1、1材料非线性问题有限元方法教学要求和内容1. 掌握弹塑性本构关系和塑性力学的基本法则;2. 掌握弹塑性增量分析的有限元格式;3. 学习常用非线性方程组的求解方法:(1) 直接迭代法;(2) Newton-Raphson 方法,修正的NR 方法;(3) 增量法等。请大家预习,争取对相关内容有大概的了解和把握。2弹塑性增量有限元分析一材料弹塑性行为的描述弹塑性材料进入塑性的特点:存在不可恢复的塑性变形;卸载时:非线性弹性材料按原路径卸载;弹塑性材料按不同的路径卸载,并且有残余应变,称为塑性应变。31单向加载1) 弹性阶段: 卸载时不留下残余变形;2) 初始屈服: s3) 强化阶段:超过初始屈服之后
2、,按弹性规律卸载,再加载弹性范围扩大: , 为相继屈服应力。ss44) 鲍氏现象(Bauschinger):二塑性力学的基本法则1初始屈服准则: 00(,)ijFk已经建立了多种屈服准则:(1) V. Mises 准则: 00 0(,)()ij ijFkfk22 001 1() ( ),()2 3ij ij sfsJ k 第 二 应 力 不 变 量 122, ( )ijijijm ms 偏 应 力 张 量 : 平 均 应 力 :(2) Tresca 准则(最大剪应力准则):0max() 0ij sFS562流动法则V. Mises 流动法则:, 待定有限量0(,)()ij ijpij ij i
3、jFkfd d 0d塑性应变增量 沿屈服面当前应力点的法线方向增加。pijd因此,称为法向流动法则。3硬化法则:(1)各向同性硬化: (,)()0ij ijFkfk等效塑性应变,可由单拉试验确定。2 2(),3 3pppps ijijk d7(2)运动硬化法则:* Prager 运动硬化准则;Zeigler 修正的运动硬化准则。(3)混合硬化法则:84加载卸载准则:(1)若 ,且 ,则继续塑性加载(,)0ijFk()0ijijijf(2)若 ,且 ,则按弹性卸载(,)0ijFk()0ijijijf(3)若 ,且 ,(,)0ijFk()0ijijijf1)对理想塑性材料,则继续塑性流动;2)对硬
4、化材料,则继续塑性加载,但塑性应变增量为零。 0pd9三弹塑性增量的应力应变关系1建立弹塑性增量应力应变关系的原则(1)一致性条件:塑性加载时,应力仍在屈服面上(2)流动法则:新的塑性应变增量, ,在屈服面上的原应力pijd点的外法线方向。(3)弹性应力应变关系:应变增量的弹性应变部分与应力关系仍服从胡克定律。102各向同性硬化材料的应力应变关系(1)一致性条件, (,)(,)(,)0ij ijij ijdFFddF0ijijd具体形式:, 单向拉伸试验测得。203sijspijfddsppE(2)流动法则:, ()ijpij ijfd 1()2ij ijfs1122 223 333ppppp
5、pijij ijij sijfddddd(3)应力应变关系: epijijijdd() )e p pijijklklijklklklijklklijklklDDdDdDd注意:屈服条件是已知的,我们应该将塑性应变通过已知量表示出来。根据流动规则, ,需要确定 。()ijpij ijfd d12, 249eijklklijeijkl spij klfDddffEsppE()ijpijijfd2()( ) 49ee pijijklklijklklkle klijklkl kl emnqree nijklklijkl qrekl mnqr spnqrepepijklklijklklijklkldDd
6、Ddf fDfDdD dffEddDd 弹性张量: ,e eeijklijijlkldd塑性张量: 14,249e eijpq mnklpqpijkl emnqr spqrffDDffE 2 49Te ep e spffDDffE弹塑性张量: epeijklijklijklDDepepijijklklijklklijklkldddd写成矩阵形式:e pepdDdDdDd15四弹塑性增量有限元格式1 弹塑性问题的增量方程将物体的作用荷载分成很多阶段,以模拟加载历史。假设在 t 时刻作用的荷载: (体积力) , (表面力) , (已知位移),以及所tFtTtu对应的响应(应力 ,应变 ,位移 )已
7、知。求 时刻对应tijtijti tt的响应:, , tttFFtttTTtttuu, , tttijijijtttijijijtttiii16由虚功方程(虚位移原理)描述的控制方程为: ()()()()()()0t t tijij ij i isdxFudxTuds ()()()()()()ijij i ist t tijij i isdxFudxTudsdxudxs ()()()()()()tepijklklij i ist t tijij i isDdxFudxTudss 写成矩阵形式17tep st t tsDdxuFdxuTdss 将物体离散成有限单元,单元内任意点的位移增量通过形函
8、数用单元节点位移增量表示:位移: euNa应变: eB带入虚功原理:tKaQ,et tete tepetttt ttetteKBDBdxQQQQ 18 ee ee ete teptte tt ttste t tsKBDBdxQNFNTdxdxdx 19采用纯增量法作弹塑性有限元分析的步骤以下仅限于简单加载过程(无反复加卸载过程)和 Mises 各向同性强化材料: 1. 开始,输入初始参数(几何;材料性质, , ;边界条件;外0sPE载荷)2. 将外载荷一次加上作线弹性分析 (Mi.条件)maxq如果 不存在塑性区则为弹性问题 直接输出结果 结束!0maxs否则 作弹塑性分析0axs3.计算弹性
9、极限 eQ设 , 则 0max/seQP20并可输出弹性极限载荷 下的结果 。eQeeeq、 、4.对剩余载荷 作弹塑性分析r eQ如果采用等增量步格式,则将 等分为 N 个增量步,即每一增量r步载荷为: 。下面 5.中是对 N 个增量步循环。rQN5.在 i 步上施加一个增量载荷 。已知当前状态下(i -1 步终) ,各单Q元的(or 高斯点) , , 。判断三种类型的单元: 1)弹性 s2)塑性 3)过渡单元。对本增量步内所有过渡单元经过 23 次迭代得到合适的 ,计算各单元的 ,并集合所有单元,形成总刚epD tk,求解 得 得到第 i 步的解。TKTKaQia和 ; 1ii ia1ii i1ii i21同时记录下各单元的当前状态。 ,ss如果,荷载步为卸载,则采用弹性应力应变关系。6.直至全部载荷施加完毕,输出结果,结束