1、集合与简易逻辑1 集合的概念及运算定义补充：真子集：如果 A 是 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A，那么集合 A 叫做集合 B 的真子集。包含与真包含：B 中的元素都属于 A，则称 A 包含 B.B 中的元素都属于 A 且 A 中至少有一个元素不属于 B，则称 A 真包含 B.集合知识网络不等式知识网络集 合定 义特 征一组对象的全体形成一个集合确定性、互异性、无序性表示法分 类列举法1,2,3,、描述法x|P、图示法 有限集、无限集数 集关 系自然数集 N、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R、正整数集 N 、空集 *属于、不属于 、包含于 、真包含于 、子集 、真子集运 算
2、性 质交集 ABx|xA 且 xB； 并集 ABx|xA 或 xB ；补集 x|x A 且 xU ， U 为全集CUA A； A； 若 A B，B C，则 A C；AAAAA； A；AA；A B A ABB A B；AC A； AC AI ；C ( C A)A ；C (A B)C AC BUUUU方 法 韦恩示意图 数轴分析注意 ： 区别与 、 与 、a 与a、 与、(1,2)与1,2；（属于与不属于的关系） A B 时，A 有两种情况：A 与 A 如果a,a,0，那么 a0，且 a1（元素的唯一性） 是任何非空集合的真子集，和任何集合的子集。 与是从属关系 0是以 0 为元素的集合，不是空集
3、。不等式 绝对值不等式一元二次不等式|x|a (a0) xa 或 x0) a0 或 ax bxc0 恒成立问题 含参不等式 ax bxc0 的解集是 R；2方程：分 a0(验证 bxc0 是否恒成立)、a0（a0 时，函数-（ ）4ca2b-xa4b-c最 值2yy 有最小值；当 a0。对 的判定方法仍然是用配方的方法。6二次函数 y=ax2+bx+c（不妨设 a0）在区间m，n上的最大值或最小值(1) 当 ，即对称轴在所给区间内时， 的最小值在对称轴处取得，其值是 ，nm,2ab-()fx a4b-c)2(2f的最大值在离对称轴较远的端点处取得，它是 、 中的较大者()fx mn（2）当 ，
4、 即给定的区间在对称轴的一侧时， 是单调函数。若 ， 在 上是增函数，nm,ab-()fxma2b()fxn,的最小值是 ，最大值是 ，若 ， 在 上是减函数， 的最小值是 ，最大值是()fxf()f()2ab-nnm,()f f(m)七幂函数的概念1幂函数的定义：函数 叫做幂函数。其中 是常数， 是自变量。幂函数的定义域由 的值确定。Qxyx2幂函数的图像：（1）图像都经过点（1，1）和第一象限；（2） 0 时图像过原点（0，0） ； 1 时图像向下凸起。3幂函数的性质：（1）单调性：当 时，在区间（0，+）上是增函数；当 时，在区间（0，+）上是减函数。（2）奇偶性：设 nm且 互 质 ）
5、Z,(当 都是奇数时，它是奇函数；、当 是偶数 是奇数时，它是偶函数；是奇数 是偶数时，它非奇非偶。八幂函数图象特征：（1）当 时，在第一象限内，函数单调递减，图象为凹的曲线；0k（2）当 时，图象是一条不包括点（0，1）的直线；（3）当 时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凸的曲线；（4）当 时，图象是一、三象限的角平分线；（5）当 时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凹的曲线.k（6）幂函数图象不经过第四象限；（7）当 时，幂函数 的图象一定经过点（0，0）和点（1，1）0kxy（8）如果幂函数 的图象与坐标轴没有交点，则 ；k 0k（9）如果幂函数 （ 、 、 都是正整数，且 、 互
6、质）的图象mnpxy)1(pmn不经过第三象限，则 可取任意正整数， 、 中一个为奇数，另一个为偶数.4 指数与指数函数一指数的概念1分数指数幂与根式：如果 ，则称 是 的 次方根， 的 次方根为 0，若 ，则当 为奇数时， 的 次方根有 1 个，记做 ；当nxaxn0ananna为偶数时，负数没有 次方根，正数 的 次方根有 2 个，其中正的 次方根记做 负的 次方根记做 an1负数没有偶次方根；2两个关系式： ；()n|n为 奇 数为 偶 数3正数的正分数指数幂的意义： ； （ ，且 ）mna1mna0,nN1正数的负分数指数幂的意义： （ ，且 ）nm,4分数指数幂的运算性质： ； ；m
7、nana ； ；()()mb ，其中 、 均为有理数， ， 均为正整数015指数运算法则：（1） ； （2） ； （3）rsrsasrrarrab二指数的图像函数 指数函数 0,1xy定义域 R值域 0,y图象过定点 (0,1) 减函数 增函数(,0)(1,)xy时 ，时 ， (,0)(,1)xy时 ，时 ，性质 abab注意：恒成立问题（1） 函数 y=f(x),若 f(x)b 恒成立，f(x)minb（2） 相反，f(x)a 恒成立，f(x)maxa奇偶性 非奇非偶5 对数与对数函数一对数及其运算1定义：若 ，且 ， ，则 baN(01a0)NlogabN2指数式与对数式互化： .logb
8、(,10)3三条性质： 1 的对数是 0，即 ；a 底数的对数是 1，即 ；l 负数和零没有对数4四条运算法则： ； ；log()llogaaaMNNlogllogaaaMN ； n 1n5其他运算性质：1 对数恒等式： ；logab2 对数的换底公式 ( ,且 , ,且 , ).llogmaN010m10N推论 ( ,且 , ,且 , , ).llogmnaabnn6. 设函数 ,记 .若 的定义域为 ,则 ，且 ;若)()(2acbxxfm acb42)(xfR0a的值域为 ,则 ，且 .对于 的情形,需要单独检验.)(xfR00三 对数的图像函数对数数函数 log0,1ayxa定义域,值
9、域 yR图象过定点 (1,0)减函数 增函数(0,1)(,)0xy时 ，时 ， (0,1)(,0)xy时 ，时 ，性质 abab奇偶性非奇非偶6 函数的图像 ()yfx()yfxk将 图像上每一点向上 或向下 平移 个单位， ()yfx0k|()yfx()yfxh将 图像上每一点向左 或向右 平移 个单位， ()yfx0h|()yfx()yafx将 图像上的每一点横坐标保持不变，纵坐标拉伸 或压缩 为原来()yfx 1(01)a的 倍， a()yfx()yfax将 图像上的每一点纵横坐标保持不变，横坐标压缩 或拉伸()yfx (1)a为原来的 ， (01aa()yfx()yfx关于 轴对称()
10、yfx()yfx关于 轴对称()fxf关于原点对称()yfx(|)yfx去负翻正()yfx|()|yfx将 位于 轴下方的部分沿 轴对称到上方，可得 的图像()yfx |()|f7 函数的值域与最值 一函数的值域：函数值的集合叫做函数的值域，求值域必须在其定义域内进行。二常见函数的值域名称 解析式 值域一次函数 ykxbR二次函数 2ac时，0a24,)cba时，0a24(,acb反比例函数 kyx，且|yR0y指数函数 a|对数函数 logayxRsincoyx|1y三角函数 taR四 函数的最值一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：1 对于任意的 xI，都有
11、f(x)M，且存在 x0I，使得 f(x0)=M，那么 M 就是函数 y=f(x)的最大值2 对于任意的 xI，都有 f(x)M，且存在 x0I，使得 f(x0)=M，那么 M 就是函数 y=f(x)的最小 值五 求值域的方法1配方法：对于求二次函数 或可转化为形如 的函数的值域2(0)yaxbc2()()()0)fxagbxca（最值）一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解.2换元法：通过引入一个或多个新变量或代数式代替原来的变量或代数式或超越式，通过换元，我们常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式等，这样我们就能将比较复杂的函数转化成易于求值域的函数进行
12、求解.3单调性法：对于形如 （ 、 、 、 为常数， ）或者形如 而()fxabcxdabcd0ac1()()fxgx使用不等式法求值域却未能凑效的函数，我们往往可以考虑使用单调性法.4判别式法：一般地，形如 、 、 的2()f e()fxbxd2()abcfef函数，我们可以将其转化为 （ ）的形式，再通过2()0pyxqryp求得 的范围.但当函数为指定区间上的函数时，用判别式法求出 的范围后，应将端点值代回2()()0qyr y到原函数进行检验，避免发生错误.5数形结合法2.8 函数与方程 一函数的零点1如果函数 y=f(x)在实数 a 处的值等于零，即 f(a)=0，则 a 叫做这个函
13、数的零点2函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点的就是方程 f(x)=g(x)的实根；即函数 f(x)与函数 g(x)的图像交点的横坐标二零点存在定理1在闭区间a,b上连续2f(a)f(b)0三二分法第一步：确定区间a,b，验证 f(a)f(b)0，给定精确度第二步：求区间(a,b)的中点 x1第三步：计算 f(x1) 若 f(x1)=0，则 x1 就是函数的零点 若 f(a)f(x1)0，则令 b=x1（此时零点 x0(a,x1)） 若 f(x1)f(b)0，则令 a=x1（此时零点 x0(x1,b)）此时长度减半了的新区间(a,b)第四步：判断是否达到精确度 ，即若|a-b|，则得到零点
14、或近似值 a(b)，否则重复二、三、四部立体几何1 空间几何体的结构、三视图和直观图 一柱、锥、台、球的结构特征二斜二测画法： 原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变；原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行，长度为原来的一半。2 空间几何体的表面积与体积一体积公式：柱体： 圆柱体： 圆锥体： 锥体： 球体：hSVhrV2hrV231hSV3134rV圆台和棱台： ，其中 和 分别为上、下底面积， 为高S)(31S二侧面积：圆柱侧面积： 圆柱表面积 rlS2)(2lr圆锥侧面积： 圆锥表面积圆台侧面积 圆台表面积)( )2rlS球的表面积：24r三几个基本公式：弧长公式： （ 是圆
15、心角的弧度数， 0） ； rl扇形面积公式：lS21ch直 棱 柱 侧 面 积2S正 棱 锥 侧 面 积 )(1hc正 棱 台 侧 面 积3 直线、平面平行的判定和性质一直线与平面平行1判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 （线面平行线线平行） 直线 a 在平面 外直线 b 在平面 内两直线 a、b 平行 bab ， ， 2性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（线面平行线线平行） ， 则 ， ， 二平面与平面平行1判定定理判定定理 1：如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（
16、线面平行面面平行） baP判定定理 2：如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 l判定定理 3：平行于同一个平面的两个平面平行 2性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行线线平行） ba 三证明方法1证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.2证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.3证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平
17、行；（3）转化为线面垂直.4 直线、平面垂直的判定和性质一直线与平面垂直1判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 lnlmB2.性质定理性质定理 1：垂直于同一个平面的两条直线平行 bab性质定理 2如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 a二平面与平面垂直1判定定理如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直（线面垂直面面垂直） l2 性质定理性质定理 1：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面 ala性质定理 2：如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个
18、平面的直线，在第一个平面内 PQ三点到面的距离1.过平面 外一点 A 平面 引垂线，则点 A 和垂足 B（A 在 上的正射影）之间的距离叫做点 A 到平面 的距离2.求点到平面的距离的关键是确定垂足的位置，然后通过解三角形求值。有时把点到平面的距离转化为三棱锥的高，用等体积法求解四直线与平面所成角1.平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线（斜线）与这个平面所成的角。直线和平面所成角的范围是 2，02确定斜线和平面所成角的关键是找到斜线在平面内的射影，其核心是找到斜线上异于斜足的一点在平面内的垂足五证明方法1证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线
19、面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.2证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.3证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.平面向量1 平面向量与平面向量的线性运算一向量的基本概念1向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量可以用一条有向线段来表示2向量的长度：向量 的大小，也就是向量 的长度（也称为 的模），记作 ABA
20、BAB|AB3零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，记作 ，零向量的方向是任意的04单位向量：长度等于 1 的向量叫做单位向量5平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量，也叫做共线向量，若向量 、 平行，记作 0 与任一向量平行。ab/ab6相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量二向量的加、减的法则1两个向量的和：已知向量 、 ，平移向量 ，使 的起点与 的终点重合，那么以 的起点为起点， 的终点为终点的向量叫abbaab做向量 与向量 的和求两个向量和的运算叫做向量的加法a2向量加法的三角形法则：根据向量和的定义，以第一个向量 的终点 A 为起点作第二个向量 ，则以 的起点 O 为
21、起点，以 的abab终点 B 为终点的向量 就是 与 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的三角形法则Oab3向量加法的平行四边形法则：以同一点 A 为起点的两个已知向量 、 为邻边作平行四边形 ABCD，则以 A 为起点的对角线ab就是 ，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则ACab4向量加法运算律： 交换律： 结合律：ab()()abc5相反向量：与向量 方向相反的向量叫做 的相反向量，记作 规定：零向量的相反向量仍是零向量性质： ()a()0a6两个向量的差： 加上 的相反向量叫做 与 的差，即：bb()a法则：如图所示，已知向量 、 ，在平面内任取一点 O，作 ， ，
22、则 ，即 表示从向量 的终点bAaBbAabb指向 的终点的向量a三实数与向量的积1实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下：aa |a 当 时， 的方向与 的方向相同；0a当 时， 的方向与 的方向相反2实数与向量的积所满足的运算律：设 、 为实数，那么： ；()a a ()abb2 平面向量的基本定理及坐标运算一平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 、 ，使1e2 a12a二平面向量的坐标：1概念：分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底，对于一个向量 ，有且只有一对实数
23、 、 ，使得xyijaxy，则称 为向量 的坐标，记做 axiyj(,)a(,)xy2平面向量的坐标运算：设 ， ， ，则：1(,)axy2(,)bxyR ；12, ；12(,)abxy 1,若点 ， ，则 1(,)Axy2(,)B21(,)Axy3.向量平行（共线）的坐标表示1向量 与 共线的充要条件是 1(,)axy2(,)bxy2120xy2向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得 b ba3 平面向量的数量积及运算律1两个向量的夹角：已知两个非零向量，作 ， ，则 （ ）叫做向量 与 的夹角OAaBbAO018ab当 时， 与 同向；当 时， 与 反向，如果 与 的夹
24、角是 时，则称 与 垂直，记作 0b180aab90 ab2两个向量的数量积：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则数量 叫做 与 的数量积，记作 ，即：ab|cosababab|cosab规定：零向量与任一向量的数量积为 0，即 a3向量数量积的几何意义：叫做向量 在 方向上的投影，其中当 为锐角时，它是正值，当 为钝角时，它是负值，当 时，它是|cosbba900，当 时，它是 |的几何意义是：数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积abab|ab|cosb4向量数量积的性质：设 、 都是非零向量， 是 与 的夹角，则：abab （ 是与 方向相同的单位向量）|cosee
25、ab0 当 与 同向时， ； 当 与 反向时， ；|abab|ab特殊的， ，或者2|2|() cos|ab |5向量的数量积的运算律： ；ab ()()()ab abcc6向量数量积的坐标运算： 设 ， ，则 1(,)axy2(,)bxy12abxy 若向量 ， 垂直的充要条件是 1,2, 1202 若 ，则 (,)axy|axy3 设 ， ，则 1,A2(,)B2211|()()Axy三角函数1 三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式一角度与弧度制1弧度与角度的互化： 1802终边相同角：与角 有相同终边的角的集合可以表示为：|2,kZ3特殊角的集合： 各个象限的角的集合第一象限角：
26、|22,kkZ第二象限角：| ,2kk第三象限角：3| 2,kkZ第四象限角：3|2,kk 角的终边在各个坐标轴上的角的集合终边在 轴的角：x|,kZ终边在 轴的角：y|,2kZ终边在坐标轴上的角：|,k终边在第一三象限角平分线上：|,4kZ终边在第二四象限角平分线上：3|,k4弧长公式和扇形面积公式设扇形的半径为 ，圆心角为 ，则弧长 ，扇形的面积rl|rS21|2lrr二任意角三角函数的定义：1定义：以角 顶点为原点 ，始边为 轴的非负半轴建立直角坐标系。在角 的终边上任取不同于原点 的一点 ，Ox O(,)Pxy设 点与原点 的距离为 ，则Pr(0) ，则角2|Pr的六个三角函数依次为：， ， sinyrcosxrtanyx， ， 2三角函数的定义域与值域：定义域 值域sinR 1,coR ,tan|,2kZR
