1、分治策略总结(1),分治策略适用的四个条件,该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题; 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解； 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。,分治策略总结(2),分的策略 黑盒划分-合并排序，Strassen矩阵乘法； 白盒划分-快速排序，二分搜索，线性时间选择，最接近点对； 问题转换-棋盘覆盖问题。 合的策略-用O(n)的算法把子问题的解合并成原问题的解。更简单的是用O(1)的算法进行合并。,算法总体思想(1),动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干
2、个子问题,但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的,有些子问题被重复计算了许多次。 不同子问题的数目常常只有多项式量级。,算法总体思想(2),如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。,矩阵连乘问题,给定n个矩阵 ， 其中 与 是可乘的， 。考察这n个矩阵的连乘积,若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。,由于矩阵乘法满足结合律，所以计算矩阵的连乘可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定；,完全加括号的矩阵连乘积,（
3、1）单个矩阵是完全加括号的； （2）矩阵连乘积 是完全加括号的，则 可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积 和 的乘积并加括号，即,16000, 10500, 36000, 87500, 34500,完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：设有四个矩阵 ，它们的维数分别是：总共有五种完全加括号的方式,矩阵连乘问题(3),给定n个矩阵A1,A2,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2 ,n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。,穷举法：列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的计算次序。,算法复杂
4、度分析：对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序数目为P(n)。由于每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题：(A1.Ak)(Ak+1An)可以得到关于P(n)的递推式如下：,矩阵连乘问题(4),穷举法，指数级时间复杂度 动态规划,将矩阵连乘积 简记为Ai:j ，这里ij,考察计算Ai:j的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵 Ak和Ak+1 之间将矩阵链断开，ikj，则其相应完全 加括号方式为,计算量：Ai:k的计算量加上Ak+1:j的计算量，再加上 Ai:k和Ak+1:j相乘的计算量,分析最优解的结构,特征：计算Ai:j的最优次序所包含的计算矩阵子链 Ai:k和Ak+1:j的次序也是
5、最优的。为什么？矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法求解的显著特征。,建立递归关系,设计算矩阵链Ai:j，1ijn，所需要的最少数乘次数mi,j，则原问题的最优值为m1,n 当i=j时，Ai:j=Ai，因此，mi,i=0，i=1,2,n 当ij时，可以递归地定义mi,j为：,这里 的维数为,的位置只有 种可能,计算最优值,对于1ijn不同的有序对(i,j)对应于不同的子问题。因此，不同子问题的个数最多只有,用动态规划算法解此问题，可依据其递归式以自底向上的方式进行计算。在计算过程中，保存已解决的子问题答案。
6、每个子问题只计算一次，而在后面需要时只要简单查一下，从而避免大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法。,用动态规划法求最优解,实例：计算矩阵连乘积 A1A2A3A4A5A6，维数为：,用动态规划法求最优解,public static void matrixChain(int p, int m, int s) int n=p.length-1;for (int i = 1; i = n; i+) mii = 0;/ 边界条件for (int r = 2; r = n; r+) / r表示当前子矩阵链的矩阵个数for (int i = 1; i = n - r+1; i+) / i表示子矩阵链的第
7、一个矩阵下标int j=i+r-1; / j表示子矩阵链最后一个矩阵的下标mij = mi+1j+ pi-1*pi*pj;sij = i;for (int k = i+1; k j; k+) / 枚举mij的最优解int t = mik + mk+1j + pi-1*pk*pj;if (t mij) mij = t;sij = k;,算法复杂度分析： 算法matrixChain的主要计算量取决于算法中对r，i和k的3重循环。循环体内的计算量为O(1)，而3重循环的总次数为O(n3)。因此算法的计算时间上界为O(n3)。算法所占用的空间显然为O(n2)。,构造最优解,MatrixChain只是计
8、算了最优值，但是没有给出最优解，也就是说还不知道按照什么次序作矩阵乘法？,sij=k 表示计算矩阵链Ai:j的最佳方式应该放在矩阵Ak和Ak+1之间断开，即最优加括号方式为(Ai:k)(Ak+1:j).,s1n A1:n的最优加括号方式为 (A1: s1n)(As1n+1: n);s1s1n, 记 s1n=kA1: k的最优加括号方式为(A1: s1k)(As1 k+1 : k),5000 K=5,3500 K=5,1000 K=4,5375 K=3,2500 K=3,750 K=3,10500 K=3,7125 K=3,4375 K=3,2625 K=2,15125 K=3,11875 K=
9、3,9375 K=3,7875 K=1,15750 K=1,求A1A2A3A4A5A6的最优次序，其中： P06 = 30, 35, 15, 5, 10, 20, 25 ; mi,j=minmi,k+mk+1,j+pi-1*pk*pj ikj,ij,最优解为：,(A1(A2A3)(A4A5)A6),动态规划算法的基本要素,一、最优子结构,矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。 在分析问题的最优子结构性质时，所用的方法具有普遍性：首先假设由问题的最优解导出的子问题的解不是最优的，然后再设法说明在这个假设下可构造出比原问题最优解更好的解，从而导致矛盾。反证
10、法 利用问题的最优子结构性质，以自底向上的方式递归地从子问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。最优子结构是问题能用动态规划算法求解的前提。,注意：同一个问题可以有多种方式刻划它的最优子结构，有些表示方法的求解速度更快（空间占用小，问题的维度低）,二、重叠子问题,递归算法求解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。这种性质称为子问题的重叠性质。 动态规划算法，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，当再次需要解此子问题时，只是简单地用常数时间查看一下结果。 通常不同的子问题个数随问题的大小呈多项式增长。因此用动态规划算法只需要多项式时间，从而获得较高的解题
11、效率。,三、备忘录方法,备忘录方法又称之为记忆化搜索备忘录方法用表格保存已解决的子问题的答案，在下次需要解决此问题时，只要从表格中查看答案即可，而不需要重新计算；如果没有求解，则递归调用求解过程进行计算。,备忘录方法的控制结构与直接递归方法的控制结构相同，自顶向下的处理，程序简单；区别在于备忘录方法为每个解过的子问题建立了备忘录以备需要时查看，避免了相同子问题的重复求解。,三、备忘录方法,m0 / 初始化过程，为每个子问题填入一个特殊值，表示该问题待求解！ private static int lookupChain(int i, int j)if (mij 0) return mij; /
12、查表if (i = j) return 0;int u = lookupChain(i+1,j) + pi-1*pi*pj; / 求解Ai*(Ai+1; j)sij = i;for (int k = i+1; k j; k+) int t = lookupChain(i,k) + lookupChain(k+1,j) + pi-1*pk*pj;/ 求解(Ai:k)*(Ak+1; j)if (t u) u = t; sij = k;mij = u;return u;,适用条件：问题空间中的部分子问题可不必求解时，用备忘录方法效率较高。如果每一个子问题都需要求解，还是动态规划比较好。,小结,最优子结构性质动态规划的基本要素,三、备忘录方法(思考题),考虑一个递归函数 w(a,b,c)： if a 20 or b 20 or c 20, 则 w(a, b, c) 返回: w(20, 20, 20) 3) if a b and b c, 则 w(a, b, c) 返回: w(a, b, c-1) + w(a, b-1, c-1) - w(a, b-1, c) 4) 否则 w(a,b,c)返回： w(a-1, b, c) + w(a-1, b-1, c) + w(a-1, b, c-1) - w(a-1, b-1, c-1) 题目来源：http:/
