1、第4章 关系数据库理论,北京林业大学 软件教研室,2,4.1 规范化问题的提出 4.2 函数依赖 4.3 关系模式的分解* 4.4 关系模式的范式 4.5 关系模式的规范化,北京林业大学 软件教研室,3,4.1 规范化问题的提出,4.1.1 规范化理论的主要内容关系数据库的规范化理论 函数依赖范式（Normal Form）模式设计,核心，是模式分解和设计的基础,模式分解的标准,北京林业大学 软件教研室,4,4.1.2 不合理的关系模式存在的存储异常问题,教学管理数据库SCD(SNo，SN，Age，Dept，MN，CNo，Score) 在此关系模式中填入一部分具体的数据,北京林业大学 软件教研室
2、,5,该表出现的问题,数据冗余 插入异常 删除异常 更新异常,根本原因：属性间存 在着数据依赖关系,包罗万象,北京林业大学 软件教研室,6,一个好的关系模式应该具备以下四个条件： （1）尽可能少的数据冗余； （2）没有插入异常； （3）没有删除异常； （4）没有更新异常。,SCD (SNo，SN，Age， Dept，MN，CNo，Score),S(SNo，SN，Age，Dept),SC(SNo，CNo，Score),D(Dept，MN),关系模式分解：,北京林业大学 软件教研室,7,4.2 函数依赖,4.2.1 函数依赖的定义 定义4.1 SNo决定函数（SN，Age，Dept） （SN，Ag
3、e，Dept）函数依赖于SNo,SCD (SNo，SN，Age，Dept，MN，CNo，Score),SNo,一个学生,SN，Age，Dept,惟一确定,惟一确定,北京林业大学 软件教研室,8,4.2.2 函数依赖的逻辑蕴涵定义,定义4.2 设F是在关系模式R(U)上成立的函数依赖集合，X，Y是属性集U的子集，XY是一个函数依赖。如果从F中能够推导出XY，即如果对于R的每个满足F的关系r也满足XY，则称XY为F的逻辑蕴涵（或F逻辑蕴涵XY），记为F|=XY 。 定义4.3 设F是函数依赖集，被F逻辑蕴涵的函数依赖的全体构成的集合，称为函数依赖集F的闭包（Closure），记为F +。即：F +
4、= XY | F|=XY,北京林业大学 软件教研室,9,4.2.3函数依赖的推理规则,Armstrong公理 自反律：如果YXU，则XY在R上成立如果YXU，则XY在R上成立增广律 ：若XY在R上成立，且ZU，则XZYZ在R上也成立 传递律 ：若XY和YZ在R上成立，则XZ在R上也成立,北京林业大学 软件教研室,10,Armstrong公理推论 合并律（Union rule） 若XY和XZ在R上成立，则XYZ在R上也成立 伪传递律（Pseudotransitivity rule） 若XY和YWZ在R上成立，则XWZ在R上也成立 分解律（Decomposition rule） 若XY和ZY在R上
5、成立，则XZ在R上也成立复合律（Composition） 若XY和WZ在R上成立，则XWYZ在R上也成立,北京林业大学 软件教研室,11,4.2.4 完全函数依赖与部分函数依赖,设有关系模式R(U)，U是属性全集，X和Y是U的子集：如果XY，并且对于X的任何一个真子集X，都有X Y，则称Y对X完全函数依赖，记作X Y。如果XY，并且对于X的某个真子集X ，有XY，则称Y对X部分函数依赖，记作X Y。 在关系模式SCD中，因为SNo Score，且CNo Score，所以有：(SNo，CNo) Score。而SNoAge，所以(SNo，CNo) Age,f,p,f,f,p,北京林业大学 软件教研
6、室,12,4.2.5 传递函数依赖,设有关系模式R(U)，U是属性全集，X，Y，Z是U的子集 若XY，但Y X，而YZ（Y X，Z Y），则称Z对X传递函数依赖 ，记作：X Z 。如果YX，则X Y，这时称Z对X直接函数依赖，而不是传递函数依赖。,t,函数依赖,完全函数依赖,部分函数依赖,传递函数依赖,北京林业大学 软件教研室,13,4.2.6 属性集的闭包及其算法,X +=属性A|XA在F +中 定理4.3 XY能用函数依赖推理规则推出的充分必要条件是Y X +中 算法4.1 result=Xdoif F中有某个函数依赖YZ满足Y resultthen result=result Zwhil
7、e (result有所改变);,北京林业大学 软件教研室,14,4.2.7 候选键的求解理论和算法,关键码的定义 如果XU在R上成立（即XU在F +中），那么称X是R的一个超键。 如果XU在R上成立，但对X的任一真子集X都有XU不成立（即XU不在F+中，或者X U），那么称X是R上的一个候选键。快速求解候选键的一个充分条件 对于给定的关系模式R(A1，An)和函数依赖集F，可将其属性分为以下四类：,f,L类,R类,N类,LR类,北京林业大学 软件教研室,15,定理4.4 对于给定的关系模式R及其函数依赖集F（1）若X（XR）是L类属性，则X必为R的任一候选键的成员。（2）若X（XR）是L类属性
8、，且X +包含了R的全部属性，则X必为R的惟一候选键。（3）若X（XR）是R类属性，则X不在任何候选键中。（4）若X（XR）是N类属性，则X包含在R的任一候选键中。（5）若X（XR）是R的N类和L类属性组成的属性集，且X +包含了R的全部属性，则X是R的惟一候选键。,北京林业大学 软件教研室,16,多属性函数依赖集候选键的求解算法（1）属性分类（L、R、N和LR） （2）若X +包含了R的全部属性，转（5）；否则，转（3）。 （3）在Y中取一个属性A，求(XA) +，若它包含了R的全部属性，则转（4）；否则，调换一属性反复进行这一过程，直到试完所有Y中的属性。 （4）如果已找出所有候选键，则转
9、（5）；否则在Y中依次取两个、三个、，求它们的属性集的闭包，直到其闭包包含R的全部属性。 （5）停止，输出结果。,令X代表L和N类，Y代表LR类,北京林业大学 软件教研室,17,4.2.8 函数依赖推理规则的完备性,定理4.5 函数依赖推理规则A1，A2，A3是完备的 （1）证明F中每个函数依赖VW在r上成立。 （2）证明XY在关系r上不成立。 综合（1）和（2）可知，只要XY不能用推理规则推出，那么F就不逻辑蕴涵XY，也就是推理规则是完备的。,从函数依赖集F使用推理规则推出的函数依赖必定在F +中,F +中的函数依赖都能从F集使用推理规则集推出,正确性：,完备性：,北京林业大学 软件教研室,
10、18,4.2.9 函数依赖集的等价、覆盖和最小函数依赖集,等价定义4.8 关系模式R(U)的两个函数依赖集F和G，如果满足F += G + ，则称F和G是等价的函数依赖集。记作：FG。如果F和G等价，就说F覆盖G，或G覆盖F。 无关定义4.9 设F是属性集U上的函数依赖集，XY是F中的函数依赖。函数依赖中无关属性： （1）如果AX，且F逻辑蕴涵(F-XY) (X-A) Y，则称属性A是XY左部的无关属性。 （2）如果AX，且(F-XY) X(Y-A)逻辑蕴涵F，则称属性A是XY右部的无关属性。 （3）如果XY的左右两边的属性都是无关属性，则函数依赖XY称为无关函数依赖。,北京林业大学 软件教研
11、室,19,定义4.10 设F是属性集U上的函数依赖集。如果Fmin是F的一个最小函数依赖集，那么Fmin应满足下列四个条件：（1）Fmin+=F +； （2）每个函数依赖的右边都是单属性； （3）Fmin中没有冗余的函数依赖（即在Fmin中不存在这样的函数依赖XY，使得Fmin与Fmin-XY等价），即减少任何一个函数依赖都将与原来的F不等价； （4）每个函数依赖的左边没有冗余的属性（即Fmin中不存在这样的函数依赖XY，X有真子集W使得Fmin-XY WY与Fmin等价），减少任何一个函数依赖左部的属性后，都将与原来的F不等价。,北京林业大学 软件教研室,20,算法4.3 计算函数依赖集F的
12、最小函数依赖集G（1）对F中的任一函数依赖XY，如果Y=Y1,Y2,，Yk（k2）多于一个属性，就用分解律，分解为XY1，XY2，XYk，替换XY，得到一个与F等价的函数依赖集G，G中每个函数依赖的右边均为单属性。 （2）去掉G中各函数依赖左部多余的属性。 （3）在G中消除冗余的函数依赖。,北京林业大学 软件教研室,21,4.4 关系模式的范式,各种范式之间的关系,北京林业大学 软件教研室,22,4.3.1 第一范式,定义4.14 如果关系模式R所有的属性均为简单属性，即每个属性都是不可再分的，则称R属于第一范式，简称1NF，记作R1NF。 1NF是关系模式应具备的最起码的条件。 第一范式可能
13、具有大量的数据冗余，具有插入异常、删除异常和更新异常等弊端。 如关系模式SCD属于1NF，它既存在完全函数依赖，又存在部分函数依赖和传递函数依赖 。 克服这些弊端的方法是用投影运算将关系分解，去掉过于复杂的函数依赖关系，向更高一级的范式进行转换。,北京林业大学 软件教研室,23,4.3.2 第二范式,第二范式的定义 如果关系模式R1NF，且每个非主属性都完全函数依赖于R的主关系键，则称R属于第二范式，简称2NF，记作R2NF 。 如：关系模式TCS（T，C，S） 关系键 （T，C，S） ；主属性 T、C、S 不存在非主属性对主关系键的部分函数依赖，因此属于2NF。,从1NF关系中消除非主属性对
14、主关系键的部分函数依赖，则可得到2NF,如果R的关系键为单属性，或R的全体属性均为主属性，则R2NF,北京林业大学 软件教研室,24,2NF规范化 2NF规范化是指把1NF关系模式通过投影分解，转换成2NF关系模式的集合。 例4-15 将SCD(SNo，SN，Age，Dept，MN，CNo，Score)规范为2NF。,学生 SD(SNo,SN,Age,Dept,MN ),学生与课程联系 SC( SNo,CNo,Score),SCD,非主属性对主键完全函数依赖。因此，SD2NF，SC2NF。,北京林业大学 软件教研室,25,2NF的缺点,数据冗余,插入异常,删除异常,更新异常,每个系名和系主任的
15、名字存储的次数等于该系的学生人数,当一个新系没有招生时，有关该系的信息无法插入,某系学生全部毕业而没有招生时，删除全部学生的记录也 随之删除了该系的有关信息,更换系主任时，仍需改动较多的学生记录,北京林业大学 软件教研室,26,4.3.3 第三范式,第三范式的定义 如果关系模式R2NF，且每个非主属性都不传递函数依赖于R的主关系键，则称R属于第三范式，简称3NF，记作R3NF。如：SC(SNo，CNo，Score) 函数依赖为(SNo，CNo)Score，非主属性Score不传递函数依赖于主关系键（SNo，CNo），因此，SC3NF。又如：SD(SNo，SN，Age，Dept，MN) SNoD
16、ep和DeptMN SNo MN 非主属性MN与主关系键SNo间存在着传递函数依赖，所以SD 3NF。,主关系键,非主属性,t,非主属性,主关系键,北京林业大学 软件教研室,27,3NF规范化 算法4.6 把一个关系模式分解为3NF，使它具有保持函数依赖性。（1）如果Fmin中有一函数依赖XA，且XA=R，则输出=R，转（4）。 （2）如果R中某些属性与Fmin中所有依赖的左部和右部都无关，则将它们构成关系模式，从R中将它们分出去，单独构成一个模式。 （3）对于Fmin中的每一个函数依赖XA，都单独构成一个关系子模式XA。若Fmin中有XA1，XA2，XAn，则可以用模式XA1A2An取代n个
17、模式XA1，XA2，XAn。 （4）停止分解，输出。,北京林业大学 软件教研室,28,算法4.7 把一个关系模式分解为3NF，使它既具有无损连接性又具有保持函数依赖性。 （1）根据算法4.6求出保持函数依赖的分解：=R1，R2，Rk。 （2）判定是否具有无损连接性，若是，转（4）。 （3）令=X=R1，R2，Rk，X，其中X是R的候选键。 （4）输出。例4-17 将SD(SNo，SN，Age，Dept，MN)规范到3NF。 （1）根据算法4.6求出保持函数依赖的分解：=S(SNo，SN，Age，Dept)，D(Dept，MN)。,北京林业大学 软件教研室,29,（2）判定是否具有无损连接性SD
18、分解为=S(SNo，SN，Age，Dept)，D(Dept，MN)时，S、D都属于3NF，且既具有无损连接性又具有保持函数依赖性。3NF解决了2NF中存在的四个问题：,DeptMN,a5,a1a2a3a4a5 ，相对于F是无损连接分解,数据冗余降低了,不存在删除异常,不存在更新异常,不存在插入异常,北京林业大学 软件教研室,30,4.3.4 BC范式,BC范式的定义 如果关系模式R1NF，且所有的函数依赖XY（YX），决定因素X都包含了R的一个候选键，则称R属于BC范式，记作RBCNF。BCNF具有如下性质 ： 如果RBCNF，则R也是3NF 。 如果R3NF，则R不一定是BCNF 。 例4-
19、18 设有关系模式SNC（SNo，SN，CNo，Score） SNo SN。 存在着主属性对键的部分函数依赖：（SNo，CNo） SN，（SN，CNo） SNo，所以SNC不是BCNF。,无部分函数依赖和传递函数依赖，SNC3NF,北京林业大学 软件教研室,31,BCNF规范化 算法4.8 把一个关系模式分解为BCNF （1）令=R。 （2）如果中所有模式都是BCNF，则转（4）。 （3）如果中有一个关系模式S不是BCNF，则S中必能找到一个函数依赖XA且X不是S的候选键，且A不属于X，设S1=XA，S2=S-A，用分解S1，S2代替S，转（2）。 （4）分解结束，输出。例4-19 将SNC(
20、SNo，SN，CNo，Score)规范到BCNF。 候选键：（SNo，CNo）和（SN，CNo）函数依赖：,F=SNoSN，SNSNo，(SNo，CNo)Score，(SN，CNo)Score,北京林业大学 软件教研室,32,（1）令=SNC(SNo，SN，CNo，Score)。 （2）经过前面分析可知，中关系模式不属于BCNF。 （3）用分解S1(SNo，SN)，S2(SNo，CNo，Score)代替SNC。 （4）分解结果为：S1(SNo，SN)描述学生实体；S2(SNo，CNo，Score)描述学生与课程的联系。例4-20 设有关系模式TCS(T，C，S) 候选键 ：（S，C）和（S，T
21、） 函数依赖是 ：F=(S，C)T，(S，T)C，TC 分解TC(T，C)，ST(S，T)代替TCS,消除了函数依赖(S，T) C ，STBCNF，TCBCNF,北京林业大学 软件教研室,33,4.3.5 多值依赖与第四范式,多值依赖的定义 假设学校中一门课程可由多名教师讲授，教学中他们使用相同的一套参考书。,关系CTB,北京林业大学 软件教研室,34,CTB转化成规范化的关系如下图所示：C与T间的联系被称为多值依赖 多个T对应一个C 一个确定的C值，与其所对应的一组T值与B值无关,数据冗余大,插入异常,删除异常,北京林业大学 软件教研室,35,定义4.18 设有关系模式R（U），U是属性全集
22、，X、Y、Z是属性集U的子集，且Z=UXY如果对于R的任一关系，对于X的一个确定值，存在Y的一组值与之对应，且Y的这组值仅仅决定于X的值而与Z值无关，此时称Y多值依赖于X，或X多值决定Y，记作XY。若XY且Z=UXY，则称XY是非平凡的多值依赖，否则称为平凡的多值依赖 。,北京林业大学 软件教研室,36,多值依赖公理及其推论 多值依赖公理 增广律：如果XY，VWU，则WXVY。 传递律：如果XY，YZ，则XZ-Y。 补余律：如果XY，则XU-X-Y 。 函数依赖公理与多值依赖混合公理 复制规则：从FD导出MVD，如果XY，则XY。 接合规则：从MVD导出FD：如果XY，ZY，且存在WU有WY=
23、，WZ，则XZ。 多值依赖推论 合并律：如果XY，XZ，则XYZ。 伪传递律：如果XY，WYZ，则XW(Z-W-Y)。 分解律：如果XY，XZ，则X（YZ），X(Y-Z)，X(Z-Y) 。 混合伪传递律：如果XY，XYZ，则X(Z-Y) 。,北京林业大学 软件教研室,37,第四范式（4NF）定义 定义4.19 设有一关系模式R（U），U是其属性全集，X、Y是U的子集，D是R上的数据依赖集。如果对于任一多值依赖XY，此多值依赖是平凡的，或者X包含了R的一个候选关键字，则称R是第四范式的关系模式，记为R4NF 。,一个BCNF的关系模式不一定是4NF,4NF的关系模式必定是BCNF的关系模式,4N
24、F是BCNF的推广,北京林业大学 软件教研室,38,第四范式（4NF）的分解 （1）令=R。 （2）如果中所有模式Ri都是4NF，则转（4）。 （3）如果中有一个关系模式S不是4NF，则S中必能找到一个多值依赖XY且X不包含S的候选键，Y-X，XYS，令Z=Y-X，设S1=XZ，S2=S-Z，用分解S1，S2代替S，由于S1S2=X，S1-S2=Z，所以有(S1S2)(S1-S2)，分解具有无损连接性，转（2）。 （4）分解结束，输出 。,北京林业大学 软件教研室,39,4.3.6 关系模式的规范化,一个低一级范式的关系模式，通过模式分解转化为若干个高一级范式的关系模式的集合，这种分解过程叫作
25、关系模式的规范化。 关系模式规范化的目的和原则规范化的目的就是使结构合理，消除存储异常，使数据冗余尽量小，便于插入、删除和更新。 规范化的基本原则就是遵循“一事一地”的原则。,北京林业大学 软件教研室,40,4.3.7 关系模式规范化的步骤,规范化过程,北京林业大学 软件教研室,41,4.4 数据依赖的公理系统,逻辑蕴含定义4.20 对于满足一组函数依赖 F 的关系模式R ，其任何一个关系r，若函数依赖XY都成立, （即r中任意两元组t，s，若tX=sX，则tY=sY），则称F逻辑蕴含X Y,北京林业大学 软件教研室,42,1. Armstrong公理系统,关系模式R 来说有以下的推理规则：
26、A1.自反律（Reflexivity）：若Y X U，则X Y为F所蕴含。 A2.增广律（Augmentation）：若XY为F所蕴含，且Z U，则XZYZ为F所蕴含。 A3.传递律（Transitivity）：若XY及YZ为F所蕴含，则XZ为F所蕴含。,北京林业大学 软件教研室,43,定理 4.1 Armstrong推理规则是正确的,（l）自反律: 若Y X U，则X Y为F所蕴含证: 设Y X U 对R 的任一关系r中的任意两个元组t，s： 若tX=sX，由于Y X，有ty=sy， 所以XY成立，自反律得证,北京林业大学 软件教研室,44,定理 4.l Armstrong推理规则是正确的（
27、续）,(2)增广律: 若XY为F所蕴含，且Z U，则XZYZ 为F所蕴含。证：设XY为F所蕴含，且Z U。设R 的任一关系r中任意的两个元组t，s： 若tXZ=sXZ，则有tX=sX和tZ=sZ； 由XY，于是有tY=sY，所以tYZ=sYZ，所以 XZYZ为F所蕴含，增广律得证。,北京林业大学 软件教研室,45,定理 4.l Armstrong推理规则是正确的（续）,(3) 传递律：若XY及YZ为F所蕴含，则 XZ为 F所蕴含。 证：设XY及YZ为F所蕴含。 对R 的任一关系 r中的任意两个元组 t，s： 若tX=sX，由于XY，有 tY=sY； 再由YZ，有tZ=sZ，所以XZ为F所蕴含，
28、传递 律得证。,北京林业大学 软件教研室,46,2. 导出规则,1.根据A1，A2，A3这三条推理规则可以得到下面三条推理规则：合并规则：由XY，XZ，有XYZ。（A2， A3）伪传递规则：由XY，WYZ，有XWZ。（A2， A3）分解规则：由XY及 ZY，有XZ。（A1， A3）,北京林业大学 软件教研室,47,导出规则,2.根据合并规则和分解规则，可得引理6.1引理4.l XA1 A2Ak成立的充分必要条件是XAi成立（i=l，2，k）,北京林业大学 软件教研室,48,Armstrong公理系统,Armstrong公理系统是有效的、完备的 有效性：由F出发根据Armstrong公理推导出来
29、的每一个函数依赖一定在F+中； 完备性：F+中的每一个函数依赖，必定可以由F出发根据Armstrong公理推导出来,北京林业大学 软件教研室,49,3. 函数依赖闭包,定义4.21 在关系模式R中为F所逻辑蕴含的函数依赖的全体叫作 F的闭包，记为F+。 定义6.13 设F为属性集U上的一组函数依赖，X U， XF+ = A|XA能由F 根据Armstrong公理导出，XF+称为属性集X关于函数依赖集F 的闭包,北京林业大学 软件教研室,50,F的闭包,F=XY, YZ F+= X, Y, Z, XY, XZ, YZ, XYZ, XX, YY, ZZ, XYX, XZX, YZY, XYZX,
30、XY, Y Z, XYY, XZY, YZZ, XYZY, XZ, YYZ, XYZ, XZZ, YZYZ,XYZZ, XXY, XYXY,XZXY, XYZXY, XXZ, XYYZ,XZXZ, XYZYZ, XYZ, XYXZ,XZXY, XYZXZ, XZYZ, XYXYZ,XZXYZ, XYZXYZ F=XA1, , XAn的闭包F+计算是一个NP完全问题,北京林业大学 软件教研室,51,关于闭包的引理,引理4.2 设F为属性集U上的一组函数依赖，X，Y U，XY能 由F 根据Armstrong公理导出的充分必要条件是Y XF+ 用途将判定XY是否能由F根据Armstrong公理导出的
31、问题，转化为求出XF+ 、判定Y是否为XF+的子集的问题,北京林业大学 软件教研室,52,求闭包的算法,算法4.1 求属性集X（X U）关于U上的函数依赖集F 的闭包XF+ 输入：X，F 输出：XF+ 步骤： （1）令X（0）=X，i=0 （2）求B，这里B = A |( V)( W)(VWFV X（i）A W)； （3）X（i+1）=BX（i） （4）判断X（i+1）= X （i）吗? （5）若相等或X（i）=U , 则X（i）就是XF+ , 算法终止。 （6）若否，则 i=i+l，返回第（2）步。,北京林业大学 软件教研室,53,算法4.1,对于算法4.1， 令ai =|X（i）|，ai
32、形成一个步长大于1的严格递增的序列，序列的上界是 | U |，因此该算法最多 |U| - |X| 次循环就会终止。,北京林业大学 软件教研室,54,函数依赖闭包,例1 已知关系模式R，其中 U=A，B，C，D，E； F=ABC，BD，CE，ECB，ACB。 求（AB）F+ 。 解 设X（0）=AB； (1) X（1）=ABCD=ABCD。(2) X（0） X（1）X（2）=X（1）BE=ABCDE。 (3) X（2）=U，算法终止（AB）F+ =ABCDE。,北京林业大学 软件教研室,55,4. Armstrong公理系统的有效性与完备性,定理4.2 Armstrong公理系统是有效的、完备的
33、 证明： 1. 有效性可由定理6.1得证2. 完备性只需证明逆否命题: 若函数依赖XY不能由F从Armstrong公理导出，那么它必然不为F所蕴含,北京林业大学 软件教研室,56,Armstrong公理系统完备性证明,(1) 引理: 若VW成立，且V XF+，则W XF+ (2) 构造一张二维表r，它由下列两个元组构成，可以证明r必是R（U，F）的一个关系，即F+中的全部函数依赖在 r上成立。XF+ U-XF+111 000 111 111 (3) 若XY 不能由F从Armstrong公理导出，则Y 不是XF+ 的子集。,北京林业大学 软件教研室,57,5. 函数依赖集等价,定义4.22 如果
34、G+=F+，就说函数依赖集F覆盖G（F是G的覆盖，或G是F的覆盖），或F与G等价。 引理6.3 F+ = G+ 的充分必要条件是F G+ ，和G F+ 证: 必要性显然，只证充分性。 （1）若FG+ ，则XF+ XG+ 。 （2）任取XYF+ 则有 Y XF+ XG+ 。所以XY (G+）+= G+。即F+ G+。 （3）同理可证G+ F+ ，所以F+ = G+。,北京林业大学 软件教研室,58,6. 最小依赖集,定义6.23 如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为一个极小函数依赖集。亦称为最小依赖集或最小覆盖。(1) F中任一函数依赖的右部仅含有一个属性。(2) F中不存在这样的函数依赖XA
35、，使得F与F-XA等价。(3) F中不存在这样的函数依赖XA， X有真子集Z使得F-XAZA与F等价。,北京林业大学 软件教研室,59,最小依赖集,例2 关系模式S，其中：U= Sno，Sdept，Mname，Cno，Grade ，F= SnoSdept，SdeptMname，(Sno，Cno)Grade 设F=SnoSdept，SnoMname，SdeptMname，(Sno，Cno)Grade，(Sno，Sdept)Sdept F是最小覆盖，而F不是。 因为：F - SnoMname与F 等价F - (Sno，Sdept)Sdept也与F 等价,北京林业大学 软件教研室,60,7. 极小化
36、过程,定理4.3 每一个函数依赖集F均等价于一个极小函数依赖集Fm。此Fm称为F的最小依赖集。 证明: 构造性证明，找出F的一个最小依赖集。,北京林业大学 软件教研室,61,极小化过程（续）,(1)逐一检查F中各函数依赖FDi：XY，若Y=A1A2 Ak，k 2，则用 XAj |j=1，2， k 来取代XY。 (2)逐一检查F中各函数依赖FDi：XA，令G=F-XA，若AXG+， 则从F中去掉此函数依赖。 (3)逐一取出F中各函数依赖FDi：XA，设X=B1B2Bm，逐一考查Bi （i=l，2，m），若A （X-Bi ）F+ ，则以X-Bi 取代X。,北京林业大学 软件教研室,62,极小化过程
37、（续）,例3 F = AB，BA，BC，AC，CAFm1、Fm2都是F的最小依赖集：Fm1= AB，BC，CA Fm2= AB，BA，AC，CA F的最小依赖集Fm不唯一 极小化过程( 定理4.3的证明 )也是检验F是否为极小依赖集的一个算法,北京林业大学 软件教研室,63,4.5 关系模式的分解*,4.5.1 模式分解问题 定义4.24 设有关系模式R(U)，R=R1R2Rk，=R1，R2，Rk。这里称为R的一个分解，也称为数据库模式。,泛关系模式,泛关系,数据库模式,数据库实例,R,r,=R1，R2，Rk,=,模式分解示意图,衡量关系模式的分解是否可取,分解是否具有无损连接 分解是否保持了
38、函数依赖,北京林业大学 软件教研室,64,4.5.2 无损连接分解,定义4.25 设有R，F是R上的函数依赖集，=R1，R2，Rk。如果对R中满足F的每一个关系r，有r =R1(r)R2(r)Rk(r),那么就称分解相对于F是“无损连接分解” ；否则称为“损失分解”。定理4.6 设=R1，R2，Rk是关系模式R的一个分解，r是R的任一关系，ri=Ri(r)（1ik）,那么有下列性质：（1）r m(r)；（2）若s=m(r)，则Ri(s)=ri；（3）m(m(r)=m(r)，这个性质称为幂等性。,北京林业大学 软件教研室,65,4.5.3 无损分解的测试算法,（1）构造一个k行n列的表格R，表中
39、每一列对应一个属性Aj（1jn），每一行对应一个模式Ri（1ik）。如果Aj在Ri中，则在表中的第i行第j列处填上符号aj，否则填上bij。（2）把表格看成模式R的一个关系，根据F中的每个函数依赖，在表中寻找X分量上相等的行，分别对Y分量上的每一列做修改： 如果列中有一个是aj，那么这一列上（X相同的行）的元素都改成aj； 如果列中没有aj，那么这一列上（X相同的行）的元素都改成bij（下标ij取i最小的那个）。 对F中所有的函数依赖，反复地执行上述的修改操作，一直到表格不能再修改为止（这个过程称为“追踪” 过程）。（3）若修改到最后，表中有一行全为a，即a1a2an，那么称相对于F是无损连接
40、分解。,北京林业大学 软件教研室,66,例4-11 设有关系模式R(A，B，C，D)，R分解成=AB，BC，CD，如果R上成立的函数依赖集F=BA，CD，那么相对于F是否为无损连接分解？,BA,a1,CD,a4,修改后的表格中的第二行为a1a2a3a4， 因此，相对于F是无损连接分解 。,北京林业大学 软件教研室,67,定理4.7 设=R1，R2是关系模式R的一个分解，F是R上成立的函数依赖集，那么分解相对于F是无损分解的充分必要条件是：(R1R2)(R1-R2)或(R1R2)(R2-R1) 当模式R分解成两个模式R1和R2时，若两个模式的公共属性（除外）能够函数决定R1（或R2）中的其他属性
41、，这样的分解具有无损连接性。,北京林业大学 软件教研室,68,4.5.4 保持函数依赖的分解,定义4.13 设有关系模式R(U)，F是R(U)上的函数依赖集，Z是属性集U上的一个子集，=R1，R2，Rk是R的一个分解。 F在Z上的一个投影用Z(F)表示：Z(F)=XY | XYF +XYZ； F在Ri上的一个投影用Ri(F)表示：=R1(r)R2(r)Rk(r)；如果有F +=( )+，则称是保持函数依赖集F的分解。,一个无损连接分解不一定是保持函数依赖的,一个保持函数依赖的分解也不一定是无损连接的,北京林业大学 软件教研室,69,4.5.5 关系模式规范化的要求,保证分解后的关系模式与原关系模式是等价的等价的三种标准： 分解要具有无损连接性； 分解要具有函数依赖保持性； 分解既要具有无损连接性，又要具有函数依赖保持性。,保证不丢失信息,减轻或解决各种异常情况,
