1、,第五讲 穿越黑暗近代数学的兴起,教学目标：了解三、四次方程求解方法，理解对数产生背景及思想和映射产生的背景及符合代数的意义，掌握解析几何产生的原因，熟练掌握射影几何产生的问题及其意义。 教学重点：三、四次方程解法，对数的产生和射影几何的产生 教学难点：对数产生的思想方法 教学素材：古今数学思想,一、文艺复兴的前奏,大学：波隆尼亚大学（1088）、巴黎大学（1160）、牛津大学（1167）摇篮 文艺复兴运动资产阶级文化的兴起 斐波那契（1170-1250），著作算经（算盘书） 内容：前七章为十进制整数及分数的计算问题；811章涉及商业计算的比例、利息、等差级数及等比级数，还有赚赔、合股、折扣、
2、复利等应用问题； 12、13章为求一次方程的整数解问题； 14章是求平方根、立方根的法则； 15章是几何度量及代数问题。,斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250):(1202),某人养了一对小兔子，假定每对兔子每月生一对小兔子，而小兔子出生后两个月就能生育，问从这对兔子开始，一年内能繁殖成多少对兔子？,裴波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，,U n=Un-1+Un-2 (n3),自然现象中的裴波那契数：向日葵花瓣依两个相反的螺旋形排列，朝一个螺旋方向生长的花瓣数同朝相反螺旋方向生长的花瓣数，几乎总等于裴波那契序列中两个相邻的数。菠萝、冬表、球花、牛眼菊和许多植物的花也
3、有类似的情形。一些花的花瓣数构成裴波那契序列中的一串数字电子学专门设计的电路也能产生裴波那契序列,二、近代数学的兴起,三次及以上的方程的根式解问题： 巴巧利认为x3+mx=n，x3+n=mx无根式解，就象解化圆为方一样。 费罗（1465-1526）发现了形如x3+mx=n（m,n0）的解法。 尼古拉丰丹纳（绰号塔塔里亚）（1499-1557），1535年宣布发现了三次方程的代数解法。,（一）代数学 1. 三、四次方程根式求解的成功费罗 （1515年）x3+mx=n (m,n0),塔塔利亚x3+mx2=n (m,n0),卡尔丹（1501-1576）医生、数学家、预言家。大法公布了三次方程的解法。
4、,大法（Ars Magna）,p, q 0,p, q 0,例：解方程,2.四次方程求解,费拉里（1522-1565），卡尔丹的学生，获得解一般四次方程的解法。,x4+ax3+bx2+cx+d=0 基本思想是通过配方、因式分解后降次,关于四次方程的解法，以后韦达和笛卡尔都作过研究，并取得成果，由此引发探求五次方程根式解的尝试，经拉格朗日、阿贝尔、伽罗瓦的努力，阿贝尔首先证明了一般的五次及以上方程无根式解，伽罗瓦在此基础上创造了群论，将代数研究推向纵深。,（二）代数符号体系与代数运算,韦达(F.Vieta):(1591) 近代数学的开始最重大的事莫过于符号代数的引进 韦达是第一个有意识地、系统地使
5、用字母,韦达（1540-1603），法国数学家，创立符号代数；发现根与系数的关系。,（三）计算技术与对数,纳皮尔（1550-1617），利用两种不同的运动之间的关系，建立了“对数”关系。称为纳皮尔对数。 布里格斯（1561-1631），建立了以10为底的常用对数，制出第一张常用对数表。 冈特（1581-1626），算出三角函数的常用对数表。 比尔吉（1552-1632），也独立发明了对数。 穆尼阁（1611-1656），把对数传入中国,纳皮尔,布里格斯,德国数学家斯蒂弗尔（约1487-1567）在 他的综合算术中指出： 几何数列：1,r,r2,r3, 算术数列：0,1,2,3, 指数与算术级数
6、之间的对应关系。,A,B,C,D,Z,A,B,C,D,E,Z,减速运动,匀速运动,三、解析几何的诞生,16世纪，机械的广泛运用，建筑业的兴起，造船业的发展，显微镜、望远镜的使用，要求数学确定各种复杂的曲线、曲面。航海业向天文学和数学提出精确测定经纬度要求，枪炮制造要求研究抛射体轨迹，这些都需有一种新思想、新方法来解决问题，这是解析几何产生的外部原因,其次，代数学的充分发展，使过去依赖几何方法解决代数问题的局面被打破，反过来利用代数方法研究几何的思想已成熟，这是内部原因。 第三，形数结合思想历来有之，古希腊阿波罗尼奥斯研究圆锥曲线时，偶尔引用正交直线来显示一种“坐标” ，依巴谷在天文、地理的研究
7、中曾明确指出一点的位置由经纬度来决定.到14世纪,奥雷斯姆(1323-1382)在其书中直接陈述过一种“坐标”几何。格塔拉底(1566-1627)继承韦达用代数研究几何的思想，写成阿波罗尼奥斯著作的现代阐释，对几何问题的代数解法作了系统的研究。1630年又在数学的分析与综合中更详细地讨论了这个问题，1631年哈里奥特在实用分析学中把格塔拉底的思想引伸并系统化。,最后，更为重要的是天体运动和物体运动的研究，启发数学家思考用运动观点来研究几何问题。 在德沙格和帕斯卡开辟了射影几何的同时，笛卡儿和费尔马开始构思现代解析几何的概念，并各自独立地创立了解析几何。这两项研究之间存在一个根本区别：前者是几何
8、学的一个分支，后者是几何学的一种方法。,笛卡尔(R.Descartes, 1596-1650): (1637),笛卡儿(1596-1650) ，法国著名哲学家、数学家。1637年，发表了方法论及其三个附录，他对解析几何的贡献，就在第三个附录几何学中，其中心思想是要把代数与几何继往开来起来，由方程自变量变化，函数值变化形成动点，得到方程曲线，他提出了几种由机械运动生成的新曲线。 费马(1601-1665) ，法国人业余数学家，数论方面是承前启后的人物，几何方面又是一个创造性人物。在平面和立体轨迹导论中，引进动点成线思想，利用坐标，把曲线用一个方程表示出来，解析地定义了许多新的曲线，然后进行研究。
9、 在很大程度上，笛卡儿从轨迹开始，然后求它的方程；费尔马则从方程出发，然后来研究轨迹。这正是解析几何基本原则的两个相反的方面，“解析几何”的名称是以后才定下来的。,这门课程达到现在课本中熟悉的形式，是100多年以后的事。象今天这样使用坐标、横坐标、纵坐标这几个术语，是莱布尼兹于1692年提出的。1733年，年仅18岁的克雷洛出版了关于双重曲率曲线的研究一书，这是最早的一部空间解析几何著作。1748年，欧拉写的无穷分析概要，可以说是符合现代意义的第一部解析几何学教程。1788年，拉格朗日开始研究有向线段的理论。1844年，格拉斯曼提出了多维空间的概念，并引入向量的记号。于是多维解析几何出现了。解
10、析几何在近代的发展，产生了无穷维解析几何和代数几何等一些分支。普通解析几何只不过是代数几何的一部分，而代数几何的发展同抽象代数有着密切的联系。,四、从透视学到射影几何,布努雷契(F.Brunelleschi,1377-1446) 阿尔贝蒂(L.B. Alberti ,1404-1472)迪勒(A.Drer, 1471-1528),英国画家柯尔比(1754) 卷首插图,出发点,透视画的天才阿尔贝蒂提出一个很重要的问题：如果眼睛和景物之间插立一张直立的玻璃屏板，设想光线从眼睛出发射在景物上，那么这些光线形成投影锥，投影锥经过屏板上的点便形成截景，截景给眼睛的印象和物景本身一样。如果在眼睛与物景之间
11、再插另一张屏板，那么两个截景都传达原来的形象，但它们具有何数学关系？,眼,物景,截景,德沙格的工作,德沙格（1591-1661），法国陆军军官，德沙格定理。迪沙格发表了本关于圆维曲线的很有独创性的小册子试论锥面截一平面所得结果的初稿 ，从开普勒的连续性原理开始，导出了许多关于对合、调和变程、透射、极轴、极点以及透视的基本原理,1、两投影三角形对应边交点共线，反之，对应边共点的两三角形，对应顶点的连线共点（德沙格定理）,2、交比在投影下的不变性； 3、对合、调合点组关系不变性。,对任一直线上的定点O，称直线上的两对点A，B和A，B是对合的，如果成立：OAOB=OA OB,任一不过顶点的直线遭到圆
12、锥曲线以及完全四边形相交的点具有对合关系,A,C,B,D,G,E,H,F,A，B；C，D；E，F；G，H是四组点对合,3、对合、调合点组投射关系不变性 调合点组：有一点E，若使OAOB=OE2 则称E为二重点，另还有一个二重点F，O是EF的中点，称点A，B；E，F是调合点组。,4、极带,极带,帕斯卡（1623-1662），著作圆锥曲线论（1640），帕斯卡定理。 拉伊尔（1640-1718），著作圆锥曲线，获得定理：若一点Q在直线p上移动，则该点Q的极带将绕直线p的极点P移动。,4.三角学雷格蒙塔努斯(J.Regiomontanus,1436-1476):,CP CR = k CQ2 或,（k 为常数）,帕普斯定理,z = b z2 = - az + b z3 = - az +bz + c z4= - az + bz + cz + d . . .z2 = az + b2 z2 = - az + b2 z2 = az - b2,代数方程根的作图,费马(P.de Fermat, 1601-1665),(1629),
