1、第1页,上课定律 大一：“你怎么迟到了？“ 大二：“你今天怎么没上课？ 大三：“你上课去吗？“ 大四：“你怎么上课去了？“ 考试定律 大一：什么!明天要考微积分！？ 大二：什么!等下要考微积分！？ 大三：什么!刚刚考的是微积分！？ 大四：什么！微积分什么时候考的！？,每课一贴：,大家可不能如此蜕变啊！,第2页,上节课内容回顾,图的存储表示: 邻接矩阵、邻接表,图的基本概念有向图、无向图、子图、带权图（网络）、度、弧头和弧尾、稀疏图、稠密图、连通图、强连通图连通分量，强连通分量,第3页,一、邻接矩阵（数组）表示法,例1：,邻接矩阵：,A.Edge =,（ v1 v2 v3 v4 v5 ）,v1
2、v2 v3 v4 v5,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0,0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0,顶点表：,邻接矩阵：,A.Edge =,( v1 v2 v3 v4 ),v1 v2 v3 v4,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,顶点表：,0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0,0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
3、 1 1 0 0 0,例2:,第4页,例3：,邻接矩阵：, ,N.Edge =,( v1 v2 v3 v4 v5 v6 ),顶点表：,5 7 4 8 95 65 3 1, 5 7 4 8 9 5 6 5 3 1 ,第5页,例1：,例2：,邻接表(出边),逆邻接表(入边),二、邻接表（链式）表示法,第6页,例3：已知某网的邻接（出边）表，请画出该网络。,80,64,1,2,5,当邻接表的存储结构形成后，图便唯一确定！,第7页,图的存储表示: 邻接矩阵、邻接表,第8页,分析1: 对于n个顶点e条边的无向图，邻接表中除了n个头结点外，只有2e个表结点,空间效率为O(n+2e)。 若是稀疏图(en2)
4、，则比邻接矩阵表示法O(n2)省空间。,邻接表存储法的特点：,分析2: 在有向图中，邻接表中除了n个头结点外，只有e个表结点,空间效率为O(n+e)。若是稀疏图，则比邻接矩阵表示法合适。,它其实是对邻接矩阵法的一种改进,怎样计算无向图顶点的度？,邻接表的缺点：,怎样计算有向图顶点的出度？ 怎样计算有向图顶点的入度？ 怎样计算有向图顶点Vi的度：,需遍历全表,邻接表的优点：,TD(Vi)=单链表中链接的结点个数,OD(Vi)单链出边表中链接的结点数 I D( Vi ) 邻接点为Vi的弧个数,TD(Vi) = OD( Vi ) + I D( Vi ),空间效率高；容易寻找顶点的邻接点；,判断两顶点
5、间是否有边或弧，需搜索两结点对应的单链表，没有邻接矩阵方便。,第9页,讨论：邻接表与邻接矩阵有什么异同之处？,1. 联系：邻接表中每个链表对应于邻接矩阵中的一行，链表中结点个数等于一行中非零元素的个数。 2. 区别： 对于任一确定的无向图，邻接矩阵是唯一的（行列号与顶点编号一致），但邻接表不唯一（链接次序与顶点编号无关）。(考试怎么办？给定顺序） 邻接矩阵的空间复杂度为O(n2),而邻接表的空间复杂度为O(n+e)。 3. 用途：邻接矩阵多用于稠密图的存储（e接近n(n-1)/2)；而邻接表多用于稀疏图的存储（en2),第10页,三、十字链表（自学） （适用于有向图） 四、邻接多重表（自学）
6、（适用于无向图）,第11页,它是有向图的另一种链式结构。 思路：将邻接矩阵用链表存储，是邻接表、逆邻接表的结合。 1、每条弧对应一个结点(称为弧结点，设5个域） 2、每个顶点也对应一个结点（称为顶点结点，设3个域）,顶点结点,弧结点,三、十字链表（自学）,tailvex: 弧尾顶点位置 headvex: 弧头顶点位置 hlink: 弧头相同的下一弧位置 tlink: 弧尾相同的下一弧位置 info: 弧信息,n个顶点用顺序存储结构,data : 存储顶点信息。 Firstin : 以顶点为弧头的第一条弧结点。 Firstout: 以顶点为弧尾的第一条弧结点。,适用于有向图,第12页,例：画出有
7、向图的十字链表。,十字链表优点：容易操作，如求顶点的入度、出度等。空间复杂度与邻接表相同；建立的时间复杂度与邻接表相同。,数组下标不属结点分量,第13页,这是无向图的另一种存储结构，当对边操作时，无向图应采用此种结构存储。1、每条边只对应一个结点（称为边结点），设立6个域； 2、每个顶点也对应一个结点（顶点结点），设立2个域；,边结点,四、邻接多重表（自学）,mark：标志域，如处理过或搜索过。 ivex， jvex : 顶点域，边依附的两个顶点位置。 ilink: 指向下一条依附顶点 i 的边结点位置。 jlink; 指向下一条依附顶点 j 的边结点位置。 info: 边信息，如权值等。,n
8、个顶点用顺序存储结构,data : 存储顶点信息。 Firstedge : 依附顶点的第一条边结点。,顶点结点,适用于无向图,第14页,例：画出无向图的邻接多重表,邻接多重表优点： 容易操作，如求顶点的度等。空间复杂度与邻接表相同； 建立的时间复杂度与邻接表相同。,数组下标不属结点分量,第15页,7.3 图的遍历,遍历定义：从已给的连通图中某一顶点出发，沿着一些边访遍图中所有的顶点，且使每个顶点仅被访问一次，就叫做图的遍历，它是图的基本运算。,遍历实质：找每个顶点的邻接点的过程。 图的遍历操作的特点：图中可能存在回路，且图的任一顶点都可能与其它顶点相通，在访问完某个顶点之后可能会沿着某些边又回
9、到了曾经访问过的顶点。,解决思路：可设置一个辅助数组 visited n ，用来标记每个被访问过的顶点。它的初始状态为0，在图的遍历过程中，一旦某一个顶点i 被访问，就立即改 visited i为1，防止它被多次访问。,怎样避免重复访问？,第16页,一、深度优先搜索 二、广度优先搜索,图常用的遍历：,树的深度优先遍历,树的广度优先遍历,第17页,在访问图中某一起始顶点 v 后，由 v 出发，访问它的任一邻接顶点 w1； 再从 w1 出发，访问与 w1邻接但还未被访问过的顶点 w2； 然后再从 w2 出发，进行类似的访问， 如此进行下去，直至到达所有的邻接顶点都被访问过的顶点 u 为止。 接着，
10、退回一步，退到前一次刚访问过的顶点，看是否还有其它没有被访问的邻接顶点。 若有，则访问此顶点，之后再从此顶点出发，进行与前述类似的访问； 若没有，就再退回一步进行搜索。重复上述过程，直到连通图中所有顶点都被访问过为止。,一. 深度优先遍历(DFS),第18页,深度遍历：V1 V2 V4 V8 V5 V6 V3 V7,深度遍历：V1 V2 V4 V8 V3 V6 V7 V5,第19页,第20页,第21页,基本思想：仿树的层次遍历过程。,在访问了起始点v之后，依次访问 v的邻接点； 然后再依次访问这些顶点中未被访问过的邻接点； 直到所有顶点都被访问过为止。,广度优先搜索是一种分层的搜索过程，每向前
11、走一步可能访问一批顶点，不像深度优先搜索那样有回退的情况。因此，广度优先搜索不是一个递归的过程，其算法也不是递归的。,二. 广度优先遍历(BFS),第22页,广度遍历：V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8,广度遍历：V1 V2 V3 V4 V6 V7 V8 V5,第23页,7.4 图的运算,1. 求图的生成树 2. 求最小生成树 3. 拓扑排序 4. 求关键路径 5. 求关节点和重连通分量（略） 6. 求最短路径,第24页,1. 求图的生成树（或生成森林）,生成树：是一个极小连通子图，它含有图中全部顶点，但只有n-1条边。 生成森林：由若干棵生成树组成，含全部顶点，但构成这些树的边是
12、最少的。,思考1：对连通图进行遍历，得到的是什么？得到的将是一个极小连通子图，即图的生成树！ 由深度优先搜索得到的生成树，称为深度优先搜索生成树。 由广度优先搜索得到的生成树，称为广度优先搜索生成树。思考2：对非连通图进行遍历，得到的是什么？ 得到的将是各连通分量的生成树，即图的生成森林！,第25页,例1 ：画出下图的生成树,DFS生成树,邻接表,v0,v2,v1,v4,v3,BFS生成树,v0,无向连通图,第26页,欲在n个城市间建立通信网，则n个城市应铺n-1条线路；但因为每条线路都会有对应的经济成本，而n个城市可能有n(n-1)/2 条线路，那么，如何选择n1条线路，使总费用最少？,数学
13、模型： 顶点表示城市，有n个； 边表示线路，有n1条； 边的权值表示线路的经济代价； 连通网表示n个城市间通信网。,显然此连通网是一个生成树！,问题抽象： n个顶点的生成树很多，需要从中选一棵代价最小的生成树，即该树各边的代价之和最小。此树便称为最小生成树MST (Minimum cost Spanning Tree),问题的提出：,2. 求最小生成树,第27页,2. 求最小生成树,首先明确： 使用不同的遍历图的方法，可以得到不同的生成树；从不同的顶点出发，也可能得到不同的生成树。 按照生成树的定义，n 个顶点的连通网络的生成树有 n 个顶点、n-1 条边。,即有权图,目标： 在网络的多个生成
14、树中，寻找一个各边权值之和最小的生成树。,构造最小生成树的准则 必须只使用该网络中的边来构造最小生成树； 必须使用且仅使用n-1条边来联结网络中的n个顶点； 不能使用产生回路的边。,第28页,讨论：如何求得最小生成树？,有多种算法，但最常用的是以下两种：,Kruskal（克鲁斯卡尔）算法 Prim（普里姆）算法,Kruskal算法特点：将边归并，适于求稀疏网的最小生成树。 Prim算法特点: 将顶点归并，与边数无关，适于稠密网。,第29页,步骤： (1) 首先构造一个只有 n 个顶点但没有边的非连通图 T = V, , 图中每个顶点自成一个连通分量。 (2) 当在边集 E 中选到一条具有最小权
15、值的边时,若该边的两个顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到生成树的边集合T 中；否则将此边舍去，重新选择一条权值最小的边。 (3) 如此重复下去，直到所有顶点在同一个连通分量上为止。此时的T即为所求（最小生成树）。,克鲁斯卡尔（Kruskal）算法:,设N = V, E 是有 n 个顶点的连通网，,Kruskal算法采用邻接表作为图的存储表示,第30页,例：应用克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程,第31页,Kruskal（克鲁斯卡尔）算法,例 ：,第32页,（1）初始状态： U =u0 , (u0V )，TE= ; （2）从E中选择顶点分别属于U、V-U两个集合、且权值最小的边(u0, v0)，将顶点v0归并到集合U中，边(u0, v0)归并到TE中； （3）直到U=V为止。此时TE中必有n-1条边，T（V，TE）就是最小生成树。,设：N =（V , E）是个连通网， 另设U为最小生成树的顶点集，TE为最小生成树的边集。,构造步骤:,普利姆（Prim）算法,第33页,例：,1,注：在最小生成树的生成过程中，所选的边都是一端在V-U中，另一端在U中。,
