1、图 论,图的基本概念,七座桥所有的走法一共有7！=5040种。 1736年，在经过一年的研究之后，29岁的欧拉提交了哥尼斯堡七桥的论文，圆满解决了这一问题，同时开创了数学新分支-图论。,图 论,在许多应用领域中：地图导航、网络技术研究及程序流程分析都会遇到由“结点”和“边”组成的图 在计算机许多学科中如：数据结构、操作系统、网络理论、信息的组织与检索均离不开由这种“结点”和“边”组成的图以及图的特殊形式-树。 图与树是建立和处理离散对象及其关系重要工具。如地图导航、周游问题、图像分割等等。,一、图的概念,1、无序积定义：设A，B为任意的两个集合，称 a，b aAbB 为A与B的无序积，记作A
2、& B其元素a，b 可简记为（a，b） 2、图的定义1）定义1 一个无向图是一个有序的二元组 ，记作G，其中(1) V 称为顶点集，其元素称为顶点或结点(2) E称为边集，它是无序积VV的多重子集，其元素称为无向边，简称为边例：无向图G = 其中 顶点集合 Vv1,v2,v3,v4 边集合 E(v1,v2),(v2,v3),(v3,v2),(v3,v1),(v2,v2),(v2,v2),(v1,v2), 园括号表示无向边 有平行边,2） 定义2 一个有向图是一个有序的二元组，记作D，其中(1) V 称为顶点集，其元素称为顶点或结点(2)E为边集，它是笛卡儿积 VV的有穷多重子集，其元素称为有向
3、边，简称边(弧)有向图D= 其中 Vv1,v2,v3 边集合E, ,（与前面的关系的图表示相当）,6）邻接：边的相邻：ek，elE若ek与el至少有一个公共端点，则称ek与el是相邻的顶点的相邻：若etE，使得et = ，则称vi为et的始点，vj为et的终点，并称vi邻接到vj，vj邻接于vi 两个结点为一条边的端点，则称两个结点互为邻接点，也称边关联于这两个结点，或称两个结点邻接于此边。 7）平行边：在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且它们的方向相同，则称这些边为平行边 8）多重图和简单图：
4、含平行边的图称为多重图既不含平行边也不含环的图称为简单图（主要讨论简单图）,4、结点的度1) 定义4 设G为无向图， v V，称v作为边的端点的次数之和为v的度数，简称为度，记作dG(v)，简记为d(v)，即为：结点v 所关联的边的总条数关于有向图D 有：vV，称v作为边的始点的次数之和为v的出度，记作d+(v)，称v作为边的终点的次数之和为v的入度，记作d-(v)称d+(v)+ d-(v)为 v的度数，记作dD(v).2) 称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为悬挂边根据结点的度数可将结点分为：度为偶数(奇数)的顶点称为偶度顶点(奇度顶点).一个环提供的度为2（有向图的环提供入度1和出
5、度1）,3）定义：(G) = maxd(v)|vV(G) 为图G中结点最大的度(G) = mind(v)|vV(G) 为图G中结点最小的度简记为、 定义： (D) = maxd(v)|vV(D) 为图D中结点最大的入度(D) = maxd(v)|vV(D) 为图D中结点最大的出度-(D) = mind(v)|vV(D) 为图D中结点最小的入度(D) = mind(v)|vV(D) 为图D中结点最小的出度5、握手定理（欧拉） 1)定理1 设G为任意无向图,Vv1，v2，vn,E = m，则 d(vi) 2m (所有结点的度数值和为边数的2倍)证: G中每条边(包括环)均有两个端点，所以在计算G中
6、各顶点度数之和时，每条边均提供2度，当然，m条边共提供2m度 2) 定理2 设D为任意有向图,Vv1，v2，vn,|E| = m ，则 d+(vi) = d-(vi) = m 且d(vi)2m 3) 推论 任何图(无向的或有向的)中，奇度顶点的个数是偶数个,4) 结点的度数序列(1) 设G为一个n阶无向图，Vv1，v2，vn称d(v1)，d(v2)， ，d(vn) 为G的度数列注：由推论可知，不是任何一个非负整数序列均可作为一个图的度数列。条件：奇度数的结点个数应该是偶数个（2）序列的可图化：对一个整数序列d=(d1,d2,dn),若存在以n个顶点的n阶无向图G，有d(vi)=di ，称该序列
7、是可图化的。 特别的，如果得到的是简单图，称该序列是可简单图化的。（3）定理 设非负整数列d(d1，d2，dn)，则d是可图化的当且仅当di 是偶数(序列之和必须是偶数)（4）由于简单图中没有平行边及环定理：设G为任意n阶无向简单图，则(G)d2dn=1 且di= 偶数d4=（3,3,3,1） 分析 d5=（4,4,3,3,2,2）,二、图的同构 定义：设G1，G2=为两个无向图(有向图)，若存在双射函数 f：V1 V2 对于 vi，vj V1，(vi，vj) E1 当且仅当(f(vi),f(vj) E2 并且(vi，vj) 与(f(vi),f(vj)的重数相同，则称G1与G2是同构的，记作G
8、l G2。对有向图有相同的定义。定义说明了:两个图的各结点之间，如果存在着一一对应关系 f 这种对应关系又保持了结点间的邻接关系， 那么这两个图就是同构的在有向图的情况下， f 不但应该保持结点间的邻接关系，还应该保持边的方向。,结点数相同边数相同 结点的度相同 但是两个图 不同构,注： 1) 两个图同构的必要条件 阶数相同（顶点） 边数相同 度数相同的顶点数相同同构的必要条件，并不是充分条件 2)图之间的同构关系可看成全体图集合上的二元关系。具有自反性，对称性和传递性，是等价关系。同构的图为一个等价类，在同构的意义之下都可以看成是一个图。,例 (1)画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图结点
9、个数与边数相同，只需找出顶点度数序列不同的图（2 36） 如何将度数6分配给4个结点：1 1 1 3 相应的图 2 2 1 12 2 2 0例 (2)画出3阶2条边的所有非同构的有向简单图结点个数与边数相同，只需找出顶点度（出度及入度）数序列不同的图结点总度数： 224,度数分配 1 2 1 按出度与入度分配： 入度列 1 1 0 出度列 0 1 1入度列 0 2 0 出度列 1 0 1入度列 1 0 1 出度列 0 2 0,度数分配 2 2 0 按出度与入度分配： 入度列 1 1 0 出度列 1 1 0,这只是对较为简单的情况给出的非同构图，对于一般的情况（n,m)图到目前为止还没有解决,三
10、、特殊图完全图与正则图1)完全图 定义 设G为n阶无向简单图，若G中每个顶点均与其余的n1个顶点相邻，则称G为n阶无向完全图，简称n阶完全图，记作Kn(n1)设D为n阶有向简单图，若D中每个顶点都邻接到其余的n1个顶点，又邻接于其余的 n1个顶点，则称D是 n 阶有向完全图可画图表示（无向图5阶、有向图3阶和4阶）2)完全图的性质：n阶无向完全图G的边数与结点的关系 m = n (n-1)/2n阶有向完全图G的边数与结点的关系 m = n (n-1),2,3)正则图 定义 设G为n阶无向简单图，若 vV(G)，均有d(v)k则称G为 k-正则图k-正则图的边数与结点个数的关系 ： m = k
11、n /2如：3-正则图,四、子图、生成子图、导出子图1、定义 设G，G为两个图(同为无向图或有向图)若V V 且 E E ，则称G是G的子图，G为G的母图，记作GG，又若VV 或 E E，则称G为G的真子图若VV（且E E），则称G为G的生成子图(全部顶点),2、设G为图，V1V 且V1 ，称以V1为顶点集，以G中两个端点都在V1中的边组成边集E1的图为G的V1导出的子图，记作GV1可画图表示 G 及 GV1（P279图14.5）结点导出的子图又设E1 E且 E1 ，称以 E1为边集，以E1中边关联的顶点为顶点集V1的图为G的E1导出的子图，记作GE1,3、补图 1）定义 设G为n阶无向简单图，以V为顶点集，以所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作 ,2）性质：设G是n阶k-正则图，证明G的补图 也是正则图对图中任何结点v的度有 dG(v) + d (v) = dKn(v)= n-1d (v) = n-1- dG(v)n-1-k = n-(k+1） 3）自补图：若图 G (同构) 则称G为自补图。,
