1、第六节 博弈中的对策模型,对策与决策是人们生活和工作中经常会遇到的择优活动。人们在处理一个问题时，往往会面临几种情况，同时又存在几种可行方案可供选择，要求根据自己的行动目的选定一种方案，以期获得最佳的结果。,有时，人们面临的问题具有竞争性质，如商业上的竞争、体育中的比赛和军事行动、政治派别的斗争等等。这时竞争双方或各方都要发挥自己的优势，使己方获得最好结果。因而双方或各方都要根据不同情况、不同对手做出自己的决择，此时的决策称为对策。在有些情况下，如果把可能出现的若干种情况也看作是竞争对手可采取的几种策略，也可以把决策问题当作对策问题来求解。,对策问题的特征：参与者为利益相互冲突的各方，其结局不
2、取决于其中任意一方的努力，而是各方所采取的策略的综合结果。,几个实际例子,例1 （田忌赛马）,传说战国时期齐王欲与大将田忌赛马，双方约定每人挑选上、中、下三个等级的马各一匹进行比赛，每局赌金为一千金。齐王同等级的马均比田忌的马略胜一筹，似乎必胜无疑。田忌的朋友孙膑给他出了一个主意，让他用下等马比齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马，结果田忌二胜一败，反而赢了一千金。,例2 （石头剪子布）,这是一个大多数人小时候都玩过的游戏。游戏双方只能选石头、剪子、布中的一种，石头赢剪子，剪子赢布，而布又赢石头，赢者得一分，输者失一分，双方相同时不得分，见下表(1)。,例3 （囚犯的困惑）
3、,警察同时逮捕了两人并分开关押，逮捕的原因是他们持有大量伪币，警方怀疑他们伪造钱币，但没有找到充分证据，希望他们能自己供认，这两个人都知道：如果他们双方都不供认，将被以使用和持有大量伪币罪被各判刑18个月；如果双方都供认伪造了钱币，将各被判刑3年；如果一方供认另一方不供认，则供认方将被从宽处理而免刑，但另一方将被判刑7年。将嫌疑犯A、B被判刑的几种可能情况列表如下：,表中每对数字表示嫌疑犯A、B被判刑的年数。如果两名疑犯均担心对方供认并希望受到最轻的惩罚，最保险的办法自然是承认制造了伪币。,表(2),一、对策的基本要素,（1）局中人：参加决策的各方称为决策问题的局中人，一个决策可以包含两名局中
4、人（如棋类比赛、人与大自然作斗争等），也可以包含多于两名局中人（如大多数商业中的竞争、政治派别间的斗争）。局中人必须要拥用可供其选择并影响最终结局的策略，在例3中，局中人是A、B两名疑犯，警方不是局中人。两名疑犯最终如何判刑取决于他们各自采取的态度，警方不能为他们做出选择。,从这些简单实例中可以看出对策现象中包含的几个基本要素。,（2）策略集合: 局中人能采取的可行方案称为策略，每一局中人可采取的全部策略称为此局中人的策略集合。对策问题中，对应于每一局中人存在着一个策略集合，而每一策略集合中至少要有两个策略，否则该局中人可从此对策问题中删去，因为对他来讲，不存在选择策略的余地。应当注意的是，所
5、谓策略是指在整个竞争过程中对付他方的完整方案，并非指竞争过程中某步所采取的具体局部办法。,例如：下棋中的某步只能看和一个完整策略的组成部分，而不能看成一个完整的策略。当然，有时可将它看成一个多阶段对策中的子对策。策略集合可以是有限集也可以是无限集。策略集为有限集时称为有限对策，否则称为无限对策。,记局中人i的策略集合为Si。当对策问题各方都从各自的策略集合中选定了一个策略后，各方采取的策略全体可用一矢量S表示，称之为一个纯局势（简称局势）。,例如，若一对策中包含A、B两名局中人，其策略集合分别为SA= 1, m ，SB = 1, n 。若A选择策略 i ，而B选策略 j，则（ i, j）就构成
6、此对策的一个纯局势。显然，SA与SB一共可构成mn个纯局势，它们构成下表。对策问题的全体纯局势构成的集合S称为此对策问题的局势集合。,（3）赢得函数（或称支付函数）：对策的结果用向量表示，称之为赢得函数。赢得函数F为定义在局势集合S上的矢值函数，对于S中的每一纯局势S，F(S)指出了每一局中人在此对策结果下应赢得（或支付）的值。,综上：一个对策模型由局中人、策略集合和赢得函数三部分组成。记局中人集合为I = 1,k，对每一iI，有一策略集合Si，当I中每一局中人i选定策略后得一个局势s；将s代入赢得函数F，即得一矢量F(s)=(F1(s),Fk(s)，其中Fi(s)为在局势s下局中人i的赢得（
7、或支付）。,这里讨论只有两名局中人的对策问题，即二人对策，其结果可以推广到一般的对策模型中去。对于只有两名局中人的对策问题，其局势集合和赢得函数均可用表格表示。,二、二人零和对策,存在一类特殊的对策问题。在这类对策中，当纯局势确定后，A的所得恰为B的所失，或者A的所失恰为B的所得，即双方所得之和总为零。在零和对策中，因F1(s)=F2(s)，只需指出其中一人的赢得值即可，故赢得函数可用赢得矩阵表示。例如若A有m种策略，B有n种策略，赢得矩阵,表示若A选取策略i而B选取策略j，A的所得为aij(当aij0时为支付)。,在二人对策的赢得表中，A的所得并非明显为B的所失，但双方赢得数之和为一常数。无
8、论A、B怎样选取策略，双方赢得总和均为10。此时，若将各人赢得数减去两人的平均赢得数，即可将赢得表化为零和赢得表。表(3)中的对策在转化为零和对策后，具有赢得矩阵。,表(3),给定一个两人对策只需给出局中人A、B的策略集合SA、SB及表示双方赢得值的赢得矩阵R。,二人对策 G 又可称为纯矩阵对策 记成 G = SA, SB, R ,从R中可以看出，若A希望获得最大赢利30，需采取策略 1，但此时若B采取策略 4，A非但得不到30，反而会失去22。为了稳妥，双方都应考虑到对方有使自己损失最大的动机，从最坏的可能中争取最好的结果。局中人A采取策略 1、 2、 3时，最坏的赢得结果分别为,例4 给定
9、G =SA ,SB ,R，其中SA = 1, 2, 3, SB = 1, 2, 3, 4 ,min 12, 6, 30, 22 = 22,min 14, 2, 18, 10 =2,min 6, 0, 10, 16 = 10,其中最好的可能为max22,2,10=2。如果A采取策略 2，无论B采取什么策略，A的赢得均不会少于2.,B采取各方案的最大损失为max12,14,6=14，max 6,2,0= 2，max30,18,10 = 30和max22,10,16=16。当B采取策略 2时，其损失不会超过2。注意到在赢得矩阵中，2既是所在行中的最小元素又是所在列中的最大元素。此时，只要对方不改变策略，任一局中人都不可能通过变换策略来增大赢得或减小损失，称这样的局势为对策的一个稳定点或稳定解.（也被称为鞍点）,满足上式的 的相应策略 与 分别为G的局中人A与B的最优策略。,定理 对于两人对策G = SA, SB, R，有解的充要条件是,双方如何选派队参赛？,例5 甲、乙两国举行乒乓求友谊赛，甲国有四个队，乙国有三个队，根据以往比赛记录，甲国得分的赢得矩阵为,R=,解：由,故,可知，有,可见甲国派二队，乙国派一队参赛分别是双方的最优策略。,
