1、1,第6章 图的基本概念,王瑞民 ,2,引言,图论历史：200多年，近年发展尤为迅速 1736年，瑞士数学家Euler哥尼斯堡七桥问题 迷宫问题、博弈问题、棋盘行马遍历问题 1847年，kirchhoff用图论第一次进行电网络分析 应用学科：社会科学、语言学、计算机科学、物理、化学、信息论、控制论、经济管理. 计算机科学中的应用：开关理论、逻辑设计、人工智能、形式语言、操作系统、编译程序、数据结构、信息检索.,3,第6章 图的基本概念,6.1 基本定义 6.2 子图和图的同构 6.3 通路与回路 6.4 最短路算法 6.5 图的连通性 6.6 图的矩阵表示,4,图论实质,事物之间的联系 用“点
2、”表示事物，用“线”表示事物之间的联系无关因素：连线的长度、形状；顶点的位置,5,定义6.1.1 图,一个图为一个二元组G= V为非空的顶点集，有时也记为V(G) E为边集，有时也记E(G) 边为顶点的无序偶或有序偶 G的顶点个数，称为图的阶,6,例 6.1.1,G= V=a,b,c,d E=e1,e2,e3,e4,e5,e6，其中 e1=(a,b) e2=(a,c) e3=(b,d) e4=(b,c) e5=(d,c) e6=(a,d) 图6-2,7,概念,若边ek与顶点的无序偶(vi,vj)相关联，则称为无向边 若边ek与顶点的有序偶(vi,vj)相关联，则称为有向边，vi称为ek的始点，
3、vj称为ek的始点 每条边都是无向边的图，称为无向图 每条边都是有向边的图，称为有向图 既有有向边，又有无向边的图，称为混合图。图6-3,8,概念,一个图中，若两个顶点由一条边（有向或无向）相关联，称这两点为邻接顶点 孤立顶点：一个图中，不与任何顶点相邻接的顶点 零图：仅有孤立顶点组成的图 平凡图：仅有一个孤立顶点构成的图 平凡图=零图？,9,自环,关联于同一顶点的一条边，称为自回路，或自环,2,3,1,10,无向平行边,连接两个顶点的无序偶的无向边，若多于一条，则称为无向平行边,2,3,1,11,有向平行边,连接两个顶点的有序偶的有向边，若方向相同的边多于一条，则称为有向平行边,2,3,1,
4、4,12,定义6.1.2 多重图,含有平行边的图，称为多重图,2,3,1,4,13,定义6.1.3 简单图,既无平行边，又无环的图，称为简单图,2,3,1,14,定义6.1.4 带权图,图G= 信息集合Rf,Rg 映射f: V- Rf, g: E-Rg 称4元组V,E,f,g、3元组V,E,f 、3元组V,E,g为带权图，图6-6 Rf,Rg可以是纯数值，也可以是有意义的符号串、文字等,15,定义6.1.5 有（无）限图,G= 若|V|图,16,定义6.1.6 顶点的度数,G=为无向图 与顶点v关联的边数，称为顶点v的度数 记为：deg(v)或d(v) 约定：若顶点上每增加一个环，该顶点的度数
5、加2。图6-7 (G)=maxdeg(v)|vV(G)，称为G的最大度数 (G)=mindeg(v)|vV(G) ，称为G的最小度数,17,定义6.1.7 入（出）度,G=为有向图 以顶点v为终点的边数，称为顶点v的入度 记为：deg-(v)或d-(v) 以顶点v为始点的边数，称为顶点v的出度 记为：deg+(v)或d+(v) 一顶点的出度与入度之和，称为该顶点的度数 记为：deg(v)或d(v),18,定理6.1.1 握手定理,任一图（有向或无向）中，各顶点度数之和等于边数的2倍 vVd(v)=2|E| 证明：每条边关联2个顶点（可能是相等的两个顶点），每条边给予关联的每个顶点的度数为1,1
6、9,定理6.1.2,任一图（有向或无向）中，度数为奇数的顶点的个数，一定是偶数 证明：设V1,V2分别是G中奇数度数和偶数度数的顶点集，则 vV1d(v)+vV2d(v)=2|E| vV2d(v)为偶数，2|E|为偶数，则vV1d(v)也为偶数 即|V1|为偶数,20,定理6.1.3,任一有向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和，即 vVd+(v)=vVd-(v)=|E|,21,定义6.1.8 无向完全图,G=为具有n个顶点的无向简单图，若每一对顶点间都有边相连 称为无向完全图 记作：Kn 无向完全图Kn中，有m=n(n-1)/2条边 若Kn中每一边都确定一个方向，称为n个顶点的竞赛
7、图,22,定义6.1.9 k次正则图,若无向图G的所有顶点都具有相同的度数k，则称无向图G为k次正则图 图6-8,23,第6章 图的基本概念,6.1 基本定义 6.2 子图和图的同构 6.3 通路与回路 6.4 最短路算法 6.5 图的连通性 6.6 图的矩阵表示,24,定义6.2.1 子图,无（有）向图G=,G=,若 EE；VV；E中边所关联的顶点，均在V中 则称G为G的子图，G称为G的母图 记作：GG 若VV或EE，则称G为G的真子图 记作：GG，图6-9 若V=V, EE，则称G为G的生成（支撑）子图 注：零图、G本身都是G的子图，称为平凡子图,25,定义6.2.2 补图,设G=是G=的
8、子图 G=是图 若 E=E-E，且V由两部分顶点组成： E中的边所关联的顶点 在V中而不在V中的孤立顶点 称G是G相对于G的补图 记作： 补图具有对称性，图6-10,26,定义6.2.4 图的同构,设G=,G= 若存在双射：V-V，使得 E iff E 称G与G是同构的 记作：GG 同构含义：顶点一一对应，边一一对应，且保持关联关系（有向图还要求保持边的方向），图6-11,27,同构的必要条件,|V|=|V| |E|=|E| 度数相同的顶点数目相同 必要但不充分,a,b,e,f,g,h,c,d,1,2,5,6,7,8,3,4,28,第6章 图的基本概念,6.1 基本定义 6.2 子图和图的同构
9、 6.3 通路与回路 6.4 最短路算法 6.5 图的连通性 6.6 图的矩阵表示,29,研究方法,通路与回路是图论中的重要概念 先讨论有向图 推广到无向图 G=为有向图，若G的边序列中，每个边的终点都是另一边（若存在）的起点，即 ei1,ei2,.,eik或 ,.,或 (vi1,vi2,.,vik+1),30,定义6.3.1 通路、回路,给定有向图的边的任何一个序列，其中任何一边的终点是继之出现的边（若存在）的起点，称这样的边的序列为图的通路 通路第一条边的起点，称为通路的起点 通路最后一条边的终点，称为通路的终点 通路的起点如果和终点是同一个顶点，则称该通路为一个回路 通路中边的条数，称为
10、通路的长度,31,定义6.3.2 简单通路,所有边互不相同的通路，称为简单通路（或迹） 所有点互不相同的通路，称为基本通路（或路） 所有边互不相同的回路，称为简单回路 所有顶点互不相同（始点和终点除外）的回路，称为基本回路 长度为偶（奇）数的回路，称为偶（奇）回路,32,例6.3.1,求从1到3的通路 P1:, P2:1,4,3 P3:1,2,4,3 P4:1,2,4,1,2,3 P5:1,2,4,1,4,3 P6:1,1,1,2,3 P1,P2,P3基本通路，P5简单通路 基本通路，一定是简单通路,1,2,4,3,33,例6.3.2,回路 C1:1,1 C2:1,2,1,2,3,1 C3:1
11、,4,3,1 C4:1,4,3,4,1 基本回路，一定是简单回路,1,2,4,3,34,结论,回路中，从通路的观点来看，作为起点的顶点会出现两次 非基本通路的通路中，必定包含回路（通路中某些顶点出现两次） 包含回路的通路中，删除回路，可以得到基本通路。即 从vi到vj如果存在一条通路，一定存在从vi到vj的基本通路 同理：由回路还可求得基本回路,35,定义6.3.3 可达,G=是一简单有向图，且vi,vjV 若从vi到vj存在一条通路，则称vi到vj是可达的 vi到自身是可达的 可达性与可供选择的通路的个数、通路的长度无关 可达性是简单有向图顶点集合上的二元关系，具有自反性、可传递性,36,定
12、义6.3.4 顶点距离,若顶点vi到vj是可达的，则从vi到vj的长度最短的通路，称为测地线（短程线） 从vi到vj的测地线（最短通路），称为从vi到vj的距离 记为：d,37,顶点距离的性质,d0，当i=j时，等号成立 d=，若vi到vj不可达 d+dd（三角不等式） 一般地，对于有向距离， dd,38,定理6.3.1,在一个具有n个顶点的有向图中 (1) 任何基本通路的长度，不超过n-1 (2) 任何基本回路的长度，不超过n 证明：(1)任何一条基本通路中，各顶点互不相同。在长度为k的基本通路中，不同顶点的数目为k+1。因为只有n个不同的顶点，所以基本通路的长度不会超过n-1 (2)通过顶
13、点v的基本回路中，去掉与vi相关联的一边，得到一条基本通路,39,可达集,G=为有向简单图，且vV 从v出发，能够达到的一切的顶点集合，称为顶点v的可达集 记为：R(v) 设SV，从S中任何一点出发，能够达到的所有顶点的集合，称为S的可达集 记作：R(S) R(S)=v|vVuS，使得u到v是可达的,40,例6.3.3,求各顶点的可达集 R(vi)=?,v1,v2,v3,v6,v9,v4,v5,v7,v8,v10,41,顶点基,有向图G=中，如果V的子集S的可达集是V，且S的任一真子集的可达集都不是V，则称S为V的顶点基 顶点基为vi,v8,v9,v10(i1,2,3,4,5),v1,v2,v
14、3,v6,v9,v4,v5,v7,v8,v10,42,通路、回路的推广,有向图通路定义中的边序列中的每条边，都有确定的起点和终点 无向图中，每条边是无序偶，可把任何一点看作起点或终点 一条无向边相当于两条方向相反的有向边（顶点相同） 在无向图中，可达性、距离是对称的，定理6.3.1仍成立,43,第6章 图的基本概念,6.1 基本定义 6.2 子图和图的同构 6.3 通路与回路 6.4 最短路算法 6.5 图的连通性 6.6 图的矩阵表示,44,引言,最短路指两个顶点间的最短通路 选优问题，一般都可以转化为图论中的最短路问题 最短路问题在运筹学中应有广泛,45,求解算法,求解最短路问题的算法，经
15、常与G的类型有关系：有向还是无向；各边的权是全部为1、还是任意的非负值、还是允许为负 问题类型也不相同： 是从一个给定顶点到另一顶点、还是从给定顶点到所有顶点、还是从每个顶点到所有顶点 是只找一条最短路径、还是找所有最短路、还是计算最短路的长度,46,Moore算法(BFS算法),有限无向图，各边权为1，给定两顶点u,w，求最短路（设各顶点无标号） (1)顶点u标号为0 (2)i=0 (3)求出所有至少与一个标号为i的顶点关联的，未标号的顶点。若不存在这样的顶点，则停止 (4)将（3）中求出的所有顶点标号为i+1 (5)若顶点w已经标号，则停止 (6)i=i+1，转(3) 最终w的标号，即为u
16、到w的距离,47,求顶点a与b之间的最短通路,48,Dijkstra算法背景,带权图中，通路的权等于通路上所有边的权之和 两顶点间所有通路中，权最小的一条通路称为最短路 Dijkstra算法求解有限简单连通图、所有边的权非负，一个顶点到其它各顶点的最短路 1959年提出该算法,49,Dijkstra算法思想,G=是带权的简单无向图 边(u,v)的权记为w(u,v)。若(u,v)不存在，则w(u,v)=，顶点v的标号记为l(v) 开始：置S=u0，S=V-S l(v)=minvSl(v),l(ui)+w(ui,v)，求得S中每个顶点的标号 l(ui+1)=minvSl(v)，求得S中标号最小得顶
17、点ui+1，即为u0到ui+1的最短路且其长度为l(ui+1) 将ui+1添到S中 重复以上过程，直到S=V(S=)，可求得u0到各顶点的最短路及其长度,50,Dijkstra算法,初始化：l(u0)=0；对vV，vu0，有：l(v)=；S=u0；i=0 S=V-S。若S=，则停止。否则，对vS，令l(v)=minuiSl(v),l(ui)+w(ui,v) 求ui+1 ，使得l(ui+1)=minvSl(v) Sui+1S 转2,51,第6章 图的基本概念,6.1 基本定义 6.2 子图和图的同构 6.3 通路与回路 6.4 最短路算法 6.5 图的连通性 6.6 图的矩阵表示,52,引言,通
18、过两点的可达性，研究图的连通性 先讨论无向图的连通性 再讨论有向图的连通性,53,定义6.5.1 连通图,G为无向图，若G中任何两个顶点之间，至少存在一条通路，则称G是连通的 否则G是非连通的 无向图的连通性，是顶点集V上的等价关系 等价关系可对顶点集做一个划分：把V划分为非空子集V1,V2,.,Vm，使得两个顶点是可达的，iff它们属于同一个Vi 子图GV1,.,GVm称为图G的连通分支(分图) G的连通分支数，记为w(G) 图6-2324,54,改变连通性,连通图中，删除某些顶点或边，可导致不连通 删除顶点v的含义：删除v及与v关联的边 删除边的含义：仅删除边，边的顶点还保留 图6-25,
19、55,定义6.5.2 点割集,设无向图G=为连通图，点集V1V 若删除V1中所有顶点后，所得的子图是非连通的 而删除了V1的任何真子集后，所得的子图，仍是连通的，则称V1是G的一个点割集 若一个顶点构成一个点割集，则称该点为割点 图6-26,56,点连通度,若G不是完全图，定义 k(G)=min|V1| |V1为G的点割集为G的点连通度 (或连通度) 点连通度k(G)是为了产生一个非连通图所需要删除的顶点的最少数目 非连通图的连通度为0 存在割点的连通图，其连通度为1 完全图Kn中，删除p(pn-1)个顶点，仍是连通图，但删除n-1个顶点，产生一个平凡图，k(Kn)=n-1,57,定义6.5.
20、3 边割集,设无向图G=为连通图，点集E1E 若删除E1中所有边后，所得的子图是非连通的 而删除了E1的任何真子集后，所得的子图，仍是连通的，则称E1是G的一个边割集 若一条边构成一个边割集，则称该边为割边(桥),58,边连通度,G的割边，为G的一条边e，使得连通分支数w(G-e)w(G) 若G不是平凡图，定义 G的边连通度(G)=min|E1| |E1为G的边割集为G的边连通度 边连通度(G)是为了产生一个非连通图所需要删除的边的最少数目 平凡图G，定义(G)=0 非连通图G，(G)=0,59,定理6.5.1,对任一无向图G，k(G)(G)(G) 证明：若G非连通，则k(G)=(G)=0(G
21、)，显然成立 若G连通，先证(G)(G) 若G是平凡图，则(G)=0(G) 若G是非平凡图，则每一个度数为(G)的顶点的所有关联边，包含一个边割集，故(G)(G),60,定理6.5.1,对任一无向图G，k(G)(G)(G) 证明：若G连通，再证k(G)(G) 若(G)=1。则G有一割边，此时k(G)=1。不等式成立 若(G)1。则可删除(G)条边，使得G非连通；而删除其中(G)-1条边仍是连通的，此时有一条桥e=(u,v) 对于(G)-1条边中的每一条边，都选取一个不同于u和v的端点，将这些端点删去，则至少需要删去(G)-1条边。若这样产生的图是非连通的，则k(G)(G)-1(G)；若这样产生
22、的图仍是连通的，则e仍是桥，此时再删去u或v，产生一个非连通图，故k(G)(G) 总之：k(G)(G)(G),61,图6-27,k(G)=2，(G)=3，(G)=4,a,b,62,定理6.5.2,G为无向连通图 顶点v是割点iff存在两个顶点u,w，使得u到w的所有通路都经过v 证明：设删去v得到子图G。则G至少包含两个连通分支。设为G1=和G2=。任取uV1，wV2 由于G是连通的，故G中存在连接u和w的通路p u和w属于两个不同的连通分支，p必须通过v 即：u到w的所有通路都经过v,63,定理6.5.2,G为无向连通图 顶点v是割点iff存在两个顶点u,w，使得u到w的所有通路都经过v 证
23、明：若连通图G中某两个顶点的每一条通路都通过v 删去v得到子图G G中这两个顶点不可达 v是G的割点,64,定义6.5.4 有向图的连通,有向图G 略去边的方向，得到的无向图，如果是连通的，则称G是弱连通的 任意两个顶点u和v。若从u到v可达，或从v到u可达，则称G是单向连通的 若任意两个顶点u和v，都是相互可达的，称G是强连通的,65,图6-28,G是强连通的，则是单向连通的 G是单向连通的，则是弱连通的 反之都不真,d,a,b,c,d,a,b,c,d,a,b,c,66,极大子图,G=是简单有向图，且G是G的子图 对于某一种性质，如果再没有包含子图G的子图具有给定的性质 称G的子图G是相对于
24、该性质的极大子图,67,定义6.5.5,G=是简单有向图 G的极大强连通子图，称为G的强分图 G的极大单向连通子图，称为G的单向分图 G的极大弱连通子图，称为G的弱分图,68,图6-29,1,2,3,4,5,6的导出子图，为强分图 1,2,3,4,5,6,5的导出子图，为单向分图 1,2,3,4,5,6的导出子图，为弱分图,1,2,3,4,5,6,69,定理6.5.3,G=是简单有向图，G的每个顶点都恰处于一个强分图中 证明：设vV。令S是G中所有与v相互可达的顶点的集合。则vS，且S是G的一个强分图 所以G的每个顶点位于一个强分图中,70,定理6.5.3,G=是简单有向图，G的每个顶点都恰处
25、于一个强分图中 证明：设v位于两个不同的强分图S1与S2中 S1中每个顶点与v相互可达 V与S2中每个顶点也相互可达 故S1中任何顶点与S2中任一顶点通过v相互可达 与S1是强分图矛盾 故G的每个顶点只能位于一个强分图中,71,第6章 图的基本概念,6.1 基本定义 6.2 子图和图的同构 6.3 通路与回路 6.4 最短路算法 6.5 图的连通性 6.6 图的矩阵表示,72,引言,顶点与边数不多时，使用图形表示法，直观明了 顶点或边数较多时，不适合使用图形表示法 使用矩阵可以表示图，并刻画图的一些性质 矩阵在计算机中易于存储和处理,73,定义6.6.1 邻接矩阵,G=是简单有向图，设V为有序
26、集v1,v2,.,vn 定义nxn矩阵A(G)=(aij)nxn为 aij=1，若(vi,vj)E aij=0，若(vi,vj)E 称矩阵A(G)为图G的邻接矩阵,74,图6-32,0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0,v1,v2,v3,v4,75,邻接矩阵的性质,邻接矩阵是图的矩阵表示，元素非0即1 称为布尔矩阵 邻接矩阵与V中二元关系E的关系矩阵相同 第i行中1的个数，等于vi的出度 第j列中1的个数，等于vj的入度 邻接矩阵与有向简单图一一对应,76,邻接矩阵的性质,邻接矩阵是图的矩阵表示，元素非0即1 称为布尔矩阵 邻接矩阵与V中二元关系E的关系矩阵相同 第i
27、行中1的个数，等于vi的出度 第j列中1的个数，等于vj的入度 邻接矩阵与有向简单图一一对应,77,邻接矩阵的性质,邻接矩阵与顶点的标定次序有关 vi与vj对换，相当于矩阵的第i行与第j行对换，并且矩阵的第i列与第j列对换 n阶方阵矩阵A的某些行作置换，相应的列做同样的置换，得到新的n阶方阵A。称A与A置换等价 置换等价是n阶方阵集合上的等价关系 用邻接矩阵表示图时，不再考虑元素的次序,78,邻接矩阵的性质,简单有向图G=的顶点集V=v1,v2,.,vn，邻接矩阵为A(G)=(aij)nxn 从vi到vj的长度为2的通路，中间须经过某个顶点vk 如果图G中有通路(vi,vk,vj)，则aik=
28、akj=1 反之，若图中不存在通路(vi,vk,vj)，则aik=0或akj=0，即aikakj=0 故：从vi到vj的长度为2的通路的个数为 ai1a1j+ai2a2j+.+ainanj=k=1-naikakj A(G)2中第i行、第j列的元素aij(2),79,邻接矩阵的性质,简单有向图G=的顶点集V=v1,v2,.,vn，邻接矩阵为A(G)=(aij)nxn 从vi到vj的长度为2的通路，中间须经过某个顶点vk 如果图G中有通路(vi,vk,vj)，则aik=akj=1 反之，若图中不存在通路(vi,vk,vj)，则aik=0或akj=0，即aikakj=0,80,邻接矩阵的性质,从vi
29、到vj的长度为2的通路的个数为 ai1a1j+ai2a2j+.+ainanj=k=1-naikakj A(G)2中第i行、第j列的元素，记为：aij(2) aij(2)表示从vi到vj长度为2的通路的数目；aii(2)表示通过vi的长度为2的回路的数目 从vi到vj的长度为3的通路，可看作是从vi到vk的一条长为1的通路，再连接从vk到vj的一条长度为2的通路 从vi到vj的长度为3的通路个数为 aij(3)=k=1-naik(akj(2),81,定理6.6.1,简单有向图G=的邻接矩阵为A(G)。则A(G)m中的第i行j列元素aij(m)，等于G中从vi到vj的长度为m的通路的数目 证明：对
30、m进行归纳。当m=2时，命题成立 设命题对m成立 aij(m+1)=k=1-naik(akj(m) 由邻接矩阵定义：aik表示vi到vk长度为1的通路的数目；akj(m)是连接vk与vj的长度为m的通路的数目 故式子右面的每项表示由vi经过一条边到vk，再由vk经过一条长度为m的通路到vj的，总长度为m+1的通路的数目 对所有的k求和，即得aij(m+1)是从ai到vj的长度为m+1的所有通路的数目。命题成立 故：定理为真,82,例6.6.1,求邻接矩阵A，A2，A3，A4 目的：回路，通路及它们的长度,v5,v4,v1,v2,v3,83,两顶点间是否存在通路？,通过邻接矩阵A，可以计算A2，
31、A3，.，An 若某个Ak的aij(k)0，则顶点vi,vj可达 计算烦琐 A的幂计算到何时为止？ n个顶点的图，任两点间的基本通路的长度不超过n-1 故只需要考虑aij(k)即可，0kn 有向图中任意两点间的可达性，也可用矩阵表示,84,定义6.6.2 可达性矩阵,简单有向图G=的顶点集V=v1,v2,.,vn，且顶点已经排序。矩阵P=(pij)nxn pij=1，若vi到vj存在通路 pij=0，若vi到vj没有任何通路 称P为图G的路径(通路)矩阵 设I为单位矩阵，v为布尔矩阵的加法 称D=PvI为图G的可达性矩阵,85,可达性矩阵的求法,由图的邻接矩阵，可求得可达性矩阵D 方法是： 令
32、Bn-1=A+A2+.+An-1 Bn-1中不为零的元素，改为1；为零的元素保持不变 改换过的矩阵即为通路矩阵P 从而求得D,86,例6.6.2,A= 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 求B3=A+A2+A3 P D=PvI,87,可达性矩阵的求法二,可达性矩阵为布尔矩阵 求可达性矩阵时，对各长度为k的通路的个数不感兴趣 只关心是否存在通路 设A(k)表示布尔运算意义下的A的i次方 求可达性矩阵时，可将Ak改为A(k)，再作逻辑加运算,88,例6.6.3,P=A(1)vA(2)vA(3) =,89,无向图的矩阵表示法,每条无向边看作两条方向相反的有向边 则：无向图
33、相当于有向图 有向图的邻接矩阵、通路矩阵、可达性矩阵依然适用 无向图的邻接矩阵、通路矩阵、可达性矩阵均为对称矩阵,90,多重图的矩阵表示法,类似于有向图 aij=0，表示从vi到vj无边相连 aij=k，表示从vi到vj有k条边相连,91,带权图的矩阵表示法,aij=0，表示从vi到vj无边相连 aij=w，表示从vi到vj有边相连，且权为w,92,小结,6.1 基本定义：图、有(无)向边、有(无)向图、邻接顶点、孤立顶点、零图、平凡图、自回路、有(无)向平行边、多重图、简单图、带权图、有(无)限图、(出入)度、图的最大最小度、完全图、正则图、握手定理 6.2 子图和图的同构：子图、生成子图、补图、同构 6.3 通路与回路：(基本、简单)通(回)路、可达、测地线、测地线的距离、(顶点的、集合的)可达集、顶点基 6.4 最短路算法：Moore、Dijkstra算法 6.5 图的连通性：连通图、连通分支数、点(边)割集、割点(边)、点(边)连通度、k(G)(G)(G)、强(单向、弱)连通、极大子图 6.6 图的矩阵表示：邻接矩阵、可达矩阵,
