标的 2 倍即 22( x 21)，解得 x04t 02 022 ）当 CMPQ 时，则点 P 在 OC 的延长线上CMPQ，CM PQ，点 Q 纵坐标为点 M 纵坐标的 2 倍2011 年.中考点睛提分课.第 1 讲 XXX.教师版 Page 10 of 27即 x 2122，解得：x 432当 x 时，得 t ( )2 28313当 x 时，得 t ( )2 2 823【例 2
19、】 如图，在菱形 ABCD 中，AB2cm，BAD 60，E 为 CD 边中点，点 P 从点 A开始沿 AC 方向以每秒 cm 的速度运动，同时，点 Q 从点 D 出发沿 DB 方向32以每秒 1cm 的速度运动，当点 P 到达点 C 时，P，Q 同时停止运动，设运动的时间为 x 秒（1）当点 P 在线段 AO 上运动时请用含 x 的代数式表示 OP 的长度；若记四边形 PBEQ 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ；（2）显然，当 x0 时，四边形 PBEQ 即梯形 ABED，请问，当 P 在线段 AC 的其他位置时，以 P，B，E ，Q 为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的 x 的值；若不能，请说明理由OEA CQDBP【解析】 （1）由题意得BAO30 ，AC BDAB2，OBOD1，OA OC OP x 332如图 1，过点 E 作 EHBD 于 H，则 EH 为COD 的中位线EH OC ，DQx，BQ 2x23OEA CQDBH图 1PyS BPQ SBEQ (2 x)( x )323
