第一章.函数概念.ppt

1、微积分,主讲：董桂云 电话：13666636910 短号：696910,第一章 函数,1. 变量概念 1）变量及变量的变化范围变量 的数学含义 , 变量的常用记号：x , y , z , .,变量的 变化范围 及其常用记号： X , Y , D , Z ,变量的类型： 离散型 x N = 1 , 2 , 3 , 4 , ；,连续型 x X = x | 0 x 1 .,2）区间与邻域,连续变量通常的变化范围为一种特殊的数集 区间 。,区间 可分为 闭区间， 开区间， 半开（半闭）区间 等；,区间 也可分为 无穷区间， 半无穷区间， 有穷区间 等。,连续变量在某一点 a 处的很小变化范围有一种专门

2、的名称 a 的 邻域 （a 的 去心邻域 ）。,a 的 邻域 是指以下的一种开区间： ( a - , a + ) 。,还有 a 的 左邻域 和 a 的 右邻域 的说法， 它们分别是指： ( a - , a ) 和 ( a , a + ) 这两种开区间。,1. 函数概念,开区间,闭区间,左闭右开区间,左开右闭区间,无穷区间,邻域,记作,2. 函数的定义,给定一个非空数集 D ， 如有一个对应规律 f ， 使对任何 x D , 都有唯一一 个实数 y 与之对应 ，则称 y 是 x 的函数，f 是定义在 D 上的一个函数关系 ， 记作： y = f ( x ) , x D .,这时， 称 x 为自变

3、量 ， y 为 因变量 或 函数 ， D 为 定义域 .,对于取定的自变量 x ，这时的 y = f ( x ) 被称为 函数值 ；,当自变量 x 取遍 定义域 D 中所有的数值时，相应得到的所有的函 数值 y = f ( x ) 所组成的数集被称为是函数的 值域 。,3. 函数的两个要素及其表示法,构成函数有两大要素：定义域 和 对应规律 。,（1）定义域,定义域 通常的表示形式可以是 集合 ，区间 ，邻域 等。,（2）对应规律,对应规律 通常的表示形式可以是：,解析表示法 ： 用 数学运算式 来表示对应规律 ，这里的 数学运算 目前限于 加，减，乘，除，乘方，开方，指数，对数，三角，反三角

4、 等十大运算。 今后，还会引进一些 高级运算 ，如 极限，定积分 等等运算。,用 解析式 表示 函数对应规律时，在纯数学意义下，有一个与 解 析式 中规定的数学运算相匹配 的最大可能范围数集的计算问 题，即在数学解析式给定时，求函数的（自然）定义域 问题。 （由于可计算的原因，函数的自然定义域 在 函数表示时，常常 可以略写；或者说，此时未说明的定义域即是自然定义域 ）,在用 解析式 表示 函数对应规律时，还可以根据不同区段上的 自变量，分别用不同的数学解析式来给出 一个 函数，这种形式确 定的函数，常常被 方便地 称为 分段函数 。,例如:,对于一个含有 x , y 的 解析等式 ， 可以在

5、解关于 y 的代数方程 的意义下，确定一个 y 关于 x 的函数关系，以这种隐方程形式确定 的函数，常常被称为 隐函数 。,再如:,例如: 二元方程 3 x +5 y = 8 确定了一个隐函数 y = f ( x ) .,又如 二元方程 y = 1 + x 2 y 也确定了一个隐函数 y = f ( x ) .,符号函数,几个分段函数的例子.,取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数.,狄利克雷函数(Dirichlet),4. 几个需掌握的题型,1）函数相同判定问题,下列各对函数是否相同 ：,定义域的确定： 1. 根据实际问题； 2. 自然定义域：使算式有意义的一切实数值.,如何求函数的自然

6、定义域？,要使该函数有意义，必须满足以下两个条件：,要使该函数有意义，必须满足以下两个条件：,建立实际问题的函数关系问题,例 1 . 设某商店以每件 a 元的价格出售某种商品，可销售 1000件。若在此基础上降价 10 % ， 最多可再销售出 300 件，又知该商品每件进价为 b 元，试写出销售该商品的利润 L 与进货数 x 的函数关系。,解：当 0 x 1000 且 x 为整数时，销售额为 a x 元 ;,进货成本为： b x 元 ;,故此时利润 L ( x ) = ( a b ) x 元；,当 1000 x 1300 时，销售额为：1000a + 0.9 a ( x 1000 ) 元 ；,

7、进货成本仍为： bx 元 ;,故此时利润 L ( x ) = 1000a + 0.9 a ( x 1000 ) b x 元；,当 x 1300 时，销售额为：1000 a + 0.9 a 300 = 1270 a 元 ；,进货成本仍为： bx ;,故此时利润 L ( x ) = 1270a b x 元；,日平均单位成本函数 = 日总成本函数 日总产量数, 日平均单位成本函数 g ( x ) = (130 + 6 x ) / x , x ( 0 , 100 .,例 2 . 某工厂生产某产品，每天最多生产 100 公斤。日固定成本为 130 元；生产一公斤产品的可变成本为 6 元 ，求日总成本函数

8、及日平均单位成本函数。,解： 日总成本函数 = 日固定成本函数 + 日可变成本函数 日总成本函数 f ( x ) = 130 + 6 x , x ( 0 , 100 .,2. 函数的特性研究,1. 单调性,定义 ： 给定函数 y = f ( x )，x D , 若对 任意 的取值 x1 f ( x2 ) )， 则称函数在 D 上单 调递增 ( 减 ) , 或称函数 y = f ( x )，x D 是 增 ( 减 ) 函数 。,定义的形式逻辑符号说明 ：,（严格）增函数 ：,非（严格）增函数 ：,（严格）减函数 ：,非（严格）减函数 ：,2）实例,（1）用定义验证函数,证：,任取 x1 ， x2

9、 ( 2/3 ，+ ) ， 其中 x1 x2 ；因为,说明: (a),(b),2. 奇偶性,1）定义 ： 给定函数 y = f ( x )，x D . 若对 任意 的取值 x D ， 都成立 : - x D 以及 f ( - x ) = f ( x ) ， 则称函数 y = f ( x )，x D 是 偶函数 ； 若对 任意 的取值 x D ， 都成立 : - x D 以及 f ( - x ) = - f ( x ) ， 则称函数 y = f ( x )，x D 是 奇函数 。,定义的形式逻辑符号说明 ：,偶函数 ：,非偶函数 ：,奇函数 ：,非奇函数 ：,2）实例,（1）用定义验证函数,证：

10、 此函数的定义域 应为 D = ( - , + ) .,（2）用定义验证函数,证 此函数的定义域为 D = (- ,0）（0，+) . 任取 x (-,0）（0，+), 显然有:- x (- ,0）（0，+).,当 x (-,0）时，- x （0，+),以下分 x 在定义域中的两种取值情况讨论。,任取 x ( - , + ) , 显然有：- x ( - , + ) 。,同时还有：,当 x (0,+ ) 时，- x （- ,0) , 同时还成立：,根据以上讨论可知，任取 x (-,0）（0，+) 后 ,总成立：,（3）用定义验证函数,证： 此函数的定义域 应为 D = ( - , + ) .,所

11、以 任取 x (-，+) 后 ,总成立：,3. 周期性,1）定义 ： 给定函数 y = f ( x )，x D . 如果存在一个正常数 T 0 , 使对 任意 的取值 x D ， 都成立 : x + T D 以及 f ( x + T ) = f ( x ) ， 则称函数 y = f ( x )，x D 是 周期函数 。 这时，正常数 T 被称为这个周期函数的周期。,周期函数 y = f ( x )，x D 的周期 必定有无穷多个。 如果无穷多 个周期中有一 个最小值，则称 这个最小值为这个周期函数 的 “最 小正周期 ” ，最小正周期 常常也被简称为 “周期 ” 。,定义的形式逻辑符号说明 ：

12、,周期函数 ：,非周期函数 ：,2）实例,证：,在 Dirichlet 函数的定义域 (-, + ) 中任取一点 x , 如果 x 为有理 数， 则 x + r 也为有理数，,因为 正有理数 r 没有最小值，所以这个周期函数没有最小正周期，或者简单的说，周期函数 Dirichlet 函数没有 “周期 ” 。,这说明 Dirichlet 函数 是一个周期函数 ， 任何一个正有理数 r 都 是它的周期。,总之，对 x (-, + ) , 总成立 f ( x + r ) = f ( x ) ，,如果 x 为无理数， 则 x + r 也为无理数，这时就有：f ( x + r ) = 0 = f ( x

13、 ) ;,任意取定一个正有理数 r .,这时就有： f ( x + r ) = 1 = f ( x ) ;,4. 有界性,1）定义 ： 给定函数 y = f ( x )，x D . 如果存在一个正常数 M 0 , 使对 任意 的取值 x D ， 都成立 : f(x) M ， 则称函数 y = f ( x )，x D 是 有界函数 。 如果不论取多大的正常数 M 0 , 总可 找到一个 x 0 D ， 使 得 f(x0 ) M ，则称函数 y = f ( x )，x D 是 无界函数 。,定义的形式逻辑符号说明 ：,有界函数 ：,无界函数 ：,函数有界性的几何意义是： 该函数的图像介于直线 y

14、= - M 与 y = M 之间。,M,- M,2）实例,证：,证：,3）有界性定义 的扩充： 给定函数 y = f ( x )，x D . 如果存在一个正常数 M 0 , 使对 任意 的取值 x D ， 都成立 : f(x) M （ f(x) - M ）， 则称函数 y = f ( x )， x D 是 上（下）有界函数 。 如果不论取多大的正常数 M 0 , 总可 找到一个 x 0 D ， 使得 f(x0 ) M （ f(x0 ) - M ） ，则称函数 y = f ( x )，x D 是 上（下）无界函数 。,定义的形式逻辑符号说明 ：,上（下）有界函数 ：,上（下）无界函数 ：,1.

15、反函数概念,1）定义 给定函数 y = f ( x )，x D . 如果 对于不同的自变量 x , 相应的函数值也不同. 现在以该函数的值域 Z 作为 新的定义域 ， 并定义 新的对应规律 如下：对于任意的 y Z , 令唯一的 x 与之相对应，这里 x 满足 f ( x ) = y . 称这个新函数为原函数 y = f ( x )，x D 的 反函数，记为 : x = f -1 ( y ) ，y Z .,由于自变量习惯上的记法，总是把自变量记为 x , 因变量记为y , 故常常在习惯上记函数 y = f ( x )，x D 的反函数为：y = f -1 ( x ) ，x Z .,根据反函数的

16、定义 ， 可以看到并非任何函数均有反函数存在。,3. 反函数与反三角函数,2）. 实例,3）. 反函数的一般性质讨论,根据反函数的定义，可以导出以下两条性质：,2. 反三角函数概念,根据反函数的 一般性质 ：,容易看出 成立以下等式：,除此之外，还可看出：,实例,如：,可看作由,复合而成。,注：不是任何函数都可以复合成一个函数。,设 y=f(u)=arcsin u，u=g(x)=2+x2 ，,不能复合。,复合函数 (Composite Functions),利用复合函数的概念，可以将一个较复杂的函数，看成两个 或两个以上简 单函数的复合结果。这时，通常把它们按照 从外层 函数到内层函数的次序

17、列出来，这个过程称之为,复合函数的分解 。例如：,实例,求函数值问题,解：,解：,2. 初等函数概念,1）基本初等函数,称下列六大类函数为 基本初等函数 ：,幂函数的定义域随a而异，但不论 a 为何值, 它在(0, +)内总有定义。幂函数图形都经过 (1, 1)点。,常见的幂函数及其图形：,1）幂函数(Power Function),定义域为(-, +)，值域为(0, +)，都通过(0, 1)点。当a1时，函数单调增加；当0a1时，函数单调减少。,2） 指数函数 (Exponential Function),对数函数是指数函数y=ax的反函数, 定义域为(0,+),图形通过(1, 0)点。当

18、a1 时, 函数单调增加；当 0a1时, 函数单调减少。,3） 对数函数 (Logarithmic Function),正弦函数,余弦函数,y=sin x与y=cos x的定义域均为(-, +)，均以2p为周期。y=sin x为奇函数，y=cos x为偶函数。它们都是有界函数。,4） 三角函数 (Trigonometric Function),定义域: x(2n+1)p/2 。 周期: p 。奇函数。,正切函数,定义域: xnp。 周期: p 。奇函数。,余切函数,正割函数,余割函数,5） 反三角函数(Anti-Trigonometric Function),反余切函数,2）初等函数,凡是由 基本初等函数 经过有限次 四则运算 及有限次复合 而产生的函数，总称为 初等函数。,注意 : 初等函数 总是可以用 一个明确的解析表示式来表示它的函数对应关系，但这不意味着一个目前不用一个解析式表示的函数就一定不是初等函数，例如以下的 分段函数 仍是 初等函数 ：,一般地，若函数 f ( x ) 在区间 a , b ，函数 g ( x ) 在区间 b , c 上分别都是初等函数 ， 且 f ( b ) = g ( b ) , 则 分段函数,这是因为可以改写 ( x ) 为 ：,例如,因为可以改写 ( x ) 为 ：,例：用图像法给出的下面函数，是否为 初等函数 ？,1,1,4,3,2,0,