1、基金使用计划2001CNMCM C题,1 问题的提出：,某校基金会有一笔数额为M的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。校基金会计划在n年内每年使用部分本息奖励优秀学生，要求每年的奖金额大致相同。且在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金数额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=1000万元，n=10年给出具体结果：A 只存款不购买国库券；B 可存款也可购买国库券；C 学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其
2、它年度多20%。,当前银行存款及各期国库券的利率表：,项目 年利率（%） 一、城乡居民及单位存款 （一）活期0.72（二）定期 1.整存整取 三个月3.33半年3.78一年4.14二年4.68三年5.40五年5.852.零存整取、整存零取、存本取息 一年3.33三年3.78五年4.143.定活两便按一年以内定期整存整取同档次利率打6折二、协定存款1.53三、通知存款.一天1.17七天1.71,2007年12月 1年期记账式国债的票面年利率为3.66；10年期记账式特别国债（八期）的票面年利率为4.41；3月期的第十九期记账式国债的票面利率为3.38%；15年期记账式特别国债（七期）票面利率为4
3、.45；2007年12月5日至2007年12月20日发行的凭证式（五期）国债，有3年期240亿元，票面年利率5.74%；5年期60亿元，票面年利率6.34%。,2 基本假设问题的本身尚有一些不确定的因素：比如说基金到位的时间，每年奖金发放日期，银行利率的变动情况等。为使问题简化，我们给出如下假设：(1) 该笔资金于年底一次性到位，自下年起每年年底一次性发放奖金，每年发放的奖金为固定的，记为yn。(2) 仅考虑购买二年、三年、五年期国库券的情况，假设三种期限的国库券每年至少发行一次，且只要想买，就一定能买到。(3) 银行存款利率和国库券的利率执行现行利率标准，且在n年内不发生变化。(4) 国库券
4、提前支取，按同期银行存款利率记息，且收取2%的手续费。 3 基本模型：3.1 模型一 单纯存款模型,设将一元钱存入银行k年（包括中途转存），到期时本息最多可到rk元，则假设第k年有Mk元的存款到期，到期时取出，本息和最大可达rkMk。现将M元分成n份，分别记为 ：M1 ,M2 , M3 ,Mn。将Mk元存入银行k年，到期时取出，将本息和作为第k年的奖金（第n年本息和除作为奖金外，还要留下原始本金M），则应有：,上式给出了n年内每年的奖金额yn与M的比值。该式的关键在于如何求出rk，k=1, 2, ，n. 下面我们给出rk的算法：,设将1元钱存入银行k年，k年存期中有x1个一年期，x2个二年期，
5、x3个三年期，x5个五年期，记Ak（x1,x2,x3,x5)为其本息和，则Ak(x1,x2,x3,x5)=,其中 x1+2x2+3x3+5x5=k 且 rk=maxAk(x1,x2,x3,x5) (4),容易看出，任意交换二个存期的次序不改变本息和。例如，先存一年期后存三年期与先存三年期后存一年期，到期时本息和是一样的。不仅如此，经计算可知以下五式成立：,上式表明，存2个一年期不如一次存一个二年期，存1个一年期再转存1个二年期不如一次存1个三年期，以此类推，存2个三年期不如先存1个一年期再转存1个五年期。据此我们得到如下定理：,3.2 模型二 可存款可购国库券模型仍将M 分成M1, M2,Mn
6、共分成n份，Mk可作存款或购买国库券用，其本息和用作第k年的奖学金，最后一年除奖金外，还应留下基金本金M。由于国库券在一年内不定期发行，为保证当有国库券时能及时买到，可以考虑将这笔钱以半年定期存入银行，若在上半年发行国库券，以活期利息提前支出，购买国库券，当国库券到期时取出，再存一个半年定期，剩余的时间以活期记息；若在下半年发行国库券，此时半年定期已到期，立即取出，购买国库券，国库券到期时取出，剩余时间再存活期。购买国库券之前及到期取出之后的两端时间之和为一年（其中半年为定期，半年为活期），因此购买一个K年期的国库券实际需要K+1年。通过分析可以得出，要获得最大的资金增值，应选择一年定期、二年
7、定期、三年定期及三年国库券和五年国库券，而不应选择二年,期国库券和五年定期存款（为什么？）。为了叙述方便，把买三年期国库券加半年定期及半年活期存款看成一个四年期存款，到期时资金增长系数为,把买五年期国库券加半年定期及半年活期存款看成一个六年期存款，到期时资金增长系数为：,设将Mk的本息用作第k年的奖学金，k年中有x1个一年期，x2个二年期，x3个三年期，x4个四年期，x6个六年期，则到期时资金增长系数为：,类似于单纯存款模型的分析，要使Bk(x1,x2,x3,x4,x6)取最大值，只需取：,3.3 模型三 基于百年校庆的最佳投资模型：采用模型一的记号及处理方法，则应有： Mk=Skyk k=1,2,，n-1,k3 M3=(1+r)S3yn (12),四 基本结果与分析模型一至模型三就不同情况给出了最佳投资方案，根据本题所给条件，得到具体结果如下表 : (剩余的资金为Mn)最佳投资MK分配表（单位：万元，精确到0.doc,
