1、1,第3章 函数与无限集,3.1函数的基本概念 定义3.1:函数:设有集合X与Y ,而f是从X到Y的关 系,如对每个xX都存在唯一的yY,使得(x,y)f, 则称f是从X到Y的函数,或叫从X到Y的映射。它可记为 f:XY,或写成:XY,或记为yf(x)。 在f:XY中xX所对应Y内的元素y称x的像,而x叫y的 像源。,2,定理3.1:函数f:XY是满足下面条件的关系: (1)存在性条件每个xX存在yY有(x, y)f; (2)唯一性条件每个xX也仅存在一个yY,使 得(x, y)f。,3,第3章 函数与无限集,定义3.2:函数的定义域与值域:函数f:XY 其中 定义域D(f)可用Df表示,一般
2、,DfX. 而值域R(f)可用Cf表示,一般,Cf Y。 定义3.3:函数f:XY中如X=Y则称f为X上的函数。 例:N=0,1,2,3,是自然数集,则f:NN是 f(n)n+1,它是函数。 例:R是实数集,则f:RR, f(x)x2,是函数。,4,第3章 函数与无限集,3.2函数的表示有四种方法:枚举法,特性刻划法, 矩阵表示法及图示法。1.枚举法用序偶的集合表示函数。例:设有X= x1,x2,x3,x4,x5,Y=y1,y2,y3,y4,y5可以建立函数f:XY如下:f(x1, y1), (x2, y2), (x3, y1), (x4, y1), (x5, y5) ,5,第3章 函数与无限
3、集,2.特性刻划法:可用表示性质的方法以刻划元素。在函数中可用f(x, y)P(x, y)表示。如f:RR中, f(x)x +1, f(x)x2等均为用特性刻划法表示函数。3.矩阵表示法例:上例中的函数可用矩阵形式表示。一个关系为函数的充要条件是其矩阵每行有且仅有一个1.,6,第3章 函数与无限集,4.图示法函数中的图示法与关系图形式类似。例:上例中的函数可用下面的图3.1表示之。,7,例 设X=0,1,2,3,4,Y=0,1,2,3,4,9,16, f1=(x,y)|x2=y,f2=(x, y)| x=y2,判别f1 ,f2是函数吗? 下面的关系构成函数吗? (1)(x,y)|x,y为自然数
4、且x+y10; (2)(x,y)|x,y为自然数,y为小于x的奇数的数目。,8,3.3函数的分类,定义3.4满射:对函数f:XY如果有Cf Y则称f为从X 到Y的满射(或称从X到Y上的函数);否则,则称为从 X到Y的内射(或称为从X到Y内的函数)。 定义3.5单射:对函数f:XY如果有对每个i,j,若 ij则必有f(xi)f(xj),则称f为从X到Y的单射(或称为从X 到Y的一对一函数);否则,则称为多对一函数。 定义3.6双射:对函数f:XY,如果它既是单射又是满 射则称f为从X到Y的双射(或称为一一对应函数);如 有X=Y,则称f是X上的变换。,9,第3章 函数与无限集,10,如何用图示法
5、判断函数f: X Y是否为满射、单射或双射? 图中集合Y的每个结点均有边与X中元素相连,则该函数为满射; 图中集合Y的每个结点有不超过一条边与X中元素相连,则该函数为单射; 图中集合X与Y中的每个结点有且仅有一条边相连,则该函数为双射,11,如何用矩阵表示法判断函数f: X Y是否为满射、单射或双射? 矩阵中每列元素之和大于等于1,则该函数为满射 矩阵中每列元素之和小于等于1,则该函数为单射 矩阵中每列元素之和等于1,则该函数为双射。,12,判断下列函数是否为满射、单射或双射 X=Y=0,1,2,3,4,5,f: XY为f=(0,1), (1,2), (2,3), (3,4), (4,5),
6、(5,5).,13,函数的复合运算,定义3.7 函数的复合运算:设有函数 f:XY,g:YZ,则f与g的复合运算gof可定义如下:gof=(x, z)|xX,zZ且至少存在一个yY,有 y=f(x),zg(y)这个复合运算的结果h也是一个函数,h:XZ,它可记为hgof,它称为f与g的复合函数,也可记为: g(f(x),14,第3章 函数与无限集,函数复合运算也有四种表示方法。例:设有函数f:XY,g:YZ分别为:Xx1, x2 x3,Yy1, y2 ,Zz1, z2 :f(x1,y1),(x2,y2),(x3,y2)g( y1,z1),(y2,z2) 此时有:h=gof(x1,z1),(x2
7、,z2),(x3,z2)可用矩阵表示,15,第3章 函数与无限集,也可用图示法表示。,16,第3章 函数与无限集,例:设有集合X=1,2,3上的函数为:f:X X f(1, 3),(2, 1),(3, 2)g:X X g(1, 2),(2, 1),(3, 3)试求fog, gof, fof及gog解:下面给出四个复合函数如下:(1)fog(1, 1),(2, 3),(3, 2)(2)gof(1, 3),(2, 2),(3, 1)(3)fof(1, 2),(2, 3),(3, 1)(4)gog(1, 1),(2, 2),(3, 3),17,第3章 函数与无限集,2.函数的逆运算每个函数不一定都有
8、逆函数。它必须满足两个附加条件,所以一个函数是否有逆函数,要看函数之逆是否也满足两个附加条件。定义3.8函数逆运算:设函数f:XY是双射的(或称一一对应的),则由f所构成的逆运算称为函数f的逆运算,可记为f 1 ,而其运算结果h也是一个函数,即h:YX,它可记为h= f 1。它称为f的逆函数或反函数。函数的逆运算也有四种表示方式。,18,第3章 函数与无限集,例:设有函数f:X Y其中X=a,b,c,Y=1,2,3,判断f是否有逆函数并给出三种表示形式。(1)f=(a,3),(b,3),(c,1)(2)f=(a,3),(b,1),(c,2)解:(1)中f的图示 及矩阵表示可分别见图 3.6(a
9、),(b)如下:,19,第3章 函数与无限集,此函数不存在逆函数。(2)中f的图示及矩阵表示可见图3.7(a),(b)如下:,20,第3章 函数与无限集,可以看出此函数为一一对应,因此存在逆函数f 1:YX,它的三种表示形式分别为:(1)f 1=(3,a),(1,b),(2,c)(2)图示法可见图3.8(a)(3)矩阵表示法可见图3.8(b),图3.8 f 1图示及矩阵表示,21,有关逆运算及逆运算与复合运算间有如下性质 (1)若f是双射,则 也必是双射 (2)函数逆运算满足双否定律 (3),22,几个常用的函数,常值函数 恒等函数 单调函数 特征函数,23,第3章 函数与无限集,3.6多元函
10、数 定义3.12多元函数:设有集合X1,X2,Xn及Y,则f:X1X2XnY表示从n阶笛卡尔乘积(X1,X2,Xn )到Y的n元函数,或称多元函数。它亦可表示为f(x1,x2,xn)=y,其中xiXi(i=1,2,n)特别是当X= X1=X2=Xn=Y时,n元函数f:XnX可称作n元运算,当n=1时称为一元运算,当n1时称为多元运算。,24,第3章 函数与无限集,3.7有限集与无限集定义3.13:有限集与无限集:集合S如某元素个数有限则称为有限集,如其元素个数无限则称为无限集。例:下面的集合均为无限集:(1)自然数集N为无限集(2)时间T为无限集(3)三维空间点集是无限集定义3.14:集合的势
11、:集合S的元素个数称S的基数或称势,可记为:S。,25,第3章 函数与无限集,在有限集中集合的基数是一个自然数:例:S=1,2,3,4,则S=4例:S= a,b,c,z,则S=26在无限集中集合的基数则有专门的符号表示,如自然数集N的基数为0(念Aleph零)。其它与N一一对应的无限集如整数、有理数等也是0,所有这些基数为0的集合均称可列集。而实数集R不能与N一一对应,其基数称为(念Aleph)或称C。与势为一一对应的集合的势也为,这种集合称连续统。,26,第3章 函数与无限集,从基数观点看,常用集合分三个层次:有限集:集合的基数S为有限可列集:集合的基数为0连续统:集合的基数为由有限集及基数为0的无限集为基础构成了离散数学,而以基数为的无限集为基础则构成了连续数学。数学的两大门类即以不同的集合为基础所构成的。,