1、代数系统,离散数学,9.2 代数系统,代数或叫代数系统,应用抽象的方法，研究要处理的数学对象集合上的关系或运算。 事物中的关系就是事物的结构，所以，代数系统又称代数结构。 代数通常由三部分组成； 1一个集合，叫做代数的载体。 载体是要处理的数学目标的集合，如整数，实数集合等。代数载体一般是非空集合，不讨论载体是空集的代数。 2定义在集合上的运算定义在载体S上的运算是从Sm到S的一个映射，自然数m的值叫做运算的元数。3特异元素，叫做代数常数 如幺元、零元、等幂元等 代数通常用由集合、运算和特殊元素组成的n元组表示,代数系统 1、定义12 非空集合S和S上k个一元或二元运算fl，f2，fk组成的系
2、统称为一个代数系统，简称代数， 记作： 例如 ， ， 都是代数系统，其中 + 和 * 表示n阶实矩阵的加法和乘法 是代数系统，其中 Zn= 0，1，2 ， n-1 ，+n 和 *n 分别表示模n的加法和乘法：对于x，yZn ，x +n y = ( x + y) mod n x *n y = ( x * y ) mod n 有时将特殊元素也放在系统的表达式中V1 V2 V3 ,2、同类型的代数系统 定义13 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分，也称它们是同类型的代数系统 如：代数系统 V2 V1 V3 均为同类型的代
3、数系统。 注：同类型的代数系统并不是说它们的代数性质相同，仅说明它们的代数成分相同。如上面的V1与V2的代数性质是不相同的，而V2与V3的代数性质是相同的。通常我们不去研究单个具体的代数，而是按照代数性质进行分类，一个种类一个种类地去研究代数,什么样的两个代数算是同一种类的？ 1：要有相同的构成成分如果两个代数包含有同样个数的运算和常数且对应运算的元数相同，则称两个代数有相同的构成成分两个代数有相同的构成成分，还不一定有本质的联系 2：要遵从相同的运算律交换律、分配律、幂等律、吸收律等等具有相同构成成分和服从相同运算律的代数称为同种类的。 对代数系统分类，并一类一类的研究代数系统的共同性质。,
4、3 相同代数性质(同种类）的代数系统引入代数系统的主要目的是研究具有相同代数性质的代数系统，将相同代数系统归类，并分析该类代数系统的性质。 代数系统 V , 其中 * 是一个可结合的二元运算, 就代表了一类特殊的代数系统半群 许多具体的代数系统，如， ， 等都是与V同类型代数系统（半群） 代数系统 V，其中 o和* 是二元运算，并满足 交换律、结合律、幂等律和吸收律，那么V 代表了另一类特殊的代数系统格 实际中的代数系统 ， 等都是格这里的1cm和gcd分别表示求两个正整数的最小公倍数和最大公约数 代数系统 V ，其中运算是可结合的，存在单位元e,且G中的每个元素均为可逆元-代表代数系统-群
5、, , 对称差, 但不是群,只要将典型的V 代数系统的性质分析清楚了，那么就可将其性质应用的所有与之结构相同（同种类）的代数系统中去。 这种方法就是抽象代数的基本方法，也是代数结构课程的主要内容,4、子代数系统 定义14 设V 是代数系统, BS， 如果B对fl，f2， ，fk都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称 是V的子代数系统，简称子代数 有时将子代数系统简记为B 例 是 的子代数，因为N对加法运算+是封闭的也是 的子代数，因为N对加法运算封闭，且N中含有代数常数0 注：从子代数定义不难看出，子代数和原代数不仅具有相同的构成成分，是同类型的代数系统，而且对应的二元运算都具有相同的运
6、算性质。 任何代数系统其子代数一定存在；最大的子代数是其本身。 如果代数常数构成子代数，最小的子代数。 最小和最大的的子代数成为平凡的子代数。 如果B是S的真子集，则B构成的子代数称为V的真子代数。,例 设 V= 其中A=P(1，2，3), 为集合的对称差，给出V的所有子代数，并说明哪些是平凡的子代数，哪些是真子代数。 解：A=，1,2,3,1，2,1，3,2，3,1，2，3根据对称差的运算 可知 B1= 是平凡的真子代数，V 是平凡子代数 B2=, 1 ，验证是否对运算封闭：因为1 1= , 1 =1, = 是真子代数。同理可证：B3 =,2 , B4=, 3 ， B5=, 1，2 , B6 =,1，3，B7=, 1 , B8=, 1，2，3 B9 =, 1 ，2,1，2B10=, 1 ，3,1，3 B11=, 3 ，2,3，2分别为含有2个元素和4个元素的真子代数。, 中的0是运算+的幺元，1是运算*的幺元 是代数系统且是真子代数是代数系统不是代数系统（运算不封闭）,例：设B=0,a,b,1，S1=a,1 S2=0,1 S3=a,b 二元运算+和*由表给出，则：1）是代数系统吗？ 2）是代数系统吗？是的子代数吗？3）是的子代数吗？4）是代数系统吗？,返回,V1 V2 V3 ,
