1、Plya计数法的应用,南京外国语学校 陈瑜希,问题描述,06年江苏上海选拔赛 染色图是无向完全图，且每条边可被染成k种颜色中的一种。 两个染色图是同构的，当且仅当可以改变一个图的顶点的编号，使得两个染色图完全相同。 问N个顶点，k种颜色，本质不同的染色图个数（模质数NP109）。 N53,1,2,3,1,2,3,问题描述,3,1,2,1,3,2,问题描述,问题描述,N=3 K=2,简单分析,枚举会超时普通的乘法原理无法求解,Burnside引理,设G是置换群，C是G的着色集合。 C中的不等价着色数为：使着色通过G中的置换保持不变的着色的平均数。,Plya定理,假设有k种不同的颜色，某个置换的循
2、环数为c，则对于这个置换，通过它保持不变的着色数为，k的c次方。,例题分析,放在这个问题中，置换群中的对象就是所有的边，染成k种颜色，G就是由点的置换引起的边的置换的群。,分析,例如N=3时一共有3条边。 点的不同排列有3!=6种。 由点的置换而引起的对应的边的置换如下：,1,2,3,3,1,2,分析,先求出每个置换的循环数c 根据Plya定理，可求出本质不同的方案数：,分析,这个算法十分直观，直接套用了Plya定理，但需要枚举每个对于点的置换，并求循环数。时间复杂度为 O(N!N2)。 对于本题N53的数据范围，这个算法会超时。,分析,再进一步分析问题，会发现，其实这N!个置换中，有许多是类
3、似的，比如：,分析,观察这些对于点的置换，发现它们都是由一个长度为1和一个长度为2的循环组成。 显然它们对应的边的置换，也是类似的。如果把每个置换都处理一遍，是很浪费的。 这3个，只要处理一个即可。,分析,枚举出所有本质不同的对于点的置换，并对每种置换求下面2个值 1、该种置换的对应边的置换的循环节数 2、与该种置换类似的置换总数,分析,要保证枚举出来的对于点的置换各不相同，只需枚举它的所有循环节长度，设为Li，并保证 0L1L2Lm L1+L2+Lm=N N=53时，一共要需要枚举329921种不同情况。,分析,然后需要把对应点的循环信息转化成对应边的置换的循环节数,分析,假设点i与点j同属
4、于一个长度为L的循环中， 则 (i,j)组成的置换中循环节个数为 有一个长度为5的循环(1,2,3,4,5) (1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,1) (1,3),(2,4),(3,5),(4,1),(5,2),分析,假设点i与点j各属于长L1和L2的两个不同循环中，则这样的边(i,j)组成的置换中循环节个数为(L1,L2)。 (1,2) (3,4,5,6) (1,3),(2,4),(1,5),(2,6) (1,4),(2,5),(1,6),(2,3),分析,还需要求出与其类似的置换数 假设已确定了0L1L2Lm ，接下来就是将1N这N个点分别放入这m个循环节中，满足第i个循
5、环中恰含有Li个点，这相当于m个圆排列问题，可知一共有,种不同方式。,分析,如果有Li=Li+1=Lj，那么每(j-i+1)!种方案又是重复的，所以还要除以(j-i+1)!,分析,所以总的置换个数就是每个循环的长度为L 每组Li=Li+1=Lj s为j-i+1,分析,需要计算很多T2-1，其中T2很大，而且是-1次的，难道要分解质因数了吗？ P是质数，且满足NP。 所以T2也与P互质 由数论知识可知： T2p-11 (mod p) T2-1 T2p-1T2-1=T2p-2 (mod p) 所以可以把T2-1转化为求T2p-2，可用倍增的方法在O(Logp) 的时间内求解。,本题总结,这个问题遇
6、到了这样的困难： 置换的个数偏多而导致不能对每个置换都算其循环数 解决的方法，就是找出置换群中相似的置换，而不重复计算 这个去除冗余运算的方法在Plya计数问题中经常用到 对于每类相似置换个数的计算，也需要扎实的数学功底。,全文总结,信息学竞赛中经常出现这类问题。比如 Transportation is fun (spoj 419) Hes Circles (sgu 294) Cubes (uva 10601) 它们在直接使用公式时往往会遇到一些困难。这些困难虽然不同，但也有一些相似之处。,全文总结,Plya计数法不仅仅能解决许多计数问题，它的证明过程也是相当有意思的。 灵活使用Plya计数法
7、，不仅仅需要熟练掌握此类问题的性质，还要有扎实的数学功底和分析问题能力。 数学方法是解决问题的工具，而分析问题能力是算法的源泉。,谢谢大家!,分析,下面讨论一下如何计算： 一部分是MT1，其中T1并不大，MT1 mod P可以用倍增的思想在log(T1)时间内计算。,证明,设c为 中的一种着色，那么与 c 等价的着色数等于G中的置换个数除以 c 的稳定核中的置换个数。,证明,定理1：对于每一种着色c，c的稳定核G(c)是一个置换群，而且对 G 中任意置换f与 g，g*c=f*c 当且仅当 f-1 g 属于 G(c)。,证明,假设f*c=g*c 则所以 f-1 g使c不变，因此，f-1 g 属于
8、G(c)。 反之，假设f-1 g属于G(c) ，通过类似的计算可证得f*c=g*c,证明,推论：设c为 中的一种着色，那么与 c 等价的着色数等于G中的置换个数除以 c 的稳定核中的置换个数。,证明,设 f 是 G 中的一个置换，根据定理1，满足g*c=f*c的置换 g 实际上就是 中的那些置换。 由消去律，则从f h=f h得到h=h。 集合中 的置换个数等于G(c)中置换的个数。 因为总共有|G|个置换，所以，与c等价的着色数等于,证明,我们要数使f保持c不变即f*cc的对偶(f,c)的个数。,证明,一种计数的方式是考察G中的每个f ，并计算f保持着色不变的着色数，然后相加所有的量。设D(f)是通过f保持着色不变的着色集，所以用这种方式计数得到,证明,另一种计数的方式按等价类将着色归类。 在同一等价类中，两种着色对和贡献了同样的量，每个等价类的总贡献是|G|。 因此，不同等价类数目就是： 通过每个置换保持着色不变的着色除以置换总数。,证明,要得到在置换下稳定不动的方案，即把置换的每个循环节都染上相同的颜色。 假设有k种不同的颜色，某个置换的循环数为c，则对于这个置换，通过它保持不变的着色数为，k的c次方。,
