1、,第二篇 运动学,运动学的一些基本概念,是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。(包括:轨迹，速度，加速度等)不考虑运动的原因。,建立机械运动的描述方法建立运动量之间的关系,为后续课打基础及直接运用于工程实际。,( relativity ):参考体(物);参考系;静系;动系。,1)点的运动 2)刚体的运动,引 言,运动学的具体内容,第五章 点的运动学,第六章 刚体的简单运动,第七章 点的合成运动,第八章 刚体的平面运动,第五章 点的运动学,直角坐标法,自然坐标法,第五章 点的运动学,矢量法,5-1 点的运动矢量表示法,一、点的运动方程,动点M在运动过程中,其矢径r 的末端在空间描绘出的
2、曲线，称为动点M的运动轨迹，亦称矢端曲线。,二、点的运动轨迹矢端曲线,动画：雷达与飞机,三、点的运动速度,四、点的运动加速度,矢端曲线,速度 矢径矢端曲线切线,加速度 速度矢端曲线切线,五、矢径法的特点,宜定性分析,不宜定量分析,点的运动轨迹未知时，常用直角坐标法。,一、点的运动方程,5-2 直角坐标法,，,，,直角坐标与矢径坐标之间的关系,在工程实际中，经常遇到点在某平面内运动的情形，此时点的运动方程可简化为,二、点的运动速度,点的运动速度如可用直角坐标表示，即,上式消去时间t，可得轨迹方程为,比较以上两式，可得,动点的速度在直角坐标轴上的投影等于其相应的直角坐标对时间的一阶导数。,动点M的
3、速度矢可写为,方向,速度的大小,三、点的运动加速度,动点的加速度：速度对时间的一阶导数,加速度矢量亦可表示为,可见，动点的加速度在直角坐标轴上的投影等于其相应速度投影对时间的一阶导数，也等于其相应的坐标对时间的二阶导数。加速度的大小和方向余弦为,例 5-1 椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其端点C 与规尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺A，B 两端分别在相互垂直的滑槽中运动。,求： M 点的运动方程；, 轨迹；, 速度；, 加速度。,解：点M作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。,运动方程,消去t, 得轨迹,求：运动方程、轨迹、速度和加速度。,已知：,速度,求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
4、,已知：,加速度,求：运动方程、轨迹、速度和加速度。,已知：,例5-2 正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速转动，它与水平线间的夹角为 其中 为t = 0时的夹角， 为一常数。已知动杆上A，B两点间距离为b。求点A和B的运动方程及点B的速度和加速度。,解： A，B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。,运动方程,求： A，B点运动方程；, B点速度、加速度。,已知：,B点的速度和加速度,周期运动,求： A，B点运动方程；, B点速度、加速度。,已知：,例5-3 如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在套筒内作直线往复运动。设活塞的加速度 （ 为活塞的速度，k为比例常数)，初速度为 。求活塞
5、的运动规律。,解：活塞作直线运动，取坐标轴Ox如图所示,5-3 自然坐标表示法,一、点的运动方程,1.弧坐标,2.运动方程,点的运动轨迹已知时，宜用自然坐标法。,坐标原点0：已知轨迹上任选一点。,坐标正方向：坐标原点O的某一侧为正向。,弧坐标：沿轨迹从O到点M的弧长。,1.过点M做轨迹的切线，以表示切线的单位矢量。,二、自然轴系,2.过点M做一平面垂直于切线，称为法平面。,3. 法平面与密切面的交线，称为主法线，取n为主法线单位矢量，正向指向曲线凹侧。,4. 过点M在法平面内做一直线垂直 于n，称为副法线，取b为副法线 单位矢量，其方向由右手螺旋法 则确定，且满足下式,以点M为原点，切线、主法
6、线和副法线为坐标轴组成的随点M一起运动的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系。,自然坐标法：用弧坐标建立运动方程，研究点的速度和 加速度沿自然轴系各分量的物理意义。,自然坐标轴的几何性质,因为,方向同,所以,当 时， ， 与 垂直，且,三、点的运动速度,点的速度v是一个矢量，它的方向沿轨迹的切线，如图所示。,速度的大小等于弧坐标对时间的一阶导数，即,如果ds/dt0，则速度与的正向相同，弧坐标随时间而增大。反之，速度与的正向相反。,四、点的运动加速度,速度对时间求一阶导数，得,。,代入,则,切向加速度,法向加速度,曲线匀变速运动,曲线匀速运动,常数,常数,全加速度,例5-4 半径为r的轮子沿直
7、线轨道无滑动地滚动（称为纯滚动），设轮子转角 为常值），如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点 M 的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。,解：M点作曲线运动，取直角坐标系如图所示。,由纯滚动条件得,又点M的切向加速度为,则有,讨论：当 时,1） 即：纯滚动时，轮子与地面接触点的速度为零；,2） 即：纯滚动时，轮子与地面接触点的加速度不为零，接触点的加速度方向向上。,【例5-5】已知弧BC的半径为R，摇杆以匀角速度绕O轴转动，当运动开始时，摇杆在水平位置。试分别用直角坐标法和自然法给出点M的运动方程，并求出其速度和加速度。,解：(1) 直角坐标法,求导后可得点M速度和加
8、速度：,(2) 自然坐标法：,于是点M速度和加速度分别为,证明：设加速度为a, 则经过时间t 后,动点A走过 的弧长和速度分别为,【例5-6】 动点A沿如图所示的圆周做匀加速圆周运动。已知圆周半径为R，初速度为零。若点A的全加速度与切线间的夹角为，并以角表示点走过的圆弧s所对应的圆心角，试证明：tan=2。,动点A的法向加速度可表示为,动点A的全加速度与切线间的夹角可表示为,这样原问题的结论成立。,【例5-7】 如图所示的平面机构中，两杆的运动通过套筒M而联系起来，初始时杆O1M与点O成一直线。已知OO1 =O1M=r，试求套筒M的运动方程以及它的速度和加速度。,解：(1)自然法。取套筒初始位
9、置M0为弧坐标s的原点，以套筒的运动方向为弧坐标s的正向，由图可知,上式可写为,这就是用自然坐标表示的套筒M运动方程。上式对时间求一阶导数，可得套筒M的速度,套筒M的切线和法向加速度分别为,套筒M的加速度大小为,(2)直角坐标法。 选取固定直角坐标系Oxy，则有,套筒M在直角坐标系中的运动方程,，,，,上式对时间求一阶导数，可得套筒M的速度,套筒M的速度的大小和方向分别可表示为,套筒M的加速度在两个坐标轴上的投影,套筒M的加速度的大小和方向分别可表示为,显然，两种方法的结果完全一致，本题用自然坐标法较简便，且物理概念清晰。,思考题： 1 与 有何不同?就直线和曲线分别说明。,(直线.曲线都一样
10、), 为速度的 大小变化率,在曲线中应为切向加速度 。,2 指出在下列情况下,点M作何种运动?, , , , ,(匀变速直线运动),(匀速圆周运动),(匀速直线运动或静止),(直线运动),(匀速运动),(圆周运动),(匀速运动),(直线运动),(匀速曲线运动),(匀变速曲线运动),3 点作曲线运动,画出下列情况下点的加速度方向。(1)M1点作匀速运动(2)M2点作加速运动(3)M3点作减速运动,4 判断下列运动是否可 能出现,若能出现判断是什么运动?,(加速运动) (不可能) (匀速曲线运动),(不可能或改作 直线减速运动),(不可能) (减速曲线运动),(不可能或改作线加速运动),5 点作直线运动时,若其速度为零,其加速度也为零点作曲线运动时,若其速度大小不变,加速度是否一定为零,答:不一定.速度为零时加速度不一定为零(自由落体上抛到顶点时)加速度不一定为零，只要点作曲线运动，就有向心加速度,6 切向加速度和法向加速度的物理意义？,答： 表示速度大小的变化 表示速度方向的变化,7 点M沿着螺线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次方成正比，问点的加速度是越来越大，还是越来越小？点是越跑越快，还是越跑越慢？,由于点由外向内运动,曲率半径 越来越小,所以加速度越来越大。而速度 v =常数,故点运动快慢不变。,解：,Thank You !,
